高考数学数列的通项和一般求和

§25一般数列的通项和求和
【复习目标】
1． 了解简单线性递推式求通项的方法；
2． 掌握数列求和的几种特殊方法. 【重点难点】
简单线性递推数列求通项的待定系数法和累加法、累乘法；一般数列求和的几种特殊方法 【知识梳理】
1．求数列通项的常用方法
★①作新数列法-----如构造等差数列与等比数列
若b ka a n n +=+1，
则可化成)()(1x a k x a n n +=++，从而{a n + 1 + x}是等比数列，其中x 用待定系数法可求. 若数列{a n }满足a 1 = a ，a 2 = b ，a n + 2 = ka n + 1 + ba n ，
则可化为(a n + 2 – xa n + 1) = y (a n + 1 – xa n )，其中x ，y 可用待定系数法求得，从而{a n + 1 – xa n }构成等比数列.
若a n + 1a n + pa n + qa n + 1 = 0，可化成1 +
01
=+
+n n a q a p ，令n n
b a =1
，从而上式变成b b k b n n +⋅=+1型.
②若)(1n f a a n n =--，求a n 可用叠加法.
最基本形式是：a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1 ③若
)(1
n f a a n n
=-，求a n 可用累乘法. 最基本形式是：a n =(a n /a n －1)(a n －1/a n －2)…(a 2/a 1)a 1 ④归纳、猜想法
2．数列前n 项和常用求法 ①重要公式
1+2+…+n =
21
n (n +1) 12+22+…+n 2=6
1
n (n +1)(2n +1)
13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=4
1
n 2(n +1)2
②等差、等比数列求和公式，注意等比数列求和分q=1和1≠q 的情形讨论； ③裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项：应掌握以下常见的裂项：
等)!
1(1!1)!1(1,C C C ,
ctg2ctg 2sin 1
,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=⋅+-=++-n n n ααn n n n n n n n r
n r n n n
α
④错项相消法：源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差
数列，{}n b 为等比数列，均可用此法.
⑤分组求和法：若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.
⑥倒序相加法：此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.
数列通项与求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 【课前预习】
1.{a n }是等差数列，试用倒序相加法推导S n =
n a a n
⋅+2
1 2．{a n }是等比数列，公比q ≠1时，推导S n =q
q a n --1)
1(1公式.
3．若a 1 = 1，且a n + a m = a n + m (n ，m ∈N *)，则a n = . 4．已知a 1 = 1，且a n + 1 = a n + )
1(1
+⋅n n ，则a n = .
5．已知a 1 = 1，a n =
11
+⋅+n a n
n ，则a n = . 6．已知a 1 = 1，且a n + 1 = 3a n + 2，则a n = ..
7．已知a 1 = 3，f (x ) = x 2，且a n + 1 = f (a n )，则a n = . . 8．数列1，1+2，3222221,221+++++，…，122221-+⋅⋅⋅+++n ，…的前n
项和 .
【典型例题】
题型一：简单的递推式求通项
例1已知)2(32,511≥+==-n a a a n n ，求n a .
例2已知数列{a n }满足3a n + 1 + a n = 4(n ≥1)且a 1 = 9，其前n 项之和为S n ，则满足
不等式|S n – n – 6|＜125
1
的最小整数n 是 （ ）
题型二：分组求和
例3（1）求数列5，55，555，…，
个n 555⋅⋅⋅，…的前n 项和
（2）)12)(1(532321++++⋅⋅+⋅⋅=n n n S n
题型三：倒序相加法求和 例4设()442
x x f x =
+，利用课本中推导等差数列前n 项和的倒序相加法方法，
求121111f f +
+⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭…1011f +⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为 . 若设()k k
a f n
=（n 是常数且2,),1,2,3,,(1),,n n N k n *≥∈=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅求数列{}n a 的前（n-1）项的和.
题型四：裂项求和
例5 已知二次函数()x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f .数列{}n a 的
前n 项和为n S ，点()()
*,N n S n n ∈均在函数()x f y =的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
3+=
n n n a a b ，n T 是数列()n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*
N n ∈都成
立的最小正整数m .
题型五：分类讨论求和
例6若数列{}n a 中，2(1)n
n a n ⎡⎤=---⎣⎦，求10S 和99S .
【巩固练习】
1．11(1,2,3,
,8)1(1,2,3,,8),i i i i i i
OA A i A A a OA i ++====直角三角形的直角边，记
且11OA =，则数列{}n a 的通项公式为 （ ） A. n B. n C. 2n D. 2n
2．设数列{}n a 满足：12
1+-=+n n n na a a ，且21=a ，则n a 的一个通项公式为=n
a .
3． 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1
211
≥+=
--n a a a n n n ，则n a 的一个通项公式为=n
a .
4．设数列{}n a 为等比数列，n n n a a a n na T +++-+=-1212)1( ；已知4,121==T T ，
数列{}n a 的公比为 . 5．2
12
222n n
+++
=
求
★6．求和：=
+++++n
n n n n C n C C C )12(53210 .
【本课小结】
【课后作业】
{
}1011(),101
n a n N S n n *=
∈=
++n 、数列a 的通项公式为则它的前项和
222222222 12345699100-+-+-+-
-+=、 .
{}1
22n 2 n n n n a a n -⎧⎪
=⎨⎪⎩
n -2是奇数3、已知数列中，，则它的前项和为 .
2是偶数
4．已知数列{}n a 中，3
1
1=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

5．222
2
2
22222
22123101102938101
++++++++ ★12111,7,23,.
n n n n a a a a a a +-===+6.已知求
§25 一般数列的通项和求和参考答案（简答）
【课前预习】
1、略
2、略
3、n a n =
4、a n = n n 12-
5、a n = n
1
. 6、a n = 132-∙n
. 7、a n = 1
23-n .8、221
--+n n
【典型例题】…… 例1：322-=+n n a
例2：构造等比数列，求出a n =8(-3)n
-1+1，再求和，解不等式得C.
例3：（1）n
S n n
95)110(8150--=
21
(2(1)(2)2
n S n n n =
++）
例4：f(x)+f(1-x)=1 121111f f +
+⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
…1011f +⎛⎫
⎪⎝⎭的值为5；1
12
n n S --= 例5：（1）设这二次函数f (x )＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f ’(x )=2ax +b ,
由于f ‘(x )=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.
又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[
]
)1(2)132
---n n （＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *
∈） （2）由（1）得知13
+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1
61561(
21+--n n ， 故T n ＝
∑=n
i i b 1
＝
21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝2
1（1－161
+n ）.
因此，要使2
1（1－
161+n ）<20m （n N *
∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20
m ，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 例6：（1） 10100110,9902s S =-=- 【巩固练习】
1、B
2、先前几项逐项求值，再猜想得到1
+=n a n
3、
2
343n a n =
-
4、q=2
5、n n 222+-
6、(1)2
n
n +
【课后作业】…… 1 111-、 2、5050
1
2()2n n
=-n 3、S
4.解析：首先由n n a n n S )12(-=易求的递推公式
1
23
2,)32()12(11+-=
∴
-=+--n n a a a n a n n n n n 5
1
12521221=--=∴
--a a n n a a n n 将上面n —1个等式相乘得：
.
)
12(12(1
)12)(12(3
57)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1-+=
∴-+=
⋅--+⋅---=n n a n n n n n n n n a a n n
5、5
6、 1
2n n a -=-。