人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_平面向量的数量积_提高

人教版高中数学必修四
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
平面向量的数量积
【学习目标】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
【要点梳理】
要点一： 平面向量的数量积
1. 平面向量数量积(内积)的定义：
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ⋅，即有()cos 0a b a b θθπ⋅=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0.
2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释：
1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅；今后要学到两个向量的外积a b ⨯，而a b ⋅是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)在实数中，若0a ≠，且0a b ⋅=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ⋅=，不能推出0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0︒时投影为b ；当θ=180︒时投影为b -.
要点二：平面向量数量积的几何意义
数量积a b ⋅表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ⋅的几何意义。

图所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11||
a OB OB a =⋅。

事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <；
当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当00θ=时，由于cos 1θ=，所以1||OB b =；当0180θ=时，由于cos 1θ=-，所以1||OB b =-。

要点三：向量数量积的性质
设a 与b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1.cos e a a e a θ⋅=⋅=
2.0a b a b ⊥⇔⋅=
3.当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-. 特别的2a a a ⋅=或a a a =⋅
4.cos a b
a b θ⋅= 5.a b a b ⋅≤
要点四：向量数量积的运算律
1.交换律：a b b a ⋅=⋅
2.数乘结合律：()()()
a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅
3.分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅
要点诠释： 1.已知实数a 、b 、c(b≠0)，则ab=bc ⇒a=c.但是a b b c ⋅=⋅⇒a c =；
2.在实数中，有(a ⋅b)c=a(b ⋅c)，但是()()a b c a b c ⋅≠⋅
显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一
般a 与c 不共线. 要点五：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，1212a b x x y y ⋅=+
2.设(,)a x y =，则222||a x y =+或2||a x =+
3.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么||(a x =-平面内两点间的距离公式).
要点六：向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
1122//(0)(,)(,)a b a b b x y x y λλ→→→→→→
⇔=≠⇔= (2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=
(3)求夹角问题，利用2cos a b
a b x θ⋅==⋅+ (4)求线段的长度，可以利用2a a =或12(P P x = 【典型例题】
类型一：平面向量数量积的运算 例1． （1）已知|a |=4，|b |=5，向量a 与b 的夹角为
3
π，求①a ·b ；②(a +b )2；③a 2―b 2；④(2a +3b )·(3a ―2b )； （2）若向量a +b +c =0，且|a |=3，|b |=1，|c |=4，求a ·b +b ·c +c ·a 的值。

【思路点拨】（1）(a +b )2=222a a b b +⋅+，(2a +3b )·(3a ―2b )=6|a |2+5a ·b ―6|b |2 把模和数量积代入可得。

（2）(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a )，把模和数量积代入可得。

【答案】（1）10 61 －9 ―4（2）―13
【解析】 （1）①1||||cos
451032
a b a b π⋅==⨯⨯=。

②(a +b )2=|a |2+2a ·b +|b |2=61。

③a 2―b 2=|a |2―|b |2=－9。

④(2a +3b )·(3a ―2b )=6|a |2+5a ·b ―6|b |2=―4。

（2）∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a )， ∴222
2222()()0(314)1322
a b c a b c a b b c c a ++-++-++⋅+⋅+⋅===-。

【总结升华】（1）此类题目要充分利用有关的运算法则将其转化为求数量积及模的问题，特别要灵活应用a 2=|a |2。

（2）在解题中，利用了(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a )这一关系式，类似于实数的运算。

举一反三：
【变式1】已知|a |=5，|b |=4，〈a ，b 〉=
3π，求（a +b ）·a . 【答案】35
【解析】
原式=22||||||cos ,a a b a a b a b +⋅=+⋅
=125542+⨯⨯
=35 例2．（1）若|a |=4，a ·b =6，求b 在a 方向上的投影；
（2）已知|a |=6，e 为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于60°、90°、120°时，求出a 在e 方向上的正投影，并画图说明。

【答案】（1）32
（2）略 【解析】 （1）∵a ·b =|a | |b |cos θ=6，又|a |=4，
∴4|b |cos θ=6，∴3||cos 2
b θ=。

（2）a 在e 方向上的投影为|a |·cos θ。

如上图所示，当θ=60°时，a 在e 方向上的正投影的数量为|a |·cos60°=3；
当θ=90°时，a 在e 方向上的投影的数量为|a |·cos90°=0；
当θ=120°时，a 在e 方向上的正投影的数量为|a |·cos120°=－3。

【总结升华】 要注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影不是相同的。

类型二：平面向量模的问题 例3．已知|a |=|b |=4，向量a 与b 的夹角为23π，求|a +b |，|a ―b |。

【思路点拨】已知两个向量的模和夹角，把|a +b |和|a ―b |用向量的模和夹角的来表示，所以先求出
()2a b +和()2a b -，然后再开方即可。

【答案】4，【解析】 因为a 2=|a |2=16，b 2=|b |2=16，
2||||cos 44cos
83a b a b πθ⋅=⋅=⨯⨯=-， 所以222||()216164a b a b a b a b +=+=++⋅=+=。

同事可求222||()21616a b a b a b a b -=-=+-⋅=+=。

【总结升华】关系式a 2=|a |2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化。

因此欲求|a +b |，可求(a +b )·(a +b )，并将此式展开。

由已知|a |=|b |=4，得a ·a =b ·b =16，a ·b 也可求得为―8，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值。

举一反三：
【平面向量的数量积395485 例4】
【变式1】已知||2,||5,3a b a b ==⋅=-，求||,||a b a b -+。

【解析】 222()2425635a b a ab b -=-+=++=，||35a b ∴-=
同理，||23a b +=
【变式2】已知a b 与的夹角为0120，3a =，13a b += ，则b 等于( ) A 5 B. 4 C. 3 D. 1
【解析】2222a b a a b b +=+⋅+， 222cos12013a a b b ∴+︒+=，解得4b =，故选B.
【总结升华】涉及向量模的问题一般利用22
a a a a =⋅=，注意两边平方是常用的方法. 类型三：向量垂直（或夹角）问题 例4．（2015 上海月考）已知||3a =，||4
b =，
（1）若(2)(2)20a b a b +⋅-=-，求a 与b 的夹角；
（2）若a 与b 的夹角为60°，试确定实数k ，使ka b +与a b -垂直．
【答案】（1）1arccos 6π-；（2）103
k = 【解析】（1）∵||3a =，||4b =，(2)(2)20a b a b +⋅-=-，
∴22
(2)(2)232a b a b a a b b +⋅-=+⋅- 29216334cos ,20a b =⨯-⨯+⨯⨯⨯〈〉=-， ∴1cos ,6
a b 〈〉=-
， ∴11,arccos()arccos 66
a b π〈〉=-=-， ∴a 与b 的夹角为1arccos 6π-． （2）∵||3a =，||4b =，a 与b 的夹角为60°，ka b +与a b -垂直，
∴22()()(1)0ka b a b ka k a b b +-=+-⋅-=，
∴9k +(1－k )×3×4×cos 60°－16=0， 解得103
k =． 举一反三：
【变式1】已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向a +b 与向量k a －b 垂直，则k=________。

【答案】1
【变式2】已知,a b 是两个非零向量，同时满足a b a b ==+，求a a b -与的夹角. 【解析】法一：将a b a b ==+两边平方得 221122a b a b ⋅=-=-， 2223a b a a b b a ∴-=-⋅+= 则222221()32cos 3a a a a b a a b a a b a a b a a θ+⋅--⋅====--⋅， 故a a b -与的夹角为30°. 法二： 数形结合 因为a b a b ==+，如图
作,OA a AB b ==，则OB a b =+，
ABC ∴∆是等边三角形，
延长BA 至C ，使AC=AB ，BC b ∴=-，OC a b ∴=-
a ∴与a
b -
的夹角为AOC ∠，易知大小为30°。

【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.
【平面向量的数量积395485 例5】
【变式3】已知,,a b c 为非零向量，且||||b a c a b c --=--，||||a b c a b c ++=+-，
求证：,a c b c ⊥⊥。

【证明】由||||b a c a b c --=--，得22()()0b a c a b c -----=
()()0b a c a b c b a c a b c ∴--+-----++=
()0c b a ∴⋅-=，0c b c a ∴⋅-⋅= （1）
同理：0c b c a ⋅+⋅= （2）
由（1）、（2）式得：00
a b b c ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴,a c b c ⊥⊥
例5．（1）已知量a 、b 、c 满足a +b +c =0，且|a |=5，|b |=7，|c |=10，求a 、b 的夹角的余弦值；
（2）已知|a |=2，|b |=3，a 与b 的夹角为60°，若a +λb 与λa +b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围。

【答案】（1）1335（2
）1313313,,1(1,)66⎛⎛⎫---∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】 （1）由a +b +c =0知，a +b =－c ，
∴|a +b |=|c |，(a +b )2=c 2，
即a 2+2a ·b +b 2=c 2。

∴222222222
||||||105713222
c a b c a b a b ------⋅====。

则13cos ,35||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅。

故a 、b 的夹角的余弦值为1335。

（2）由题意可得1||||cos602332a b a b ⋅=︒=⨯⨯
=。

又(a +λb )·(λa +b )=λ a 2+(λ2+1) a ·b +λb 2，
而a +λb 与λa +b 的夹角为锐角， ∴λa 2+(λ2+1) a ·b +λb 2＞0，
而a 2=|a |2=4，b 2=|b |2=9，a ·b =3，
∴3λ2+13λ+3＞0，
解得λ>λ<。

但是当λ=1时，a +λb 与λa +b 共线，其夹角不为锐角。

故λ的取值范围是13313,1(1,)⎛⎛⎫--∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

【总结升华】（1）已知两向量的模，欲求它们的夹角，一般是先求它们的数量积，然后利用向量的数量积的定义求其夹角。

（2）求向量m ，n 的夹角范围，可转化为m ·n 与零的关系来确定，本题要注意排除两向量a +λb 与λa +b 共线且同向的情况。

因为此时两向量夹角为0°，非锐角。

两向量夹角为锐角，则其数量积大于零，反之若两向量数量积大于零，则夹角不一定为锐角，还可能存在两夹角为0°的情况。

举一反三：
【变式1】 对于两个非零向量a ，b ，求使|a +t b |的值最小时t 的值，并求此时b 与a +t b 的夹角。

【答案】90°
【解析】 |a +t b |2=a 2+2(2a ·b )t+t2b 2=|a |2+2(a ·b )t+t 2|b |2
22
2224()||||||||a b a b b t a b b ⎛⎫⋅⋅=++- ⎪⎝⎭。

当2||
a b t b ⋅=-时，|a +tb|2取得最小值，即|a +tb|取得最小值， 此时，222()0||||a b a b b a tb b a b a b b a b a b b b ⎛⎫⋅⋅⋅+=⋅-=⋅-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭。

又∵b ≠0，(a +t b )≠0，∴b ⊥(a +t b )。

∴b 与a +t b 的夹角为90°。

【总结升华】本题中字母较多，求|a +t b |的最小值是转化为关于t 的一元二次函数的最值问题，同时应用数量积进行化简也是必不可少的 。

类型四：平面向量数量积的坐标表示及运算
例6．（2017 安徽模拟）已知向量(3,1),||5,5,(1)a b a b c xa x b ==⋅=-=+-．
（1）若a c ⊥，求实数x 的值；
（2）当||c 取最小值时，求b 与c 的夹角的余弦值．
【思路点拨】（1）根据向量的数量积和向量的模，先求出b ，再根据向量的垂直即可求出x 的值．
（2）根据二次函数的性质即可求出x 的值，再根据向量的夹角公式即可求出．
【答案】（1）13
x =；（2）5【解析】（1）设(,)b m n =，
∴22535
m n m n ⎧+=⎨-=-⎩，
解得12m n =-⎧⎨=⎩ 或 21
m n =-⎧⎨=-⎩ 当(1,2)b =-时，
∴(3,1)(1)(1,2)(41,23)c x x x x =-+--=--，
∵a c ⊥，
∴3(4x ―1)―(2―3x)=0， 解得13
x =， 当(2,1)b =--时，
∴(3,1)(1)(2,1)(52,1)c x x x =-+--=--，
∵a c ⊥，
∴3(5x －2)+1=0， 解得13
x = （2）设b 与c 的夹角θ
由（1）可知，当(1,2)b =-时，(41,23)c x x =--， 则22222
2
||(41)(23)2520525()15c x x x x x =-+-=-+=-+， 当25x =
时，||c 取最小值，则34||1,(,)55
c c ==， ∴381,||555b c b ⋅=-+==， ∴5cos 5||||
b c b c θ⋅==⋅， 当(2,1)b =--时，(52,1)c x =--，
则22222||(52)(1)25()15c x x =-+-=-+， 当25
x =时，||c 取最小值，则||1,(0,1)c c ==-， ∴1,||5b c b ⋅==， ∴5cos 5
||||b c b c θ⋅==⋅
【总结升华】关于向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式1212
a b x x y y ⋅=+以及相关的模长公式2||a x =+和夹角公式2cos a b
a b x θ⋅==⋅+ 举一反三： 【变式1】（2015 湖南衡阳县一模）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =
（1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标；
（2）若5||2
b =，且2a b +与a b -垂直，求a 与b 的夹角θ． 【答案】（1）(2,4)
c =，或(2,4)c =-；（2）θ=π 【解析】（1）关于a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =，
若||25c =，且//c a ，可设(2)c a λλλ=⋅=⋅，则由2||(2c λ=
+=
可得λ=±2，∴(2,4)c =，或(2,4)c =-． （2）∵5||b =，且2a b +与a b -垂直， ∴22(2)()20a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=，
化简可得52
a b ⋅=-5cos 2θ=-，∴cos θ=－1， 故a 与b 的夹角θ=π．
【总结升华】涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想；值得注意的是，对于一些向量数量积坐标运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解。

例7．在△ABC 中，(2,3)AB =，(1,)AC k =，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值。

【思路点拨】△ABC 中的哪一个内角为直角并不明确，因此要分类讨论，分类讨论的时候要分类明确，不重不漏。

【解析】
（1）当∠A=90°时，0AB AC ⋅=，故2×1+3k=0，即23
k =-。

（2）当∠B=90°时，(12,3)(1,3)BC AC AB k k =-=--=--，0AB BC ⋅=，
故2×(―1)+3(k ―3)=0，113
k =。

（3）当∠C=90°时，0AC BC ⋅=。

由（2）得(1,3)BC k =--。

故―1+k(k ―3)=0，k 2―3k ―1=0，32
k ±=
故当23k =-或113
k =或32k =时，△ABC 为直角三角形。

【总结升华】直角边所形成的两向量互相垂直，故可借此构造关于k 的方程。

举一反三：
【变式1】已知a =（1，1），b =（0，―2）当k 为何值时，
（1）k a ―b 与a +b 共线；
（2）k a ―b 与a +b 的夹角为120°。

【答案】（1）－1（2）1-± 【解析】∵a =（1，1），b =（0，―2），k a ―b =k （1，1）―（0，―2）=（k ，k+2）。

a +b =（1，1）+（0，―2）=（1，―1）。

（1）∵k a －b 与a +b 共线，∴k+2―(―k)=0。

∴k=－1。

（2）∵2||ka b k -=+2||1(a b +=+=，
(k a ―b )·(a +b )=(k ，k+2)·(1，―1)=k ―k ―2=―2，而k a ―b 与a +b 的夹角为120°， ∴()()cos120||||
ka b a b ka b a b -⋅+︒=++， 即
12-=
化简，整理得k 2+2k ―2=0，解之得1k =-±
类型五：平面向量数量积的综合应用
例8. 平面内有向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OP =，点M 为直线OP 上的一个动点。

（1）求当MA MB ⋅取最小值时，求OM 的坐标；
（2）当点M 满足（1）的条件和结论时，求cos ∠AMB 的值。

【解析】 （1）如图，设M （x ，y ）。

则(,)OM x y =，
∵点M 在直线OP 上，∴向量OM 与OP 共线。

又(2,1)OP =，∴x ·1－y ·2=0，即x=2y 。

∴(2,)OM y y =。

又MA OA OM =-，(1,7)OA =，∴(12,7)MA y y =--。

同理(52,1)MB OB OM y y =-=--。

于是，(12)(52)(7)(1)MA MB y y y y ⋅=--+--=4y 2―12y+5+y2―8y+7=5y 2―20y+12 由二次函数的知识，可知当20225
y -=-=⨯时，MA MB ⋅有最小值―8，此时(4,2)OM =。

（2）当(4,2)OM =，即y=2时，有(3,5)MA =-，(1,1)MB =-，||34MA =||2MB =， (3)15(1)8MA MB ⋅=-⨯+⨯-=-，
∴cos 17||||34MA MB AMB MA MB ⋅∠===-。

【总结升华】平面向量的共线关系、垂直或数量积关系式常和函数、三角函数、解析几何中的直线、直线与曲线的位置关系等知识联系起来解决问题。

举一反三:
【变式1】如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，'
P 是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>。

（1）当点P 是弧AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值；
（2）求'AP OP ⋅的最大值和最小值。

【答案】（1）23a （2）22a 、298
a - 【解析】
（1）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系。

因为P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，
连接OP ，则3BOP π
∠=，
点P 坐标为12a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭。

又点A 坐标是(),0a -，点B 坐标是(),0a ， 所以33(,),(2,0)2AP a a AB a ==， 所以23AP AB a ⋅=。

（2）设[),0,2,POB θθπ∠=∈则'
(cos ,sin ),(cos ,sin )P a a P a a θθθθ- 所以(cos ,sin ),(cos ,sin )AP a a a OP a a θθθθ=+=-
所以'22222cos cos sin AP OP a a a θθθ⋅=+-
=22212(cos cos )2
a a θθ+- =2221192(cos cos )2168
a a θθ++- =222192(cos )48
a a θ+- 当1cos ,4θ=-时'AP OP ⋅有最小值298a -， 当cos 1,θ=时'AP OP ⋅有最大值22a 。