模糊数学课件(清晰易懂)讲解
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~
A( x)＝0.5, 最具有模糊性，过渡点
~
8
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： （1）Zadeh表示法
A A( x1 ) A( x2 ) A( xn )
x1
x2
xn
这里
A( xi xi
)
表示
xi
对模糊集A的隶属度是
A(
xi
)。
9
（2）序偶表示法 A {( x1, A( x1 )),( x2 , A( x2 )),,( xn , A( xn ))}
)1
0 u 50 50 u 100
1
0
U
50
100
12
再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属
于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：
Y
(u
)
(1
(u
1 25)2 5
)1
0 u 25 25 u 100
1
0
50
U
13
模糊集合的运算
17
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素： （1）论域U；
（2）U中的一个固定元素 u0 ;
（3）U中的一个随机运动集合 A*;
（4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊子集A，
制约着 A* 的运动。A* 可以覆盖 u0 ,也可以不覆盖 u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。
14
并交余计算的性质 1. 幂等律 A A A, A A A, 2. 交换律 A B B A, A B B A, 3. 结合律 A (B C) (A B) C,
A (B C) (A B) C 4. 吸收律 A (A B) A, A (A B) A
4
下面我们正式走进 模糊的世界
5
一、经典集合与模糊集合
模糊集合
.u .u
A
A
uA
非此及彼
uA
6
亦此亦彼
A U
模糊集合 A , 元素 x ~
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
18
特点：在各次试验中，u0是固定的，而 A* 在随机变动。 模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
u0对A的隶属频率
u0
A*的次数 n
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u0 对A的隶属度：
A(u0
)
lim
n
u0
A*的次数 n
19
对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间，
7
定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A( x) [0,1]
~
确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 A 称为 A 隶属函
~
~
~
数，A( x)
~
称为 x
对
A 的隶属程度，简称隶属度。
~
A( x) 越接近于0, 表示 x 隶属于A 的程度越小；
~
A( x) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大；
二、模糊集的运算 定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义 相等： A B A( x) B( x),x U 包含：A B A( x) B( x),x U
并： (A B)(x) A(x) B(x),x U 表示取大；
交： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取小。 补： Ac ( x) 1 A( x),x U
16
5. 分配律 A (B C) (A B) (A C), A (B C) (A B) (A C)
6. 0-1律 A A, A , A U U , A U A
7. 还原律 ( Ac )c A, 8. 对偶律 ( A B)c Ac Bc,( A B)c Bc Ac,
2
模糊数学绪论
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
3
模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离 屏幕 的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。
1
模糊数学绪论
•产生
1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想 用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。 如某员工属于优秀的程度为0.6, 属于良好的程度 为0.2，属于一般的程度为0.1，属于较差的程度 为0.1。
18-25 14-25 15ห้องสมุดไป่ตู้30 ┅ 15-30
17-30 18-30 18-35 ┅ 18-30
17-28 18-35 17-30 ┅ 17-25
则模糊集A（质量好）
A 0.81 0.53 1 0 0.24
x1
x2 x3 x4 x5
11
例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集，
u = 20 ∉ A，40 呢？…札德给出了 “年老” 集函数刻画:
O(u)
(1
(u
0 50)2 5
模糊空调器——由于用微机进行模糊控制，到了 设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的 工作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。
模糊煮饭器——一次最多可煮1.8升米饭，内装 锅体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时， 每分钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊 理论对火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松 软可口。
（3）向量表示法 A ( A( x1), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A( x)
A
xU x
10
例1. 有100名消费者，对5种商品 x1, x2, x3, x4, x5 评价， 结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好， 所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
A( x)＝0.5, 最具有模糊性，过渡点
~
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模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： （1）Zadeh表示法
A A( x1 ) A( x2 ) A( xn )
x1
x2
xn
这里
A( xi xi
)
表示
xi
对模糊集A的隶属度是
A(
xi
)。
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（2）序偶表示法 A {( x1, A( x1 )),( x2 , A( x2 )),,( xn , A( xn ))}
)1
0 u 50 50 u 100
1
0
U
50
100
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再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属
于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：
Y
(u
)
(1
(u
1 25)2 5
)1
0 u 25 25 u 100
1
0
50
U
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模糊集合的运算
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三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素： （1）论域U；
（2）U中的一个固定元素 u0 ;
（3）U中的一个随机运动集合 A*;
（4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊子集A，
制约着 A* 的运动。A* 可以覆盖 u0 ,也可以不覆盖 u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。
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并交余计算的性质 1. 幂等律 A A A, A A A, 2. 交换律 A B B A, A B B A, 3. 结合律 A (B C) (A B) C,
A (B C) (A B) C 4. 吸收律 A (A B) A, A (A B) A
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下面我们正式走进 模糊的世界
5
一、经典集合与模糊集合
模糊集合
.u .u
A
A
uA
非此及彼
uA
6
亦此亦彼
A U
模糊集合 A , 元素 x ~
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
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特点：在各次试验中，u0是固定的，而 A* 在随机变动。 模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
u0对A的隶属频率
u0
A*的次数 n
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u0 对A的隶属度：
A(u0
)
lim
n
u0
A*的次数 n
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对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间，
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定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
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x A( x) [0,1]
~
确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 A 称为 A 隶属函
~
~
~
数，A( x)
~
称为 x
对
A 的隶属程度，简称隶属度。
~
A( x) 越接近于0, 表示 x 隶属于A 的程度越小；
~
A( x) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大；
二、模糊集的运算 定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义 相等： A B A( x) B( x),x U 包含：A B A( x) B( x),x U
并： (A B)(x) A(x) B(x),x U 表示取大；
交： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取小。 补： Ac ( x) 1 A( x),x U
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5. 分配律 A (B C) (A B) (A C), A (B C) (A B) (A C)
6. 0-1律 A A, A , A U U , A U A
7. 还原律 ( Ac )c A, 8. 对偶律 ( A B)c Ac Bc,( A B)c Bc Ac,
2
模糊数学绪论
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
3
模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离 屏幕 的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。
1
模糊数学绪论
•产生
1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想 用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。 如某员工属于优秀的程度为0.6, 属于良好的程度 为0.2，属于一般的程度为0.1，属于较差的程度 为0.1。
18-25 14-25 15ห้องสมุดไป่ตู้30 ┅ 15-30
17-30 18-30 18-35 ┅ 18-30
17-28 18-35 17-30 ┅ 17-25
则模糊集A（质量好）
A 0.81 0.53 1 0 0.24
x1
x2 x3 x4 x5
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例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集，
u = 20 ∉ A，40 呢？…札德给出了 “年老” 集函数刻画:
O(u)
(1
(u
0 50)2 5
模糊空调器——由于用微机进行模糊控制，到了 设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的 工作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。
模糊煮饭器——一次最多可煮1.8升米饭，内装 锅体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时， 每分钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊 理论对火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松 软可口。
（3）向量表示法 A ( A( x1), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A( x)
A
xU x
10
例1. 有100名消费者，对5种商品 x1, x2, x3, x4, x5 评价， 结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好， 所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好