正态总体的抽样分布

解 ( X Y ) (6 5) ~ N (0,1)
1/10 1/10
P( X Y 1.3)
P
(X Y ) (6 5) 1/10 1/10
1.3 (6 5) 1/10 1/10
P
(X
Y) 1/10
(6 5) 1/10
0.67
(0.67)
0.7486
定理5 : 设总体X 与Y相互独立, ( X1, X 2,..., X nX )是来自
1 nX (X
nX 1 i1
Xi )2
(Y1,Y2 ,...,YnY
)是来自总体Y
~
N (Y
,
2 Y
)的一个样本,
Y
1 nY
nY
Yi ,
i 1
SY2
1 nY 1
nY i 1
(Y
Yi )2
定理4： ( X Y ) (X Y ) ~ N (0,1)
2 X
/ nX
2 Y
/ nY
证
由于
X
~
N
~
N
(
X
,
2 X
)的一个样本,
S
2 X
为其样本方差;
(Y1,Y2 ,...,YnY
)是来自总体Y
~
N
(
Y
,
2 Y
)的一个样本,
SY2为其样本方差;则
F
S
2 X
SY2
2 Y
2 X
~ F(nX
1, nY
1)
特别,当σX2 = σY2时,有
F
S
2 X
SY2
~
F (nX
1, nY
1)
证 由于
(nX
1)S
2
(nX
1)
S
2 X
2
(nY
1)SY2
2
~ 2 (nX nY 2)
(3)故
T
V
U /(nX nY
2)
(X
Y ) (X Y )
Sw
1 1 nX nY
~ t(nX
nY
2)
例
6:
设总体
X
~
N
(6,
2 1
),
Y
~
N
(5,
2 2
)
有
n1
n2
10
的
两个独立样本， s12 0.9130 , s22 0.9816 ，求两个样本
X
2 X
~ 2(nX
1)
且相互独立
(nY
1)S
2
Y
2 Y
~
2 (nY
1)
由F分布的构造知
(nX
1)
S
2
X
2 X
(nY
1)
S
2
Y
2 Y
/ (nX 1) / (nY 1)
~
F (nX
1, nY
1)
即
S2 X
S2 Y
2 Y
2 X
~ F(nX
1, nY
1)
例 7: 设总体 X ~ N(,3),Y ~ N(,5) 有 n1 10, n2 15 的两
均值之差 X Y 小于 1.3 的概率.
解
(X Y ) (6 5) ~ t(18)
S 1/10 1/10
其中 S2
(n1
1)S12
(n2
1)S
2 2
n1 n2 2
9 0.9130 9 0.9816 0.97332 18
则
P( X Y 1.3)
P
X Y 6 5
0.9733 1/10 1/10
(2)
n
(n 1)S 2
2
(Xi X )2
i 1
2
~
2 (n 1)
定理3 : 设( X1, X 2 ,..., X n )是来自总体X ~ N (, 2 )的
一个样本, X 与S 2分别为其样本均值与样本方差,则
( X ) ~ t(n 1)
S/ n
证明 因为X ~ N(, 2 ),即 X n(X ) ~ N(0,1)
个独立样本，求两个样本方差之比
S12
/
S
2 2
大于
1.272
的概率. 解 因为
所以
查表得
S12 S22
5 3
~
F (9,14)
P
S12 S22
1.272
P
S12 S22
5 3
1.272
5 3
P
S12 S22
5 3
2.12
F0.19,14 2.12
因此
P
S12 S22
1.272
0.1
例 1:设总体 X ~ N(,4) ,有样本 X1, X 2 ,, X n ,当样本 容量 n 为多大时,使 P(| X | 0.1) 0.95.
解 X X ~ N(0,1)
n 2/ n
P(|
X
|
0.1)
P
0.1 2/ n
X
2/ n
0.1 2/ n
(0.05 n ) (0.05 n ) 2(0.05 n) 1 0.95
1)SY2
nX nY 2
• 注:此定理只有在两个总体的方差相等时才成立.
• 证明: (1)因为
X
~
N
(
X
,
2 nX
)
Y
~
N
(Y
,
2 nY
)
所以 (2)因为
U
(
X
Y ) (X
Y )
~
N (0,1)
11
nX nY
(nX
1)
S
2
X
2
~ 2(nX
1)
(nY
1)
S
2
Y
2
~
2 (nY
1)
所以
V
总体X
~
N (X
,
2 )的一个样本,
X
与S
2 X
分别为其样本均
值与样本方差; (Y1,Y2 ,...,YnY )是来自总体Y ~ N (Y , 2 )的
一个样本,Y 与SY2分别为其样本均值与样本方差;则
(X
Y Sw
) (X
1 1 nX nY
Y
)
~
t(nX
nY
2)
其中 SW2
(nX
1)S
2 X
(nY
n / n
n
又
(n 1)S 2
2
(Xi X )2
i 1
2
~
2 (n 1)
且它们表示的随机变量是相互独立的,故
X
T
n
( X ) ~ t(n 1)
(n 1)S 2
2
(n 1)
S/ n
例 2:设总体 X ~ N(3, 2) ,有 n=10 的样本,样本方差 s2 4 ,求样本均值 X 落在 2.1253 到 3.8747 之间的 概率.
所以 (0.05 n) (1 0.95) / 2 0.975
由于, (1.96) 0.975 ,即 0.05 n 1.96 ,
于是得 n 1536.6 1537.
例2.设X ~ N(72 ,100),为使样本均值大于70
的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?
解 设样本容量为 n , 则 X ~ N (72,100)
P
9 4
S2
5.8995 ,
查表得
x2 0.75
(9)
5.899
则有 P(S 2 2.622 ) 0.75
§2.2 两个正态总体下的统计量的分布
设总体X与Y相互独立, ( X1, X 2 ,...,X nX )是来自
总体X
~
N
(
X
,
2 X
)的一个样本:
1
X nX
nX
Xi,
i 1
S
2 X
故 P(X 70) 1 P(X 70)
n
70 72
1
10 n
0.2
n
令 0.2 n 0.9 得 0.2 n 1.29
即 n 41.6025 所以取 n 42
• 定理2:设(X1, X2, …, Xn)是来自总体X~N(μ,σ2) 的一个样本,则
(1) 样本均值 X与样本方差 S 2相互独立;
(
X
,
2 X
nX
) 与Y
~
N(Y,Fra bibliotek2 YnY
)独立
所以
X
Y
~
N(X
Y
,
2 X
nX
2 Y
)
nY
因此 (X Y ) (X Y ) ~ N (0,1)
2 X
/ nX
2 Y
/ nY
例 5: 设总体 X ~ N (6,1),Y ~ N (5,1) 有 n1 n2 10 的两个 独立样本，求两个样本均值之差 X Y 小于 1.3 的概 率.
解 X X 3 ~ t(9)
S n 2 / 10
解 X X 3 ~ t(9)
S n 2 / 10
P(2.1253
X
3.8747 )
P
2.1253 2 10
3
X 2
3 10
3.8747 2 10
3
P 1.3830
X 2
3 10
1.3830.
由分布表得 t0.1(9) 1.3830
1.3 0.9733
6 5
1/10 1/
10
P
X Y 6 5
0.9733 1/10 1/10
0.6884
t0.25 (18) 0.6884
P X Y 1.3 1 0.25 0.75
定理6 : 设总体X 与Y 相互独立, ( X1, X 2 ,..., X nX )是来
自总体X
第三节 正态总体的抽样分布
一个正态总体下的统计量的分布 两个正态总体下的统计量的分布
§2.1 一个正态总体下的统计量的分布
定理1 : 设( X1, X2 ,..., Xn )是来自总体X ~ N (, 2 ) 的一个样本,则样本均值X ~ N(, 2 ).
n
推论：X ~ N(, 2 ), 于是 X ~ N(0,1) n
P(2.1253 X 3.8747 ) 1 2 0.1 0.8
例 3: 设 X1, X 2 ,, X10 是来自总体 X ~ N(,4) 的样本, 求样本方差 S 2 大于 2.622 的概率.
解 由于
(10 1)S 2 ~ 2 (9)
4
P(S 2
2.622)
P
9 4
S2
9 4
2.622