两个计数原理 ppt课件
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解 根据分类计数原理， 不同的选法一共有： N＝9＋11＋10＋9＝39(种)．
问题2 由 A 地去 C 地，中间必须经过 B 地，且已知由 A
地到 B 地有 3 条路可走，再由 B 地到 C 地有 2 条路可走，
那么由 A 地经 B 到 C 地有多少种不同的走法？
a3
B b2
A a2
C
a1
b1
问题(1)：本题中要完成一件什么事？
第1步， 第2步， 第3步，
各 取 一 本 书
从上层 15本数 学书任 取一本, 有15种 取法；
从中层 18本语 文书任 取一本, 有18种 取法；
从下层
7 本 物
理书任
取一本, 有7种
取法.
N＝15×18×7＝1890
例4 某农场要在4种不同类型的土地上，试验种植A，B，C， D这4种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问 有多少种不同的试验方案？
（一）分类计数原理
有n 类办法
第 1 类办法中
有 m1 种不同的方法
完
成 一 件
第 2 类办法中 有 m2 种不同的方法
事
……
第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法
共有多少种不同的方法
N＝m1＋m2＋…＋mn
例1 书架上层有不同的数学书 15 本，中层有不同的语文
书 18 本，下层有不同的物理书 7 本.现从中任取一本书，
问有多少种不同的取法？
有三类取法
共有多少种不同的取法
第 1 类，从上层 15 本数学 书任取一本，有 15 种取法
任
取 一 本
第 2 类，从中层 18 本语文 书任取一本，有 18 种取法
书
第 3 类，从下层 7 本物理
书任取一本，有 7 种取法
N＝15＋18＋7 ＝40(种)
例 2 某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组， 甲组 9 人，乙组 11 人，丙组 10 人，丁组 9 人． 现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少 种不同的选法？
m1
种→
不 同 的 方 法
第
2
步
有
m2
种 不
→ …→
同
的
方
法
第
n
步
有
mn
种 不
→
同
的
方
法
N= m1 × m2 × … × mn
例3 书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本， 下层有不同的物理书7本.现从中取出数学、语文、物理书各一 本，问有多少种不同的取法？
有三个步骤
共有多少种不同的取法
第 1 步，先考虑 A 种小麦，可在 4 种不同类型 的土地中任选 1 种，有4 种选法；
第 2 步，考虑 B 种小麦，可在剩下的 3 种不同 类型的土地中任选 1 种，有 3 种选法；
第 3 步，考虑 C 种小麦，可在剩下的 2 种不同 类型的土地中任选 1 种，有 2 种选法；
第 4 步，最后考虑 D 种小麦，只剩下 1 种类型 的土地，因此只有 1 种选法.
计数原理Leabharlann Baidu
看图1和图2，数一数从甲地到乙地有多少种不同的走 法？
甲地
乙地
a3 甲地 a2
a1
b2 乙地
b1
图1
图2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
依据分步计数原理， 可知有4×3×2×1＝24 种不同的试验方案.
例5 由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个 3 位数 (各位上的数字可以重复)？
第一步 第二步 第三步
百位
十位
个位
5 ×5 × 5
解 根据分步计数原理， 组成不同的 3 位数的个数共有 5×5×5＝125 (个).
两个原理的共同点与不同点.
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
问题1 从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天 中，火车有 2 班，汽车有 4 班，那么一天中乘坐这些交 通工具从甲地到乙地有多少种不同的选择？
甲地
火车
汽车
解 2＋4＝6(种)
乙地
1.要完成什么事？ 2.完成这件事有几类不 同的办法？ 3.每类办法中又有几种 方法？ 4.完成这件事共有多少 种不同的方法？
（1）由这三个班中任选 1 名三好学生，出席三好学生表 彰会，有多少种不同的选法？
（2）由这三个班中各选 1 名三好学生，出席三好学生表 彰会，有多少种不同的选法？
解 (1) 依分类计数原理，不同的选法种数是 N＝8＋6＋9＝23；
(2) 依分步计数原理，不同的选法种数是 N＝8×6×9＝432．
分类计数原理 分步计数原理 两个原理的区别与联系
问题(2)：由 A 地去 C 地有 2 个步骤，
第一步：由 A 地到 B 地，有 3 种不同的走法；
第二步：由 B 地到 C 地，有 2 种不同的走法．
问题(3)：完成这件事有多少种不同的方法？
解 3 × 2＝6 (种)．
（二）分步计数原理
有 n 个步骤
共有多少种不同的方法
完
成
一→
件 事
第 1 步 有
(1)共同点： 都是研究“完成一件事，共有多少种不同 的方法”；
(2)不同点：分类计数原理中的 n 类办法相互独立，且每类办法里 的每种方法都可独立完成这件事； 分步计数原理中的每个步骤互相依存，每一步都不能 独立完成这件事，只有每个步骤都完成了，这件事才 算完成.
例6 甲班有三好学生 8 人，乙班有三好学生 6 人，丙班有三 好学生9人：
问题2 由 A 地去 C 地，中间必须经过 B 地，且已知由 A
地到 B 地有 3 条路可走，再由 B 地到 C 地有 2 条路可走，
那么由 A 地经 B 到 C 地有多少种不同的走法？
a3
B b2
A a2
C
a1
b1
问题(1)：本题中要完成一件什么事？
第1步， 第2步， 第3步，
各 取 一 本 书
从上层 15本数 学书任 取一本, 有15种 取法；
从中层 18本语 文书任 取一本, 有18种 取法；
从下层
7 本 物
理书任
取一本, 有7种
取法.
N＝15×18×7＝1890
例4 某农场要在4种不同类型的土地上，试验种植A，B，C， D这4种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问 有多少种不同的试验方案？
（一）分类计数原理
有n 类办法
第 1 类办法中
有 m1 种不同的方法
完
成 一 件
第 2 类办法中 有 m2 种不同的方法
事
……
第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法
共有多少种不同的方法
N＝m1＋m2＋…＋mn
例1 书架上层有不同的数学书 15 本，中层有不同的语文
书 18 本，下层有不同的物理书 7 本.现从中任取一本书，
问有多少种不同的取法？
有三类取法
共有多少种不同的取法
第 1 类，从上层 15 本数学 书任取一本，有 15 种取法
任
取 一 本
第 2 类，从中层 18 本语文 书任取一本，有 18 种取法
书
第 3 类，从下层 7 本物理
书任取一本，有 7 种取法
N＝15＋18＋7 ＝40(种)
例 2 某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组， 甲组 9 人，乙组 11 人，丙组 10 人，丁组 9 人． 现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少 种不同的选法？
m1
种→
不 同 的 方 法
第
2
步
有
m2
种 不
→ …→
同
的
方
法
第
n
步
有
mn
种 不
→
同
的
方
法
N= m1 × m2 × … × mn
例3 书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本， 下层有不同的物理书7本.现从中取出数学、语文、物理书各一 本，问有多少种不同的取法？
有三个步骤
共有多少种不同的取法
第 1 步，先考虑 A 种小麦，可在 4 种不同类型 的土地中任选 1 种，有4 种选法；
第 2 步，考虑 B 种小麦，可在剩下的 3 种不同 类型的土地中任选 1 种，有 3 种选法；
第 3 步，考虑 C 种小麦，可在剩下的 2 种不同 类型的土地中任选 1 种，有 2 种选法；
第 4 步，最后考虑 D 种小麦，只剩下 1 种类型 的土地，因此只有 1 种选法.
计数原理Leabharlann Baidu
看图1和图2，数一数从甲地到乙地有多少种不同的走 法？
甲地
乙地
a3 甲地 a2
a1
b2 乙地
b1
图1
图2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
依据分步计数原理， 可知有4×3×2×1＝24 种不同的试验方案.
例5 由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个 3 位数 (各位上的数字可以重复)？
第一步 第二步 第三步
百位
十位
个位
5 ×5 × 5
解 根据分步计数原理， 组成不同的 3 位数的个数共有 5×5×5＝125 (个).
两个原理的共同点与不同点.
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
问题1 从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天 中，火车有 2 班，汽车有 4 班，那么一天中乘坐这些交 通工具从甲地到乙地有多少种不同的选择？
甲地
火车
汽车
解 2＋4＝6(种)
乙地
1.要完成什么事？ 2.完成这件事有几类不 同的办法？ 3.每类办法中又有几种 方法？ 4.完成这件事共有多少 种不同的方法？
（1）由这三个班中任选 1 名三好学生，出席三好学生表 彰会，有多少种不同的选法？
（2）由这三个班中各选 1 名三好学生，出席三好学生表 彰会，有多少种不同的选法？
解 (1) 依分类计数原理，不同的选法种数是 N＝8＋6＋9＝23；
(2) 依分步计数原理，不同的选法种数是 N＝8×6×9＝432．
分类计数原理 分步计数原理 两个原理的区别与联系
问题(2)：由 A 地去 C 地有 2 个步骤，
第一步：由 A 地到 B 地，有 3 种不同的走法；
第二步：由 B 地到 C 地，有 2 种不同的走法．
问题(3)：完成这件事有多少种不同的方法？
解 3 × 2＝6 (种)．
（二）分步计数原理
有 n 个步骤
共有多少种不同的方法
完
成
一→
件 事
第 1 步 有
(1)共同点： 都是研究“完成一件事，共有多少种不同 的方法”；
(2)不同点：分类计数原理中的 n 类办法相互独立，且每类办法里 的每种方法都可独立完成这件事； 分步计数原理中的每个步骤互相依存，每一步都不能 独立完成这件事，只有每个步骤都完成了，这件事才 算完成.
例6 甲班有三好学生 8 人，乙班有三好学生 6 人，丙班有三 好学生9人：