15.1 伽利略变换式 经典力学的相对性原理

y
S
y S v
o
vt
z
z
( x,y,z) P ( x, y, z) o
x
x
现在考虑P点发生的一个事件：
S系观察者测出这一事件时空坐标为（x, y, z,t） S系观察者测出这一事件时空坐标为（x, y, z,t）
按经典力学观点，可得到两组坐标关系为
x x vt
考系为 S系。
S系中，也就是在实验室中，光从 P M1
再从 M1 P
所用时间为
t1

c
L v

c
L v

2Lc c2 v2

2L c
1 v2 c2

2L c
1
v2 c2

v4 c4


2L c
(1
v2 c2
)
在为(Sc2系 中v2光)12从，所P 以光M从2再从P
y y

z

z
或
t t
x x vt
y y

z

z
t t
这就是伽利略时空变换式 及逆变换公式。
15.1.3.经典力学时空观
1．时间间隔的绝对性
设有两事件 P1 P2 在 S 系中测得发生时 刻分别为 t1 t2 ，
在S 系中测得发生时刻分别为t1、t2 在 S系中测得两事件发生时间间隔为 t t2 t1 S 在 系测t2得两事件发生的时间间隔为t2 t t2 t1
（1）相对性原理：物理学规律在所有惯性系中都是 相同的，或物理学定律与惯性系的选择无关，所有的 惯性系都是等价的
（2）光速不变原理：在所有惯性系中，测得真空 中光速均有相同的量值c
15.3.2 洛仑兹变换
根据狭义相对论两条基本原理， 可以导出新的时空关系
设有一静止惯性参照系S，另一惯性系 S
沿轴正向相对以v匀速运动 (t t 0) 时 相应坐标轴重合
lim vA v
vc
1
v vA c2
lim c v vc 1 v c
d (c v)

d
dv (1
v)

1 1
c
dv
c
c
上述结果是光速不变原理的必然结果
（3）当 v c 1 时，有
x x vt
y y z z
或
t t
x x vt
y y

z

z
t t
即洛仑兹变换变为伽利略变换
15.3.2相对论速度变换

vx

vx v
1
v c2
vx
vy
根据这种看法，如果能借助某种方法测出地球相对于以 太的速度，作为绝对参照系的以太也就被确定了
在历史上，曾有许多物理学家做了很多实验来寻 求绝对参照系，但都没得出预期的结果。其中最 著名的实验是1881年迈克耳孙探测地球在以太中 运动速度的实验
迈克耳孙和莫雷在1887年
M2
所做的更为精确的实验
整个装置可绕垂直于图面的轴线转动，并保持固定 不变。设地球相对于绝对参照系（以太）的运动自 左向右，速度为v，设以太参考系为S系，实验室参
15．1 伽利略变换式 经典力学的相对 性原理
绝对时空观: 经典力学认为
时间、空间和运动是彼此分离的，
15.1.1．经典力学的相对性原理
牛顿运动定律适用的参照系称做惯性系， 相对于某惯性系做匀速直线运动的参照 系都是惯性系。力学定律对所有的惯性 系都适用，
也就是说， 力学现象对于不同的惯性系， 都遵循同样的规律，
)

Lv2 c3
两束光光程差为


ct

Lv2 c2
若把仪器旋转，则前、后两次的光程差
2

2Lv2 c2
在此过程中，T中应有
N

2

2Lv2
c2
条纹移过某参考线
L约为10m 光波波长为500nm
地球公转速度 3104 m.s-1
代入，则得
N 0.4
因为迈克耳孙干涉仪非常精细，它可以观察到 的 1 条纹移动，因此，迈克耳孙和莫雷应当毫无 困难10地0 观察到有0.4条条纹移动。但是，他们没有观 察到这个现象。迈克耳孙的实验结果，对企图寻求
1 2
y y z z
t

t

v c2
x
1 2
讨论：
（1）容易看出时间与空间是相联系的，
这与经典情况截然不同。
（2）因为时空坐标都是实数，所以
1 2
1
v2 c2
要求 v c
v 代表选为参考系的任意两个惯性系统的
相对速度。可知，物体的速度上限为 c

vy

(1
v c2
vx )
及
vz

vz

(1
v c2
vx )
1 1 2

vx

vx v
1
v c2
vx
v y

vy

(1
Байду номын сангаас
v c2
vx )
vz

vz

(1
v c2
vx )
例1 试求下列情况下，光子A与B的相对速度， （1）A、B反向而行； （2）A、B相向而行；
vA

vA 1
v
v vA c2
c c
1

c(c) c2
c
O
O
x
x
(2)A、B相向而行
v vB c vA c
vA
vA v
1

vvA c2
c （ c） c
1

(c)c c2
(3) A、B同向而行，有
vvAvBc c
vA
由于这个速度与光的传播速度相同， 所以人们认为光是电磁波
当1888年赫兹在实验室中产生电磁波 以后，光作为电磁波的一部分， 在理论上和实验上就完全确定了
传播机械波需要介质，因此，在光的电磁理论发展 初期，人们认为光和电磁波也需要一种弹性介质
十九世纪的物理学家们称这种介质为以太，他们 认为以太充满整个空间，即使真空也不例外，他 们并认为在远离天体范围内，这种以太是绝对静 止的，因而可用它来作绝对参照系
某一事件 P 在 S、S上时空坐标 (x, y, x,t)
与 (x, y, z,t) 变换关系将如何？
用相对性原理和光速不变原理
洛伦兹时空坐标变换
x
x vt
1 2

y

y
z z
t
t
v c2
x
1 2
或
v
c

x


x vt
狭义相对论
因为，t1 t1，t2 t2 所以就有 t t
此结果表示： 在经典力学中无论从哪个惯性系 来测量两个事件的时间间隔，所 得结果是相同的
即时间间隔是绝对的，与参照系无关。
2．空间间隔的绝对性
设一棒，静止在 S系上，沿 x 轴放置
在 S系中测得棒两端的坐标为 x1、x2 (x2 x1) 棒长为 l x2 x1
第十五章
狭义相对论
有兴趣的同学可参考: 爱因斯坦文集 第二卷
论动体的电动力学
P.83~ P.99 (-P.115)
历史背景
• 十九世纪末，物理学天空一片晴朗，正 如1900年英国物理学家开尔文在瞻望20 世纪物理学的发展时所说：
“在已经基本建成的科学大厦中， 后辈的物理学家只要做一些零碎的修 补工作就行了。 ” --开尔文--
（3）A、B同向而行
y
y
S
S


A
B
O
O
x
x
: 解 取S系为实验室坐标系
S 系是固定在B上的坐标系 S、S 相应的坐标轴平行
x(x) 轴与A、B运动方向平行。
y
y
S
S

AB
O
O
x
x
A、B反向而行
(1)如图所示A、B反向而行
vvAvBc c
y
y
S
S

AB
在研究力学规律时， 所有的惯性系都是等价的，
• 没有一个参照系比别的参照系具有绝对的 或优越的地位.
15.1.2.伽利略时空变换式
y
y
S
S v
o
vt
z
z
( x,y,z) P ( x, y, z) o
x
x
如图所示，有两个惯性系,S, S 相应 坐标轴平行，相对以沿正向匀速运 动，t t 0 时，O 与 O重合。
M2 P的速度均 M2 p 所用时间为
t2
2L c
1 v2 c2

2L c
(1
v2 2c 2
)
1 对 1 v2 c2 做级数展开
从S 系来看（地球上或仪器上），P点发出
的两束光到达望远镜时间差为
t

t1

t2

2L c
(1
v2 c2
）
2L c
(1
v2 2c2
作为绝对参照系的以太，结果十分令人失望
结论：
（1）迈克耳孙实验否定了以太的存在。
（2）迈克耳孙实验说明了地球上光速沿各个方
向都是相同的（此时， 0 所以无条纹移动）。
15.3 爱因斯坦狭义相对论基本假设 洛仑兹变换
15.3.1 爱因斯坦假设
1905年爱因斯坦发表一篇关于狭义相对论的假设 的论文，提出了两个基本假设
“但是，在物理学晴朗天空的远处，还有 两朵令人不安的乌云，----”
这两朵乌云是指什么呢？
热辐射实验
迈克尔逊莫雷实验
后来的事实证明，正是这两朵乌云发展成为一 场革命的风暴，乌云落地化为一场春雨，浇灌 着两朵鲜花。
普朗克量子力学诞生 爱因斯坦的相对论问世
经典 力学
高速领域 微观领域
相对论 量子力学
vvxy

vx vy

v
vz vz
vvxy

vx vy

v
vz vz
这就是伽利略变换下速度变换公式
把上式两边再对 时间求导数，有
aaxy

ax ay
az az
物体的加速度对伽利略变换是不变的
15.2 迈克耳孙—莫雷实验
1856年麦克斯韦提出电磁场理论时，曾预言了 电磁波的存在，并认为电磁波将以3108m∙s-1 的速度在真空中传播
在 S系中同时测得棒两端坐标分别为 x1、x2
棒长为
l x2 x1 (x2 vt) (x1 vt) x2 x1
即 l l
结果表示 ：
在不同惯性系中测量同一物体长度， 所得长度相同，即空间间隔是绝对的，与 参照系无关
15.1.4. 伽利略速度变换式
把伽利略变换等式两边求关于对时间的导数