等腰三角形一对一辅导讲义
等腰三角形一对一辅导
讲义
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
教学目标
1.掌握等腰三角形的下列性质:等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形三
线合一.
2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明.
重点、难点
1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质:等边对等角;三线合
一.
2、等腰三角形三线合一性质的运用,在解题思路上需要作一些转换。
考点及考试要求1、等腰三角形的性质
2、等腰三角形的证明
教学内容
第一课时等腰三角形知识梳理
1、已知线段a,h(如下图)用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高线为h。
2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm,5cm,这个三角形的周长是 cm。
3、请写出周长为8cm,且边长均为整数的等腰三角形的各边长。
4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1,求这个三角形各角度数。
5、已知:如图,AB=AC,BD⊥AC,垂足为点D。求证:∠DBC=
2
1∠A。
课前检测
A
B C
D
图2-5
A
B C
D
(1)等腰三角形的定义
等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形(如下图AB=AC),
相等的两边叫做腰(AB和AC),另一边叫底边(BC),两腰的夹角叫做顶角
(A
∠),腰和底边的夹角叫做底角(C
∠
∠和
B)
(2)等腰三角形的性质
等腰三角形性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中,等边对等角”。
等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。
注:上述性质指导学生通过证全等自己来推理
(3)等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形,各边相等,各角均为60度。
第二课时等腰三角形典型例题
题型一:根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度
例1:等腰三角形两个内角的度数之比为1:2,这个等腰三角形底角的度数为
【点拨】:本题的考点是等腰三角形两底角相等,但题目中没有明确是底角:顶角=1:2还是顶角:底角=1:2,所以要分两种情况进行讨论,根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数,很多学生容易漏掉一种情况。
变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形的顶角度数为
度。
典型例题
知识梳理
变2、一个等腰三角形的一个外角等于110度,则这个三角形的顶角为度。
例2:如图,等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12cm和21cm两部分,则这个等腰三角形底边长为 cm
【点拨】:要分要分AB+AD=15,CD+BC=6和AB+AD=6,CD+BC=15两种情况讨论.
变3、已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数,且满足a+bc+b+ca=24,则这样的三角形共有个。
变4、在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAD=20?°,且AE=?AD,D底边上一点,E是腰上一点,
则∠CDE=________.
题型二:利用等腰三角形的性质证线段或角相等
例3:如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,?以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连结PQ,证明CQ2+PQ2=PC2
【分析】(1)把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ.?利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ,得到AP=CQ.(2)连接PQ,则△PBQ是等边三角形.PQ=PB,AP=CQ故CQ:PQ:PC=PA:PB:PC=3:4:5,
【点拨】利用等边三角形性质、判定、三角形全等完成此题的证
明.
变5、已知:如图所示,ACB
ABC∠
∠,的平分线交于F,过F作,
//BC
DE交AB于D,交AC于E.求证:DE
EC
BD=
+.A
变6、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,BP⊥AD于P,AB=5,BP=2,AC=9。求证:∠ABP=2∠ACB。
题型三:利用等边三角形的性质证线段或角相等
例4:已知:如图,∠ABC,∠ACB的平分线交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E。
求证:BD+EC=DE。
变7、如图,C是线段AB上的一点,△ACD和△BCE是等边三角形,AE交CD于M,BD交CE于N,交AE于O。
求证:(1)∠AOB=120°;
(2)CM=CN;
(3)MN∥AB。
题型四:利用直角三角形的性质证线段或角相等
A
P
D C
B
例
5
:已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,CD⊥AB(如图所示)。
求证:(1)AB=2BC;
(2)CE=AE=EB。
变8、如图所示,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是点E、F,且BF=CE。判断△ABC的形状并证明。
第三课时等腰三角形课堂检测
1、如图,在△ABC中,点D是BC边上一点,∠BAD=80°,AB=AD=DC,则∠C= 度。
图1 图2
2、如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,则∠ABC的大小是度。
3、如图,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°,则∠EDC的度数为度。
课堂检测
M
图3 图4
4、如图,AM、BN分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AM=BN=AB,则∠BAC的度数为
度。
5、如图,在△ABC中,AB=BC,在BC上取点M,在MC上取点N,使MN=NA,若
∠BAM=∠NAC,则∠MAC= 度。
图5 图6
6、如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=(AB+AD),则∠ABC+∠ADC的度数是 180 度。
7、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=AE,BC=BF,则∠ECF=( B )。
A、60 °
B、45 °
C、30 °
D、不确定
8、如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于( A )。
A、90°—∠ A
B、90°—∠ A
C、180°—∠ A
D、 45°—∠ A
第7题第8题
9、如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,则∠C的大小是( A )
A、20 °
B、25 °
C、30 °
D、45 °
10、如图,在等腰直角△ABC中,AD为斜边上的高,以D为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于E,连结EF与AD相交于G,则∠AED与∠AGF的关系为( B )
A、∠AED> ∠AGF
B、∠ AED=∠AGF
C、∠ AED <∠AGF
D、不能确定
第9题第10题
11、如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=,求证:BD是∠ABC的角平分线。
12、如图,已知△ABC中,∠ABC=45 °,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE ⊥AC于E,与CD 相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G,(1)求证:BF=AC;(2)求证:CE=;(3)CE与BG的大小关系如何试证明你的结论。
13、如图,AE、AD是直线且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA,若∠DAE=x°,求x的值
14、如图所示,是城市部分街道示意图,AB=BC=AC,CD=CE=DE,A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点,“甲公共汽车”从A站出发,按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F 站,“乙公共汽车”从B站出发,沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。如果甲、乙分别同时从A、B站出发,在各站耽误的时间相同,两车速度也一样,试问哪
一辆公共汽车先到达指定站为什么?