郑州市2013-2014高一上期期末数学试题及答案.

2013-2014学年上期期末考试
高一数学试题卷
参考公式：33
4R V π=
球 , 24R S π=球 , 其中R 为球的半径。

Sh V 31=锥体 ，其中S 为锥体的底面积，h 是锥体的高。

Sh V =柱体 ，其中S 为柱体的底面积，h 是锥体的高。

第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合{}12<≤-=x x A ，{}20≤<=x x B ，则B A ⋂=（ ） A. {}22≤≤-x x B. {}02<≤-x x C. {}10<<x x D. {}21≤<x x
2. 下列函数中，在R 上单调递增的是（ ） A. x y = B. x log y 2= C. 3x y = D. x y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21 3. 经过点()()42-,m N ,m M ，的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）
A. 1
B. 4
C. 1或3
D. 1或4
4. 如果直线m //直线n ,且m //平面α,那么n 与α的位置关系是（ ）
A. 相交
B. n //α
C. n ⊂α
D. n //α或n ⊂α
5. 设32-=a ，8173log b = ，1
32-⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则（ ） A. c b a >> B. c b a << C. c a b << D. a c b <<
6. 如图是一个简单的组合体的直观图与三视图，一个棱长为4的正方体，正上面中心放一个球，且球的一部分嵌入正方体中，则球的半径是（ ）
A.
2
1 B. 1 C. 23 D.
2 7. 若直线()()()0122
>=-++a a y a x a 与直线()()02321-=+++y a x a 互相垂直，则a 等于（ ）
A. 1
B. -1
C.±1
D. -2
8. ()00y ,x M 为圆()0222>=+a a y x 内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系为（ ）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D.相切或相交
9. 直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，则AB 的最小值是（ ） A. 32 B.22 C.2 D. 1
10. 已知A b a ==53,且211=+b
a ，则A 的值是（ ） A.15 B.15 C. ±15 D.225
11. 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点E,、F ，且2
1=EF ,则下列结论中错误的是（ ）
A. BE AC ⊥
B.平面ABCD //EF
C. 三棱锥BEF A -的体积为定值
D. AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等 12. 已知()()⎩⎨⎧≥<--=113x ,x log x ,a x a x f a
，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）
A. ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡323, B.()31, C. ()10, D. ()∞+，1 第II 卷 （非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 棱长为2的正方体的外接球的表面积为 ．
14. 已知函数()3log ,0
2,0x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则()()31f f +-= ．
15. 集合(){}422=+=y x y ,x A ，()()(){}
22243r y x y ,x B =-+-=，其中0>r ,若B A ⋂中有且仅有一个元素，则r 的值是 ．
16. 一条直线经过点()22，
-A ，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为
.
三．解答题（本大题共６小题，共７０分。

解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）
17. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了并流入杯中，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由。

（冰、水的体积差异忽略不计）()143。

≈π
18. 某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x 元与日销售量y 件
（Ｉ）确定x 与y 的一个一次函数关系式()x f y =；
（II ）若日销售利润为P 元，根据（Ｉ）中关系写出P 关于x 的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
19. 已知直线l 经过点()52,P -，且斜率为4
3-． （Ｉ）求直线l 的方程；
（II ）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．
20. 在长方体1111D C B A ABCD -中，截下一个棱锥11DD A C -，求棱锥11DD A C -的体积与剩余部分的体积之比．
21.已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程.
22. 已知R a ∈,函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-=0
11011x ,x a x ,x x f .
（Ｉ）证明：函数()x f 在()∞+，0上单调递增；
（II ）求函数()x f 的零点．
2013—2014学年上期期末考试
高中一年级 数学 参考答案
一、选择题
CCADC BCCAB DA
二、填空题
13. π12 14. -1 2
15. 3或7 16. x +2y -2=0或2x +y +2=0
三、解答题 17. 解：因为=
V 半球31423
R π⨯ …………2分 =314423π⨯⨯ 3134()cm ≈． …………4分
=V 圆锥213
r h π …………6分 214123
π=⨯⨯ 3201()cm ≈． …………8分
因为V 半球＜V 圆锥
所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．…………10分
18. 解: (1)因为f (x )为一次函数，设y =ax +b ，解方程组
45b 27012a 5a b +=⎧⎨+=⎩，，
…………2分 得a =－3，b =162, …………4分
故y =162-3x 为所求的函数关系式，
又∵y ≥0，∴0≤x ≤54． …………6分
(2)依题意得：
P ＝(x －30)·y =(x －30)·(162－3x ) …………8分
＝－3(x －42)2+432. …………10分
当x =42时，P 最大=432,
即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润． …………12分
19. 解：(1)由直线方程的点斜式，得
y -5=34
-(x +2), …………2分
整理得所求直线方程为
3x+4y-14=0. …………4分
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+C=0，…………6分
由点到直线的距离公式得
3
=, …………8分
即14C3
5
+
=
｜｜,
解得C=1或C=-29，…………10分
故所求直线方程为
3x+4y+1=0或3x+4y-29=0．…………12分
20.解：已知长方体是直四棱柱，
设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，…………2分
则它的体积为V=Sh．…………4分
而棱锥C-A1DD1的底面积为
1
2
S，高为h，…………6分
故三棱锥C-A1DD1的体积：
11
C A DD
111
V Sh Sh
326
-
=⨯=，…………8分
余下部分体积为：
15
Sh Sh Sh
66
-=．…………10分
所以棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5．…………12分21.解：设圆心坐标为(3m，m)．…………2分
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，…………4分
∴圆心到直线y＝x
｜｜
．…………6分
由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，…………8分
∴m＝±1, …………10分
∴所求圆C的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9．…………12分
22. (1)证明:在()
0,+∞上任取两个实数
12
,x x,且
12
x x
<,
则()()
12
12
11
11
f x f x
x x
⎛⎫⎛⎫
-=---
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭21
11
x x
=-12
12
x x
x x
-
=．…………2分
∵
12
0x x
<<, ∴
1212
0,0
x x x x
-<>．
∴1212
0x x x x -<, 即()()120f x f x -<. ∴()()12f x f x <． ∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增． …………4分
(2) (ⅰ)当0x >时, 令()0f x =, 即110x
-=, 解得10x =>. ∴1x =是函数()f x 的一个零点． …………6分
（ⅱ）当0x ≤时, 令()0f x =, 即()110a x -+=．(※)
① 当1a >时, 由(※)得101x a =
<-, ∴11x a
=-是函数()f x 的一个零点； …………8分 ② 当1a =时, 方程(※)无解；
③ 当1a <时, 由(※)得101x a
=>-,(不合题意,舍去) …………10分 综上, 当1a >时, 函数()f x 的零点是1和11a
-； 当1a ≤时, 函数()f x 的零点是1． …………12分。