矩阵的同时相似上三角化问题

矩阵的同时相似上三角化问题

张永伟（20）

数理基础科学班

指导教师：王也洲、何军华

【摘要】本文讨论了n 阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。

【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester 不等式

一．引言

文【1】告诉我们：两个可交换的n 阶矩阵,A B 在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若,A B 能相似对角化，那么,A B 一定能同时相似对角化。但是对于一般的n 阶矩阵不一定能相似对角化。我们又知道，任意方阵都可以和Jordan 矩阵相似，也就是说，任意n 阶矩阵都能相似上三角化。为此，我们有必要讨论n 阶矩阵同时相似上三角化的问题。

二．正文

定义：对于n 阶矩阵A ，用rank()A 表示矩阵A 的秩。

性质：若,A B 能同时相似上三角化，那么,A B 有公共的特征向量。

证明：因为,A B 可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵P ，使得

11121222100

0n n nn a a a a a P AP a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且111212221000n n nn b b b b b P BP b -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。 设12(,,,)n P ，则1111A a αα=，1111B b αα=。

所以,A B 有公共的特征向量1α。■

因此,A B 能同时相似上三角化的必要条件是,A B 有相同的特征向量。

性质：若,A B 能同时相似上三角化，那么AB BA 为幂零矩阵。

证明：由性质的证明可知,

121112121000

00

00000n n n n n n c c c c c AB BA c ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪

⎪

⎝⎭

。 又因为 1121112121000

000

00000n n n n n n n c c c c c c ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪

⎝

⎭， 所以1()0n AB BA ，即AB BA 为幂零矩阵。■

性质：设,A B 为2阶矩阵，那么

(1)若AB BA -为幂零矩阵，则()rank 1AB BA -≤；

(2)()rank 1AB BA -≤当且仅当,A B 有公共的特征向量。

证明：因为0A =或0B =时，结论显然成立，所以不妨假定0,0A B ≠≠，当AB BA -为幂零矩阵时，易知AB BA -的特征值一定为0，于是存在可逆矩阵Q 使得

1000c AB BA Q Q -⎛⎫-= ⎪⎝⎭

，

所以()rank 1AB BA -≤。

又因为

( )B AB BA A B A ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭

，

当()rank 0AB BA -=时，有rank 2B A ⎛⎫<

⎪-⎝⎭，从而方程0B X A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭

有非零解ε，显 然ε是,A B 的公共特征向量；

当()rank 1AB BA -=时，根据Sylvester 不等式，知

()rank rank( )rank 2B AB BA A B A ⎛⎫-≥+- ⎪-⎝⎭

。

若rank 2B A ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，显然,A B 有公共特征向量；若rank 2B A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭

，

则rank( )1A B ≤，此时必有()()rank 1,rank 1A B ==，于是存在可逆矩阵T 使得

1000a T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭或000b ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

其中,0a b ≠。

设111212122b b T BT b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则当1000a T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭

时，1212100ab AB BA T T ab -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，所以120ab =或210ab =，显然，此时,A B 有公共特征向量；同理当1000b T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭

时，

,A B 也有公共特征向量。

以上我们证明了二阶矩阵,A B 有公共特征向量是()rank 1AB BA -≤的必要条件，接下来我们证明这个条件也是充分的。

不妨设ε是,A B 的公共特征向量，将ε扩充为二维空间的一组基,'εε，令( ')P εε=,显然11

,P AP P BP --为上三角矩阵。当,A B 有公共特征向量ε时，则()0AB BA X -=有非零解ε，所以()rank 1AB BA -≤。■

下面讨论更为一般的情形。

性质：假定,A B 为n 阶矩阵且3n ≥，若()rank 1AB BA -≤，则,A B 有公共特征向量。 证明：因为( )B AB BA A B A ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭

，由Sylvester 不等式得到

()rank rank( )rank B AB BA A B n A ⎛⎫-≥+- ⎪-⎝⎭

。

若rank B n A ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，则,A B 有公共特征向量；若rank B n A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭

，

则有rank( )1A B ≤，

于是()()rank 1,rank 1A B ==，又因为()()rank rank rank B B A A ⎛⎫≤+

⎪-⎝⎭

,所以2n ≤，此时与3n ≥矛盾。■ 性质：满足条件()rank 1AB BA -≤的任意n 阶矩阵,A B 可以同时上三角化。

证明：由条件知矩阵,A B 具有公共特征向量，不妨设1ε是,A B 的公共特征向量，将其扩充为n 维空间的一组基12,,,n εεε；当2n ≤时，由性质知，,A B 可以同时上三角化；假设当1n k 时结论也成立，现在考虑n k 时的情况。不妨设1ε是,A B 的公共特征向

量，同样将之扩充为k 维空间的一组基12,,,k εεε，令()12,,,k P εεε=，则有

1

110P AP A λ-*⎛⎫= ⎪⎝⎭，1110P BP B μ-*⎛⎫= ⎪⎝⎭

。 于是1111100AB BA P P A B B A -*⎛⎫-= ⎪-⎝⎭

，因为()1111rank 1A B B A -≤，所以()rank 1AB BA -≤，由数学归纳法知,A B 可以同时上三角化。■

推论：假定()rank AB BA k -≤，那么当2n k ≥时，,A B 有公共特征向量。

性质：如果存在,a b R ∈使得AB BA aA bB -=+成立，则,A B 可以同时上三角化。 证明：因为( )0B aI AB BA aA bB A B A bI -⎛⎫---==

⎪--⎝⎭

,与前面证明类似，可以得出结论。■ 推论：若存在k R ∈满足条件AB kBA =,则,A B 可同时相似上三角化。

推论：若存在k R ∈使得0k k

A B -=成立，则,A B 可同时相似上三角化。 三．总结

本文主要讨论了两个矩阵能同时相似上三角化的充分条件、必要条件、以及充要条件。通过分析证明过程，我们还做出了进一步的推广。这对将来解决类似问题带来很大的方便。

参考文献

【1】黄廷祝，成孝予，线性代数与空间解析几何,高等教育出版社，2008.