函数零点个数问题赏析

近年高考试卷中的N 型函数零点个数问题赏析
近些年来，有不少的N 型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。

什么是N 型函数零点个数问题呢，就是含参函数()y f x =在其定义域内连续可导，有两个极值点1x 、2x 并将其定义域分成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，在此条件的基础上，方程()0f x =或()f x m =的根的个数与参数取值范围相关的问题。

这里注意：函数()y f x =在其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。

N 型函数有哪些呢？一可能是三次函数3
2
()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠，二可能是函数
2()ln()f x ax bx x t =+++(0)a ≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。

例1、（2006年福建高考卷）已知函数2
()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+。

（Ⅰ）求f (x )在区间[,1]t t +上的最大值()h t ；
（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数2
()()()86ln x f x g x x x x m ϕ=-=-++，0x >；
求导得：22862(1)(3)
'()x x x x x x x
ϕ-+--==，0x >，函数单调性与极值列表如下：
依题意，转化为函数()x ϕ图象与x 轴的交点为3时情形，当x 充分接近0时，()0x ϕ<，当x
充分大时，()0x ϕ>，为此有：707156ln 36ln 3150m m m ϕϕ=->⎧
⇒<<-⎨
=+-<⎩极大极小。

故m 的取值范围为7156ln3-（，）。

例2、（2008年四川高考卷）已知3x =是函数2
()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围。

解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()()()2
16ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞，
()()22432(1)(3)
11x x x x f x x
x
-+--'=
=
++，()1,x ∈-+∞，故函数单调性与极值情况如下表：
因此，()()2
1616101616ln 291f f =-⨯>-=，()
()213211213f e f --<-+=-<， 所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞上，直线y b =与()y f x =的图象有三个交点，当且仅当()()31f b f <<；因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--。

例3、（2009年陕西高考卷·文）已知函数3
()31,0f x x ax a =--≠。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。

解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）因为()f x 在1x =-处取得极大值，所以()2
13(1)30f a '-=⨯--=，
得：1a =，继而3
()31f x x x =-+，2()33f x x '=-，由()0f x '=解得121,1x x =-=。

如下表
因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，(3)171f =>，结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是3-（，1）。

评述：以上三例为两个函数图象（或一条直线与一个函数图象）有三个不同交点的问题，都可以转化为一个N 型函数()f x 有三个零点问题，即方程()0f x =或()f x m =有三个根的问题，列相
应不等式组， 0
0f f >⎧⎨<⎩极大极小
或f m f <<极小极大，解出参数范围，如下图。

例4、（2007年全国高考Ⅱ卷）已知函数3
()f x x x =-。

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（Ⅱ）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<。

解析：（Ⅰ）切线方程为： 2
3
(31)2y t x t =--。

（Ⅱ）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使2
3
(31)2b t a t =--，即32230t at a b -++=。

于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32
230t at a b -++=有三个相异的实数根。

记3
2
()23g t t at a b =-++，则 2
()66g t t at '=-6()t t a =-。

当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：
由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；
当0a b +=时，解方程()0g t =得302
a
t t ==
，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2
a
t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根． 综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则
()0a b b f a +>⎧⎨
-<⎩
，即()a b f a -<<。

例5、（2010年湖北高考卷·文）设函数22
1()32
a f x x x bx c =-++，其中0a >，曲线()y f x =在点(0,(0))p f 处的切线方程为1y =。

（Ⅰ）确定,b c 的值；
（Ⅱ）设曲线()y f x =在点1122(,())(,())x f x x f x 及处的切线都过点（0,2）.证明：当12x x ≠时，
12()()f x f x ''≠；
（Ⅲ）若过点(0,2)可作曲线()y f x =的三条不同切线，求a 的取值范围。

解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ） 32
1()132
a f x x x =
-+， 2'()f x x ax =-。

由于点(,())t f t 处的切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，而点（0,2）在切线上，所以
2()()(0)f t f t t '-=-，化简得3221032a t t -+=，即t 满足的方程为3221032
a
t t -+=。

过点（0,2）可作()y f x =的三条切线，等价于方程2()()(0)f t f t t '-=-有三个相异的实根，即等价于方程
32
21032a t t -+=有三个相异的实根。

设322()132a g t t t =-+，则2()2g t t at '=-。

令2
()2g t t at '=-＝0得120,(0)2
a x x a ==>
列表如下：
由32()132g t t t =
-+的单调性知，要使32()132
g t t t =-+=0有三个相异的实根，当且仅
当10>，3
1024
a -<，即a >a 的取值范围是+∞（）。

例6、（2008年湖南高考卷·文）已知函数43219
()42
f x x x x cx =+-+有三个极值点。

（Ⅰ）证明：275c -<<；
（Ⅱ）若存在c ，使函数()f x 在区间[]2a a +，上单调递减，求a 的取值范围。

解析：（I ）证明：因为函数43219
()42
f x x x x cx =
+-+有三个极值点，也即 32()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根。

设3
2
()39g x x x x c =+-+，则2
()3693(3)(1)g x x x x x '=+-=+-，其单调性与极值如下表：
由于()0g x =有三个不同实根，所以(3)0g ->且(1)0g <。

即2727270c -+++>，且
1390c +-+<，解得27,c >-且5,c <故275c -<<。

（II ）略。

评述：例4、例5为过某定点可作曲线（或函数图像）的三条切线的条件问题，此问题可以转化为一个N 型函数有三个零点问题，即方程()0f x =或()f x m =有三个根的问题。

而例6则是原函数()f x 有三个极值点的问题，它等同于其导函数()f x '（是N 型函数）有三个零点问题，即可转化为方程()0f x '=有三个根的问题。

例7、（2005年全国高考Ⅱ卷·文）设a 为实数，函数3
2
()f x x x x a =--+。

（Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点。

解析：(I)2()321f x x x '=--，令()0f x '=，则11
3
x =-，21x =。

当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
∴()f x 的极大值是()327f a -=
+，极小值是(1)1f a =-
(II)函数32
2()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-，由此可知，取足够大的正数时，有
()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点。

结合()f x 的单调性可知： 当()f x
的极大值
527a +<0，即
5
(,)27
a ∈-∞-时，
它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上；当()f x 的极小值a －1>0
即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大
于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－
1
3
)上。

综上所述，当5
(,)27
a ∈-∞-
∪(1,)+∞时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。

例8、（2009年江西高考·文）设函数3
29()62
f x x x x a =-+-。

（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围。

解析：（1）求导得：223
33
()3(32)3()244
f x x x x '=-+=--≥-，
对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立等价于min 3[()]4m f x '≤=-
，故m 的最大值为3
4
-。

（2）因2()3(32)3(1)(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，则11x =，22x =。

当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
∴()f x 的极大值是(1)2
f a =-，极小值是(2)2f a =-且函数()f x 定义域为(,)-∞+∞，依
题意知，5
(1)02
f a =-<或(2)20f a =->，故a 的取值范围为5(,2)(,)2-∞+∞。

评述：N 型函数零点问题的核心就是找出零点个数的相关条件，即()0f x =有三个根，须满足
0f f >⎧⎨
<⎩极大极小
；()0f x =有两个根，须满足0f =极大或0f =极小；()0f x =有一个根，须满足0f <极大或0f >极小（如下图二所示）。

若()(0)f x m m =≠，则可以转化为：()()0g x f x m =-=。

N 型函数零点个数问题的题型是在函数定义域优先情况下把函数单调性、极值与函数零点个数
条件很好结合并求参数范围的题型。

作用：⑴考查函数单调性；⑵考查函数极值；⑶考查函数零点的个数条件；⑷考查曲线或函数图象中过定点切线个数等；难度：在掌握解题模式下应属于中等偏易题，适合考查文科生，此题型是高考命题者比较青睐的题型，是高考文科类导数命题的一个方向，因此也是高三学生（含理科生）科学备考必须掌握的典型题。

N 型函数零点个数问题的解题模式与套路：求含参函数的定义域→求导函数→列表（写出函数单调区间、单调性、极值点、极值）→转化为N 型函数零点个数问题（即方程()0f x =或()f x m =的根的个数问题）→列相应不等式或不等式组，求出参数的取值范围。

()y f x =
()y f x =
1x 2x
2x
1x f 极小
f 极大
图二（1）
图二（2）
3根 2根 2根 1根 1根。