悠悠球自转与回收过程中的力学问题

2. 下落过程 悠悠球在下落的过程中由于重力的作用速度不断变大，下落过程类似于 纯滚动，在这里不研究，随着悠悠球的下落，缠绕的细绳越来越接近球 的中心，忽略空气阻力等能量耗散，设当细绳完全抽出时悠悠球转动的 角速度为������1 ，由能量守恒定理及动能定理可知 1 mgl = ������1 − ������0 = ������������ + ������������ 2 ������1 2 − W 2 得： ������1 = 质心速度为： ������������ 1 = ������1 ������ = ������ 2（������ + ������������������） ������������ + ������������ 2 2（������ + ������������������） ������������ + ������������ 2
过程中竖直方向冲量������������ 满足： ������������ = −������������ 2（������ + ������������������） ������������ + ������������ 2
即������������ 的大小随着 W 的增大而增大，因此 W 不能过大，以防发生细线 断裂等安全性问题。 3. 悠悠球内径������������ 及轴承摩擦系数 μ 的影响 由表达式不难看出 T 随������0 及������ 的减小而增大，这从直观上不难理解， ������0 及������ 越小，范性过程中摩擦力产生的水平方向冲量矩也越小，导致角速 度衰变慢，睡眠时间变长。 4. 其余变量由于与 T 函数关系较为繁琐， 求导复杂， 在这里不再一一赘述。
·过程分析
假设悠悠球的质量为 m，对质心的转动惯量为������������ 。细绳长为 l，不计形变及 质量。轴承摩擦系数为μ ，内外半径分别为������0 ，������，细绳全部缠绕在轴承上时半 径为 R，忽略轴承的质量及转动惯量。假设悠悠球进行一个简单运动：以一定初
速度被甩出，方向竖直向下，到达底端经过一段时间的睡眠后收回。下面分五个 过程进行定量计算。 1. 出手过程 将悠悠球甩出时手对悠悠球做功为 W， W 的作用是使其绕瞬心 O 做角速度 为������0 的纯转动，如图所示，则由动能定理及平行轴定理可知： 1 1 W = ������0 = ������������ ������0 2 = (������������ + ������������ 2 )������0 2 2 2 得： ������0 = 2������ ������������ + ������������ 2
2 ������ + ������������������ ������������ ������3 − 2 ������������ + ������������ ������������������������0
������ 显然������������������ − ������ ≥ 0，所以 T 随 W 的增大而增大，但与此同时，范性 ������ 0
������4 =
������������ ������3 2 − 2������������������ ������������ + ������������ 2
至此， 对于悠悠球运动过程的分析告一段落，接下来对于影响上式中睡眠时 间 T 的各因素进行讨论。
·结果讨论
T= ������������ ������������������������0 2 ������ + ������������������ ������ 2 ������ + ������������������ − ������ − 3 ������������ + ������������ 2 ������ ������������ + ������������ 2
悠悠球是一个陪伴我走过整个童年的玩具， 但从小到大我一直没有试图去弄 清悠悠球工作时的原理， 直到本学期学习了理论力学，这门课提供给我了一种全 新的分析物体运动与受力的方法，让我可以试图去解决这个困扰我多年的问题。 悠悠球在被以一定初速度甩出后，到达绳线低端时会自转一段时间，这段时 间称为睡眠， 而悠悠球经过一段时间的睡眠后会自动回收， 回到手中。 究其原理， 是因为悠悠球中存在一离合器结构，器示意图如下
悠悠球自转与回收过程中的力学问题
摘要：悠悠球不仅仅是一项运动，也是世界上花式最多最难、最具观赏性的手上技巧运 动之一。有人说悠悠是益智玩具，但悠悠球决不是益智玩具所能比的。悠悠球（YOYO） ，一 个大家并不陌生的字眼，但往往被理解为幼稚的小孩玩具，事实上，悠悠球被称为“世界上 第二大古老的玩具” 。 （最古老的玩具是洋娃娃） 。但经过许多年的不断创新与发展，悠悠球 正在成为一项风靡全球的手上技巧运动。 本文将通过理论力学的知识， 定量分析悠悠球在自 转与回收过程中的力学问题。 关键字：自转，回收，离心力，刚体
与此同时，由于轴承不完全光滑，轴承会对转抽产生一定的冲量距，水 平方向的冲量距是竖直方向的μ 倍： L = −������������ ������0 = −μ ������������ ������0
设范性过程结束时悠悠球角速度为ω 2 ，由动量矩定理：
L = −μ mrr0
得：
2（������ + ������������������） = ������������ （������2 − ������1 ） ������������ + ������������ 2
在当悠悠球下落时，重锤受到惯ห้องสมุดไป่ตู้离心力
F = m������2
的作用而带动离合器臂压缩弹簧，进而张开，离合器臂离开轴心，可以使悠悠球 自转，由于存在摩擦阻力的作用（主要是转动轴承内部的摩擦阻力） ，经过一段 时间后， 角速度变小， 离心力变小， 弹簧所提供的弹力变小， 弹簧的压缩量变小， 弹簧伸长，直到离合器臂接触到轴心时，离合器臂会带动轴心一起转动，进而将 悠悠球回收。
3. 范性过程 此时线会迅速张紧，产生一个竖直向上的冲量，使质心的速度立刻变为 零，平动动能耗散成其他形式能量，而转动动能保持不变，此过程称为 范性过程，规定向下为正，冲量为 ������������ = 0 − ������������������ 1 = −������������������ 1 = −������������ 2（������ + ������������������） ������������ + ������������ 2
，所以������3 =
2������������������ ������ ������
时睡眠时间最长。
2. 初始做功 W 的影响 将 T 的表达式稍加变形： T=
������ ������
������������ ������ − ������������������������0 ������
������������
������������ = −μ mg������0 ������������
对上式积分，同时带入初始条件ω = ������2 t = 0 得： ������������ ������������ − ������2 = −μmg������0 ������ 得： ������������ = 1 − ������������������������0 ������������ 2 ������ + ������������������ ������������������������0 ������ − 2 ������������ + ������������ ������������
·参考文献：
《理论力学》梁昆淼，高等教育出版社，2009
1. 临界角速度������3 对时间 T 的影响 从 T 的表达式中不难看出，T 随������3 的减小而线性增大，故若要让睡 眠时间 T 增大， 则������3 应尽量小， 但同时为保证悠悠球最后可以回到手中， 及������4 ≥ 0，即������3 ≥
2������������������ ������ ������
������2 = （1 −
μ mrr0 2（������ + ������������������） ） ������������ ������������ + ������������ 2
4. 自转过程 此后， 由于悠悠球有较大的角速度， 离合器中的重锤收到离心力的作用， 压缩弹簧使离合器臂打开，悠悠球绕转轴做定轴转动，同时由于轴承中 存在摩擦力，角速度会持续变小，由动量矩定理的微分形式： ������������ = ������������ ������������ 得：
可见角速度随时间线性减小，当角速度减小到离合器临界角速度 ������3 时， 重锤的离心力和弹簧的弹力相平衡，如果角速度继续减小，离合器臂就 会将转轴抱死，而达到收球的目的，设达到临界角速度所需要的时间为 T，则： T= ������������ ������������������������0 2 ������ + ������������������ ������ 2 ������ + ������������������ − ������3 − 2 ������������ + ������������ ������ ������������ + ������������ 2
时间 T 即为悠悠球的睡眠时间
5. 收球过程 这是整个运动的最后一个过程，可看做是第一个过程的逆过程，设悠悠 球回到手中前一刻的角速度为������4 ，不计一切能量耗散，则根据动能定理 有： 1 1 −mgl = ������������ + ������������ 2 ������4 2 − ������������ ������3 2 2 2 得：