弹塑性力学第3章

设一点应力：
四面体在所有力的作用下保持力的平衡
px = x l x yx l y + zx lz
py = xy l x y l y + zy lz pz = xz l x yz l y + z lz pi ij l j
x0 y0 z 0
px A= x l x A yx l y A+ zx lz A
sx x m
s1 1 m
sy y m
s2 2 m
sz z m
s3 3 m
偏应力的主轴方向与应力张量的主轴方向一致
J1 sx s y sz 0
2 2 J 2 s x s y s y sz sz s x s xy s2 s yz zx
对应的三个主应力的方向称之为主轴. 求解一点的主应力及主应力方向的基本公式
已知一点的应力为：
x xy xz ij yx y yz zx zy z
3.2.1 一点的应力状态
x xy xz ij yx y yz zy z zx
l x x l x xy l y xz l z l y yx l x y l y yz l z l z zx l x zy l y z l z
分别将 1 , 2 , 3 代入：
1 l x x l x xy l y 13 l z 1 l y yx l x y l y yz l z 1 l z zx l x zy l y z l z


主应力空间
1 J 2 sij sij 2 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 6 s1 s2 s2 s3 s3 s1
3.4 八面体及应力强度 2
八面体（等斜面）的概念：
在主坐标系中与三个主 坐标轴呈相同倾斜角的平面 称之为八面体面。 其法线方向的余弦为：
n1

l x2 ,l y2 ,lz2
n2
得到法线方向

3 l x x l x xy l y 13 l z 3 l y yx l x y l y yz l z 3 l z zx l x zy l y z l z
2 p2 8
1 2 2 3 3 1
2 2
2
显然：等斜面上的切向应力是总应力在斜面上的投影与偏应力 张量的第二不变量有一定的关系，表达了其塑性特性。
应力强度
3 2
i
1 2 3 2
8
2
1 2
2 3 3 1
第3章 应力与应变
3.1应力张量
在弹塑性问题中经常用到的物理量 空间一点的应力： z
zx
xz
zy
yz
yx
y
xy
x
x xy xz ij yx y yz zx zy z
每一点的6个应力分量确定一个应力张量 每一点的6个应变分量确定一个应变张量
例题：已知物体中某点应力分量为
0 100a 0 ij 0 0 100a 100a 100a 200a
求该点应力张量的三不变量。
求解主应力的公式为：
3 - 2 I1 I2 I3 0
应当有三个解，按数值大小可写为： 1 , 2 , 3 求解主应力对应的方向公式
1 1 1 , , 3 3 3
8
2‘
1‘ 3’ 1
3 三个应力主方向投影到等斜面上，相互之间夹角＝120°
等斜面上的法向应力及切向应力
l ,m,n


1 3
,
1 3
,
1 3
1 2 3
n pi li li ij l j
0 0 30 ( ij ) 0 0 20 30 20 0
3.3应力张量的分解及应力偏张量
应力张量分解为球应力张量、偏应力张量
x xy xz m 0 0 x m xy xz y m yz yx y yz 0 m 0 yx 0 0 m zy z zy z m zx zx
可知我们同样可以对其在不同的方向上进行转换， 实际上也可称之为坐标转换。
应力张量的性质
①应力张量为对称张量 ②应力张量具有主平面、主轴、主应力
明确： 求解主应力的基本公式；
求解主应力方向的基本公式； 应力三个不变量的求解公式； 应力的分解；
主应力空间中的应力分解图形；
①物体内任一点应力均具有三个主平面。
3.2.2坐标变换 坐标变换：x 1 l11 x1 l12 x2 l13 x3
' '
x 2 l 21 x1 l 22 x2 l 23 x3 x' 3 l31 x1 l 32 x2 l 33 x3
lij cos

xi ', x j

l1j ,l2j ,l3j
ij 'ij 坐标变换后应力张量变换：
'xz p'i l3i l3i ij l1j l1j l3i ij
3.2.3 主平面、主轴、主应力 设主应力方向在目前坐标系中的方向数分别为： l j
主应力为： n
在此法线的平面上的应力在三个坐标轴方向上的投影：
pi ij l j
在此平面的法线上的投影就是主应力：
ij m ij sij
明确：
1 i j ij 0 i j
*任意应力状态都可以是应力偏量与球应力张量之和； *球应力张量表示各向均值应力状态，也就是静水应力状态； *塑性变形只与应力偏张量有关；
偏应力张量的不变量及偏应力的主轴方向
s x s xy s xz x m xy xz sij s yx s y s yz yx y m yz zy z m szx szy sz zx
n pi li ij l j li
n
2 2 2 2 p2 n = px p2 p y z n
例题： 已知受力物体中的某点的应力分量为
x 0, y 2a, z a, xy a, yz 0, zx 2a
试求作用在过此点的平面x+3y+z=1上的沿坐标轴 方向的应力分量，以及该平面上的正应力和剪 应力
2
2
s1 2 s2 2 s3 2
无论应力状态如何，应力强度永远是个正 值，与平均法向应力无关，其在塑性力学 理论中是很重要的。
若单向应力状态
i x
3.5 应变张量的性质
3.5.1 应变张量的概念
x xy xz 应变张量二阶张量： ij yx y yz zy z zx
单位体积应变
加载前后微元体体积的改变量

x x x y y y z z z x y z
x y z
1 x 1 y

1 1
z
x y z x y y z z x x y z
设：x’轴在旧坐标系中的方向余弦： l1j 新坐标系与旧坐标系坐标平面上应力张量的转换公式： p'i ij l1j 若将这三个方向转换为在新坐标系三个方向的应力 ' ' ij lim l jn mn ' 1j l1m l jn mn x p'i l1i l1i ij l1j 'xy p'i l2i l2i ij l1j l1j l2i ij
x y z
m
x
y z 3

1
2 3 3
' I1 3
3.5.3应变张量的分解及应变偏张量 应变张量同样分解为平均应变张量、偏应变张量
x xy xz m 0 0 x m xy xz y m yz yx y yz 0 m 0 yx 0 0 m zy z zx zy z m zx
三个主轴均互相正交。
l x3 ,l y3 ,lz3
n3

④主应力坐标系：由三个主轴构成的坐标系称之为 主应力坐标系。
⑤主应力空间：
该坐标对应的空间称之为主应力空间： 为了讨论问题方便我们常常主应力空间中讨论一 点应力的特点。
例题： 求以下应力张量（单位：MPa）所表征的应力状态 的主应力值及主轴方向
2 l x x l x xy l y 13 l z 2 l y yx l x y l y yz l z 2 l z zx l x zy l y z l z
得到法线方向
三个主轴均可得出
得到法线方向
l x1 ,l y1 ,lz1
n pi li li ij l j
三个应力不变量：
I1 x y z
2 2 2 I 2 x y y z z x xy yz zx


2 2 2 I3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy
ij m ij eij
1 i j ij 0 i j
e11 eij e21 e31
3.5.2 应变张量的性质
具有三个不变量，同样具有应变主轴及主应变
I' 1 x y z
2 2 2 I ' 2 x y y z z x xy yz zx


2 2 2 I' 3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy


2 2 J 3 sx s y sz 2sxy s yz szx sx s 2 s s s s yz y zx z xy
应力偏张量的第二不变量
J2
1 sij sij 2 1 x y 6


2
y z

2
2 2 2 6 z x xy yz zx 2
等斜面的法向应力： 等斜面的法向应力 就是平均正应力： 该倾斜面上的总应力 切向应力：
8
1 3
8 1l 2 2 m 2 3 n2
1 1 2 3 3 m
1 2 2 2 p2 p1 p2 p3 21 2 2 2 3 3