2-薛定谔方程

二、薛定鄂方程的性质与求解方法

对给定的体系（给定势能函数），如何得到体系的波函数是量子力学的另一个基本内容。

体系状态波函数随时间的演化满足薛定鄂方程（相当于经典力学中的牛顿运动方程）：

ˆi

H t

∂ψ=ψ∂ 其中哈密顿算苻（能量算苻）

222ˆˆ22p H V V m m

=+=-∇+ 222

2222

x y z

∂∂∂∇=++∂∂∂

（直角系）

2

2

22222

211111sin .sin sin r r r r r r θθθθθθφ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（球坐标系）

薛定鄂方程的性质与特点：

1. 方程是线性的，满足态叠加原理，如果1ψ和2ψ都是方程的解，那么它们的线性叠加21ψ+ψb a 也是方程的解。

2. 方程是非相对论的，时间t 和坐标xyz 地位不等价，t 是作为一个参数，而坐标是算符。

3. 如果定义几率流密度

()ψ∇ψ-ψ∇ψ=**2m

i J 可以得到连续性方程

0J =⋅∇+∂ψ

∂t

2

这表明空间一体积内几率密度随时间的变化等于从包围这体积面积流入（出）的几率流密度量值。

4.波函数的归一化性质不随时间改变。（这一点非常关键，如果波函数在0

t时刻是归一化的，而随时间的演化(波函数按薛定鄂

=

方程演化)，它不再是归一化的，整个量子力学体系将崩溃）5. 如果两个波函数ψ1和ψ2在0

t时刻是正交的，则在以后任意时

=

刻也是正交的。

求解薛定鄂方程的一般方法：

如果势能函数不显含时间（绝大多数是这种情况），通过分离变量，得到定态薛定鄂方程（能量本征值方程）

ˆH E ψ=ψ 由此解出一组能量本征函数{}n ψ和能量本征值{}n E ，能量本征函数组成正交归一系。

*m

n mn d ψψτ=δ⎰ 分立谱

*

'(')d λλψψτ=δλ-λ⎰ 连续谱

分立谱是物理上可实现的态，而连续谱不是，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。

定态解为

/

(,)()n iE t n n

e -ψ=ψr t

r 薛定鄂方程的一般解为

)/ex p()(),( t iE c n n n -=ψ∑r t r n

ψ （分立谱）

dE iEt c E E )/exp(),( -=ψ⎰ψt r （连续谱）

叠加系数由t=0时刻的初始条件定。

)()0,(r r n

n n c ψ∑=ψ 分立谱

(,0)()E E c dE ψ=ψ⎰r r 连续谱

利用本征函数的正交归一性

r 0r d c n

n ),(*ψ=⎰ψ

定态解性质。

１．它们是定态(stationary states)。尽管波函数本身 (,)(),iEt x t x e ψ-ψ=

明显和时间有关，但是几率密度

2

2

(,)(),iEt

iEt

x t e

e

x ψψψ*

*+-ψ=ψψ==

却不依赖时间−时间因子被相互抵消。计算任何动力学变量的期望值也是同样；

(,)(,).d Q x p Q x dx i dx

ψψ*

〈〉=⎰

对定态，任何一个算符的期待值都是不依赖时间的（当然是指算符本身不显含时间时）；我们可以完全去掉指数含时因子，简单的用ψ来代替ψ。（所以有时也简称ψ为“定态波函数”，但是是要记住真正的定态波函数总是含有指数时间因子的。）特别是，x 〈〉是常数，因此0p 〈〉=。定态不发生任何事情。

２．定态是具有确定总能量的态。总能量的期望值是

2

ˆ.H H dx E dx E *

〈〉===⎰⎰ψψψ

（注意因为是ψ归一化的，所以ψ也是归一化的。）另外，

22ˆˆˆˆˆ()()(),H H H H E E H E ====ψψψψψ

所以

22222ˆˆ.H H dx E dx E *〈〉===⎰⎰ψψψ

所以H 的标准差是

2

22220.H H H E E σ=〈〉-〈〉=-=

结论是定态有这样一种性质，总能量的每次测量结果总是确定的值E

3. 一般解是定态解的线性迭加。定态薛定谔方程给出一个无限的解集123((),(),(),)x x x ψψψ，每一个解有相应的能量本征值123(,,,)E E E ； 由于（含时）薛定谔方程是线性的，多个解的线性迭加仍然是其本身的解。所以一旦得到定态解，便可以立即构造一个一般解，其形式为

1(,)().n iE t n n n x t c x e ψ∞

-=ψ=∑ （以分立谱为例）

这样每一个薛定鄂方程（含时的）解都能写成上面的形式−而余下的事情就是简单找出满足具体问题初始条件的适当常数123(,,,)c c c 。所以一旦解出了定态薛定谔方程，就可以从它们得到含时薛定谔方程的一般解，这在原则上是简单明了的。

例题2-1波函数的归一化性质不随时间改变。

证明： 22

(,)(,).d x t dx x t dx dt t

∞∞

-∞-∞∂ψ=ψ∂⎰⎰ ψ∂ψ∂+∂ψ∂ψ=ψψ∂∂=ψ∂∂t

t t t ***2. 薛定鄂方程可以写作

22,2i i

V t m x ∂ψ∂ψ=-ψ∂∂ 及其共轭式

*2**

2,2i i V t m x

∂ψ∂ψ=-+ψ∂∂ 所以

22**2

**22.22i i t m x x x m x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂ψ∂ψ∂∂ψ∂ψψ=ψ-ψ=ψ-ψ⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣

⎦

*

2

*(,).2d i x t dx dt m x x ∞

∞

-∞

-∞⎛⎫∂ψ∂ψψ=ψ-ψ ⎪∂∂⎝⎭⎰