人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_平面向量的数量积_提高

人教版高中数学必修四

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

平面向量的数量积

【学习目标】

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

【要点梳理】

要点一： 平面向量的数量积

1. 平面向量数量积(内积)的定义：

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ⋅，即有()cos 0a b a b θθπ⋅=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0.

2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释：

1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅；今后要学到两个向量的外积a b ⨯，而a b ⋅是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

(3)在实数中，若0a ≠，且0a b ⋅=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ⋅=，不能推出0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0︒时投影为b ；当θ=180︒时投影为b -.

要点二：平面向量数量积的几何意义

数量积a b ⋅表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ⋅的几何意义。图所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11||

a OB OB a =⋅。

事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <；

当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当00θ=时，由于cos 1θ=，所以1||OB b =；当0180θ=时，由于cos 1θ=-，所以1||OB b =-。

要点三：向量数量积的性质

设a 与b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1.cos e a a e a θ⋅=⋅=

2.0a b a b ⊥⇔⋅=

3.当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-. 特别的2a a a ⋅=或a a a =⋅

4.cos a b

a b θ⋅= 5.a b a b ⋅≤

要点四：向量数量积的运算律

1.交换律：a b b a ⋅=⋅

2.数乘结合律：()()()

a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅

3.分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅

要点诠释： 1.已知实数a 、b 、c(b≠0)，则ab=bc ⇒a=c.但是a b b c ⋅=⋅⇒a c =；

2.在实数中，有(a ⋅b)c=a(b ⋅c)，但是()()a b c a b c ⋅≠⋅

显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一

般a 与c 不共线. 要点五：向量数量积的坐标表示

1.已知两个非零向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，1212a b x x y y ⋅=+

2.设(,)a x y =，则222||a x y =+或2||a x =+

3.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么||(a x =-平面内两点间的距离公式).

要点六：向量在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件

1122//(0)(,)(,)a b a b b x y x y λλ→→→→→→

⇔=≠⇔= (2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件

121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=

(3)求夹角问题，利用2cos a b

a b x θ⋅==⋅+ (4)求线段的长度，可以利用2a a =或12(P P x = 【典型例题】

类型一：平面向量数量积的运算 例1． （1）已知|a |=4，|b |=5，向量a 与b 的夹角为

3

π，求①a ·b ；②(a +b )2；③a 2―b 2；④(2a +3b )·(3a ―2b )； （2）若向量a +b +c =0，且|a |=3，|b |=1，|c |=4，求a ·b +b ·c +c ·a 的值。

【思路点拨】（1）(a +b )2=222a a b b +⋅+，(2a +3b )·(3a ―2b )=6|a |2+5a ·b ―6|b |2 把模和数量积代入可得。（2）(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a )，把模和数量积代入可得。

【答案】（1）10 61 －9 ―4（2）―13

【解析】 （1）①1||||cos

451032

a b a b π⋅==⨯⨯=。 ②(a +b )2=|a |2+2a ·b +|b |2=61。

③a 2―b 2=|a |2―|b |2=－9。

④(2a +3b )·(3a ―2b )=6|a |2+5a ·b ―6|b |2=―4。

（2）∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a )， ∴222

2222()()0(314)1322

a b c a b c a b b c c a ++-++-++⋅+⋅+⋅===-。 【总结升华】（1）此类题目要充分利用有关的运算法则将其转化为求数量积及模的问题，特别要灵活应用a 2=|a |2。