计量学-联立方程组模型的参数估计
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4
2、间接最小二乘估计一般步骤和公式的推导。 设联立方程组模型的结构式为：
ΓYt βXt εt
化为简约式为： Yt ΠXt ut 结构式参数和简约式参数之间的关系为：
Γ1β Π 或 β ΓΠ 假设需要估计的结构式方程是恰好可识别的，
因此可以采用间接最小二乘法估计参数。
5
（1）用最小二乘估计简约式的参数。
ˆˆ 1211
ˆ 12 ˆ 22
ˆ 1K ˆ 2K
ˆ g1
ˆ g 2
ˆ
gK
XX1X Y1Y2 Yg XX1XY
7
（2）根据结构式参数与简约式参数的关系 解结构式参数的间接最小二乘估计
模型的结构式参数和简约式参数总体上
有关系：β ΓΠ
第一个结构式方程的参数与简约式参数 之间有关系式：
ˆ12SLS t Y3t Y3 Yˆ3t Yˆ3 t Y3t Y3 Yˆ3t
t
t
Y1t Y1 Yˆ3t
Y1t Y1 Yˆ3t
t
t
t
Y3t
Yˆ3t
Yˆ3t Yˆ3
Yˆ3 Y3
Yˆ3t
Yˆ3t Yˆ3 Yˆ3t
t
26
方程中的常数项仍可用通常的方法估计 ： ˆ02SLS Y1 ˆ12SLSY3
19
（二）推导工具变量法估计的一般公式 仍然设估计联立方程组模型的第一个方
程，并设它是一个过度可识别的方程。 该方程用与单方程多元线性回归分析相
似的观测向量方程可表示为
Y1 Y10γ1 X1β1 ε1
20
将工具变量观测矩阵 W X10 X1 代入工
具变量法估计公式
βˆ IV WX1WY
对它们分别作最小二乘估计，得：
Πˆ i XX1 XYi , i 2,, g1
因此这些内生变量的估计量为：
Yˆ i XΠˆ i XXX1 XYi , i 2,, g1
29
它们可以合并为：
Yˆ10 Yˆ 2 Yˆ 3 Yˆ g1
XXX1 X Y2 Y3 Yg1
XXX1 XY10
XΠˆ 2
X
3 4
1
2
33
两阶段最小二乘估计的公式为
γˆ12SLS
βˆ12
SLS
Yˆ 10
X1 Yˆ10
X1
1
Yˆ 10
X1
Y1
YXˆ 110YYˆˆ1100
Yˆ 10X1 X1X1
1
Yˆ 10Y1
X1Y1
根据数据的二阶矩矩阵，公式中的各个二阶矩
数值分别为：
联立方程组模型的参数估计
一、最小二乘估计及其问题 二、间接最小二乘估计 三、工具变量法估计 四、两阶段最小二乘估计
1
一、最小二乘估计及其问题
可以用普通最小二乘法估计参数的情况： 联立方程组模型的方程没有内生解释变量； 内生解释变量与方程的误差项没有强相关性。
例：递归模型
Y1t 11 X1t 12 X 2t 1t , Y2t Y 21 1t 21 X1t 22 X 2t 2t , Y3t Y 31 1t Y 32 2t 31 X1t 32 X 2t 3t
β1 ΠΓ1
8
因此第一个结构式方程参数的间接最小二乘估
计，与简约式参数的最小二乘估计的关系为：
βˆ1 Πˆ Γˆ 1
也就是
ˆ11 ˆ12
ˆ1K1
0
0
XX
1
XY Fra Baidu bibliotek
1
ˆ12
ˆ1g1
0
0
9
分别由分块矩阵Y Y1
表示 Y 和X 。
ˆ1g1 ˆ11
X11
X12 Y11
X11
1
X11
X12 Y1 X Y11
X11 1 XY1
ˆ1K1
这就是联立方程组模型的恰好可识别方
程参数的间接最小二乘估计的一般式。
14
例
假设已经根据20组观测数据计算出如下 的二阶矩矩阵
Qt Pt l Pt1 Yt
Qt 20 6 8 4 3
2
1
2.24
2.24
2.18
1.08
1
5.46
4.60
即两个参数的两阶段最小二乘估计分别为：
ˆ122SLS 5.46, ˆ122SLS 4.60
36
27
（二）联立方程组模型参数两阶段最小二 乘估计的一般公式
设一般联立方程组模型的第一个方程是 过度可识别的。
设方程的观测向量方程形式为
Y1 Y10γ1 X1β1 ε1
28
这个方程中出现的 Y1 以外的内生变量的简 约式观测向量方程形式为 Yi XΠi ui , i 2,, g1
X1
1
X10
X1
Y1
X10Y10
X1Y10
X10X1
X1 X1
X10Y1
X1Y1
0.5 012 2 0 2 4
1.5
2
1
1.5
0.5
1
3.5
即两个参数的工具变量法估计分别为：
ˆ12IV 4, ˆ12IV 3.5
23
四、两阶段最小二乘估计
阶段一：寻找理想工具变量
用Yˆ10 代替第一个方程中的Y10 ，得到
Y1
Yˆ 10 γ1
X1β1
u 1
30
再对该方程运用普通最小二乘估计，得 到两阶段最小二乘估计
ˆ12SLS
ˆ12SLS
Yˆ 10
X1 Yˆ10
X1
1
Yˆ 10
X1 Y1
这就是两阶段最小二乘估计的一般公式 。
31
例 ：以上一个例子的模型和相关数据二阶矩矩阵 为例，求第一个方程两个参数的两阶段最小二 乘法估计。
Y
X Y
X
Y X
Y
Pt
6
X l 8
Pt 1
4
10 4 3
4 20 4
3 4 5
6
4 2
Yt 3 6 4 2 5
15
求市场供求均衡模型 Qt 1 2Pt 3Pt1 1t Qt 1 2Pt 3Yt 2t
第一个方程的参数估计。
首先确定 Y1 Qt , Y11 Pt , X11 [l Pt1],
X11Y11
X12Y11
ˆ12 ˆ1g1
X11Y1
X12Y1
12
X11
X12
X11
ˆ11
X11
ˆ1K1
X12
Y11
ˆ12
X11
ˆ1g1
X12
Y1
ˆ12
X11
X12 Y11
X11
ˆ1g1 ˆ11
X11
X12 Y1
ˆ1K1
13
ˆ12
0
X12Y1
0
X11Y11 X12Y11
1
ˆ12
X11Y12 X12Y12
ˆ1g1
0
0
11
X11
X11
X12 X11
ˆ11 ˆ1K1
X11Y1
X12Y1
X11Y11
X12Y11
ˆ12 ˆ1g1
X11X11
X12 X11
ˆ11 ˆ1K1
2
如果联立方程组模型的方程，既非解释 变量全部是外生变量或前定变量，也不 像递归模型那样解释变量与误差项都没 有相关性，那么普通最小二乘估计得到 的参数估计量既非无偏的，也不是一致 估计。
3
二、间接最小二乘估计 1、基本思想 对于恰好可识别的联立方程组模型方程，结
构式参数与简约式参数有一一对应关系。由于 简约式参数不存在内生解释变量的问题，最小 二乘估计是有效的。 通过简约式参数的最小二乘估计间接得到结构 式参数的估计。这种估计方法称为“间接最小 二乘估计”。
阶段二：用第一个阶段找到的工具变量进行工具 变量法估计 。
（一）利用下面的方程说明两阶段最小二乘估计 的思路和方法，仍然讨论其中过度可识别的第 一个方程的参数估计。
Y1t 0 1Y3t 1t
Y2t 0 1Y3t 2 X1t 2t
Y3t Y1t Y2t X 2t
24
Yˆ3t 作为工具变量，比 X1t 和 X 2t 都理想。 根据这种思路先估计 Y3t 的简约式方程：
X l Pt1 Yt
16
市场均衡模型第一个方程三个参数的间 接最小二乘估计向量 ：
ˆ2ILS 4 20 51 8 0.17 0.04 0.17 8 0.69
ˆ1ILS
3
4
2
4
1.11
0.14
1.44 4 5.12
ˆ3ILS 6 4 5 3 0.28 0.10 0.61 3 0.81
ˆ11
X11
X12 X11
X12
ˆ1K1
0
X11
0
和 Y11 Y12
X X11 X12
1
ˆ12
X12 Y1
Y11
Y12
ˆ1g1
0
0
10
X11X11
X12 X11
ˆ11
X11X12
ˆ1K1
X11Y1
X12X12
可以得到：
γˆ1IV
βˆ 1IV
X10
X1 Y10
X1
1
X10
X1 Y1
21
例 ：若联立方程组模型为
Y1t Y 12 2t 12 X 2t 1t Y2t Y 21 1t 21X1t 23 X 3t 2t
并已根据50组观测数据计算到二阶矩矩阵
Y1
Y2
X1 X2 X3
1 6
3
0
0
1 6
Yˆ 10Yˆ 10
1 6
3 4
1 2
XX
3 4 1
1 6
3 4
1 2
00
2 0
0
3 4
1
1
1.46
2
2
34
0
Yˆ 10X1
1 6
3 4
1 2
XX1
1 6
3 4
1 2
02
1.5
1 6
1 6
X1Yˆ 10
X1X
3 4
0
2
0
3 4
1.5
1
1
2
2
X1X1 2
2
Yˆ 10Y1
1 6
3 4
1 2
XY1
1 6
3 4
1 2
1
3
1.08
X1Y1 1
35
由两阶段最小二乘估计的公式，可得该模型第
一个方程参数12和 12的最小二乘估计向量：
ˆ12SLS
ˆ12
SLS
1.46
1.5
1.51 1.08 2.98
18
找到合适的工具变量 ：选择与 Y3t相关性较强
的 X 2t作为估计第一个方程参数的工具变量。 根据工具变量法估计公式，第一个方程的参数
的工具变量法估计为
Y1t Y1 X 2t X 2 ˆ1IV t Y3t Y3 X 2t X 2
t
0 的工具变量法估计则为
ˆ0IV Y1 ˆ1IVY3
首先，用最小二乘法估计第一个方程的内生解
释变量 Y2 的简约式参数，得到
3
Πˆ 2 XX1 XY2 0
0
0 2 0
1
0 1 0 1
0.5
1.5
0.5
3
1 2
1
0.5
1.5
0.5
1 6
3
4
1
2
32
因此Y2 对全体前定变量的回归直线为：
1 6
Yˆ 10
Y3t Π30 Π31X1t Π32 X 2t u3t
得到最小二乘估计回归方程： Yˆ3t Πˆ 30 Πˆ 31X1t Πˆ 32 X 2t
25
把量法Yˆ3t估作计为，工得具到变量1的对两第阶一段个最方小程二进乘行估工计具为变：
Y1t Y1 Yˆ3t Yˆ3
Y1t Y1 Yˆ3t
根据这些参数估计，得到该方程的回归 直线为： Qˆt 5.12 0.69Pt 0.81Pt1
17
三、工具变量法估计
（一）用例子说明联立方程组模型参数的工具变 量法估计： 一个三方程联立方程组模型为
Y1t 0 1Y3t 1t Y2t 0 1Y3t 2 X1t 2t
Y3t Y1t Y2t X 2t
Y1 80 4 2 1 3
Y
X Y
Y2 4
X
X1 X2
2 1
5 0.5 1.5
0.5 3 0
1.5 0 2
0.5
0
0
X3 3 0.5 0 0 1
估计第一个方程中的参数12 和 12 。
22
若用X1t作为工具变量，可得第一个方程的工具
变量法估计：
ˆ12IV
ˆ12IV
X10
X1 Y10
以简约式的第l个方程为例：
Ylt l1 X1t l 2 X 2t lK X Kt ult
该方程的系数构成行向量 Πl l1,,lK
，它的最小二乘估计量为：
Πˆ l XX1 XYl
6
这些参数估计向量可以合并成下列简约式 模型参数的估计量矩阵：
Πˆ
Πˆ 1Πˆ 2 Πˆ g
2、间接最小二乘估计一般步骤和公式的推导。 设联立方程组模型的结构式为：
ΓYt βXt εt
化为简约式为： Yt ΠXt ut 结构式参数和简约式参数之间的关系为：
Γ1β Π 或 β ΓΠ 假设需要估计的结构式方程是恰好可识别的，
因此可以采用间接最小二乘法估计参数。
5
（1）用最小二乘估计简约式的参数。
ˆˆ 1211
ˆ 12 ˆ 22
ˆ 1K ˆ 2K
ˆ g1
ˆ g 2
ˆ
gK
XX1X Y1Y2 Yg XX1XY
7
（2）根据结构式参数与简约式参数的关系 解结构式参数的间接最小二乘估计
模型的结构式参数和简约式参数总体上
有关系：β ΓΠ
第一个结构式方程的参数与简约式参数 之间有关系式：
ˆ12SLS t Y3t Y3 Yˆ3t Yˆ3 t Y3t Y3 Yˆ3t
t
t
Y1t Y1 Yˆ3t
Y1t Y1 Yˆ3t
t
t
t
Y3t
Yˆ3t
Yˆ3t Yˆ3
Yˆ3 Y3
Yˆ3t
Yˆ3t Yˆ3 Yˆ3t
t
26
方程中的常数项仍可用通常的方法估计 ： ˆ02SLS Y1 ˆ12SLSY3
19
（二）推导工具变量法估计的一般公式 仍然设估计联立方程组模型的第一个方
程，并设它是一个过度可识别的方程。 该方程用与单方程多元线性回归分析相
似的观测向量方程可表示为
Y1 Y10γ1 X1β1 ε1
20
将工具变量观测矩阵 W X10 X1 代入工
具变量法估计公式
βˆ IV WX1WY
对它们分别作最小二乘估计，得：
Πˆ i XX1 XYi , i 2,, g1
因此这些内生变量的估计量为：
Yˆ i XΠˆ i XXX1 XYi , i 2,, g1
29
它们可以合并为：
Yˆ10 Yˆ 2 Yˆ 3 Yˆ g1
XXX1 X Y2 Y3 Yg1
XXX1 XY10
XΠˆ 2
X
3 4
1
2
33
两阶段最小二乘估计的公式为
γˆ12SLS
βˆ12
SLS
Yˆ 10
X1 Yˆ10
X1
1
Yˆ 10
X1
Y1
YXˆ 110YYˆˆ1100
Yˆ 10X1 X1X1
1
Yˆ 10Y1
X1Y1
根据数据的二阶矩矩阵，公式中的各个二阶矩
数值分别为：
联立方程组模型的参数估计
一、最小二乘估计及其问题 二、间接最小二乘估计 三、工具变量法估计 四、两阶段最小二乘估计
1
一、最小二乘估计及其问题
可以用普通最小二乘法估计参数的情况： 联立方程组模型的方程没有内生解释变量； 内生解释变量与方程的误差项没有强相关性。
例：递归模型
Y1t 11 X1t 12 X 2t 1t , Y2t Y 21 1t 21 X1t 22 X 2t 2t , Y3t Y 31 1t Y 32 2t 31 X1t 32 X 2t 3t
β1 ΠΓ1
8
因此第一个结构式方程参数的间接最小二乘估
计，与简约式参数的最小二乘估计的关系为：
βˆ1 Πˆ Γˆ 1
也就是
ˆ11 ˆ12
ˆ1K1
0
0
XX
1
XY Fra Baidu bibliotek
1
ˆ12
ˆ1g1
0
0
9
分别由分块矩阵Y Y1
表示 Y 和X 。
ˆ1g1 ˆ11
X11
X12 Y11
X11
1
X11
X12 Y1 X Y11
X11 1 XY1
ˆ1K1
这就是联立方程组模型的恰好可识别方
程参数的间接最小二乘估计的一般式。
14
例
假设已经根据20组观测数据计算出如下 的二阶矩矩阵
Qt Pt l Pt1 Yt
Qt 20 6 8 4 3
2
1
2.24
2.24
2.18
1.08
1
5.46
4.60
即两个参数的两阶段最小二乘估计分别为：
ˆ122SLS 5.46, ˆ122SLS 4.60
36
27
（二）联立方程组模型参数两阶段最小二 乘估计的一般公式
设一般联立方程组模型的第一个方程是 过度可识别的。
设方程的观测向量方程形式为
Y1 Y10γ1 X1β1 ε1
28
这个方程中出现的 Y1 以外的内生变量的简 约式观测向量方程形式为 Yi XΠi ui , i 2,, g1
X1
1
X10
X1
Y1
X10Y10
X1Y10
X10X1
X1 X1
X10Y1
X1Y1
0.5 012 2 0 2 4
1.5
2
1
1.5
0.5
1
3.5
即两个参数的工具变量法估计分别为：
ˆ12IV 4, ˆ12IV 3.5
23
四、两阶段最小二乘估计
阶段一：寻找理想工具变量
用Yˆ10 代替第一个方程中的Y10 ，得到
Y1
Yˆ 10 γ1
X1β1
u 1
30
再对该方程运用普通最小二乘估计，得 到两阶段最小二乘估计
ˆ12SLS
ˆ12SLS
Yˆ 10
X1 Yˆ10
X1
1
Yˆ 10
X1 Y1
这就是两阶段最小二乘估计的一般公式 。
31
例 ：以上一个例子的模型和相关数据二阶矩矩阵 为例，求第一个方程两个参数的两阶段最小二 乘法估计。
Y
X Y
X
Y X
Y
Pt
6
X l 8
Pt 1
4
10 4 3
4 20 4
3 4 5
6
4 2
Yt 3 6 4 2 5
15
求市场供求均衡模型 Qt 1 2Pt 3Pt1 1t Qt 1 2Pt 3Yt 2t
第一个方程的参数估计。
首先确定 Y1 Qt , Y11 Pt , X11 [l Pt1],
X11Y11
X12Y11
ˆ12 ˆ1g1
X11Y1
X12Y1
12
X11
X12
X11
ˆ11
X11
ˆ1K1
X12
Y11
ˆ12
X11
ˆ1g1
X12
Y1
ˆ12
X11
X12 Y11
X11
ˆ1g1 ˆ11
X11
X12 Y1
ˆ1K1
13
ˆ12
0
X12Y1
0
X11Y11 X12Y11
1
ˆ12
X11Y12 X12Y12
ˆ1g1
0
0
11
X11
X11
X12 X11
ˆ11 ˆ1K1
X11Y1
X12Y1
X11Y11
X12Y11
ˆ12 ˆ1g1
X11X11
X12 X11
ˆ11 ˆ1K1
2
如果联立方程组模型的方程，既非解释 变量全部是外生变量或前定变量，也不 像递归模型那样解释变量与误差项都没 有相关性，那么普通最小二乘估计得到 的参数估计量既非无偏的，也不是一致 估计。
3
二、间接最小二乘估计 1、基本思想 对于恰好可识别的联立方程组模型方程，结
构式参数与简约式参数有一一对应关系。由于 简约式参数不存在内生解释变量的问题，最小 二乘估计是有效的。 通过简约式参数的最小二乘估计间接得到结构 式参数的估计。这种估计方法称为“间接最小 二乘估计”。
阶段二：用第一个阶段找到的工具变量进行工具 变量法估计 。
（一）利用下面的方程说明两阶段最小二乘估计 的思路和方法，仍然讨论其中过度可识别的第 一个方程的参数估计。
Y1t 0 1Y3t 1t
Y2t 0 1Y3t 2 X1t 2t
Y3t Y1t Y2t X 2t
24
Yˆ3t 作为工具变量，比 X1t 和 X 2t 都理想。 根据这种思路先估计 Y3t 的简约式方程：
X l Pt1 Yt
16
市场均衡模型第一个方程三个参数的间 接最小二乘估计向量 ：
ˆ2ILS 4 20 51 8 0.17 0.04 0.17 8 0.69
ˆ1ILS
3
4
2
4
1.11
0.14
1.44 4 5.12
ˆ3ILS 6 4 5 3 0.28 0.10 0.61 3 0.81
ˆ11
X11
X12 X11
X12
ˆ1K1
0
X11
0
和 Y11 Y12
X X11 X12
1
ˆ12
X12 Y1
Y11
Y12
ˆ1g1
0
0
10
X11X11
X12 X11
ˆ11
X11X12
ˆ1K1
X11Y1
X12X12
可以得到：
γˆ1IV
βˆ 1IV
X10
X1 Y10
X1
1
X10
X1 Y1
21
例 ：若联立方程组模型为
Y1t Y 12 2t 12 X 2t 1t Y2t Y 21 1t 21X1t 23 X 3t 2t
并已根据50组观测数据计算到二阶矩矩阵
Y1
Y2
X1 X2 X3
1 6
3
0
0
1 6
Yˆ 10Yˆ 10
1 6
3 4
1 2
XX
3 4 1
1 6
3 4
1 2
00
2 0
0
3 4
1
1
1.46
2
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0
Yˆ 10X1
1 6
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XX1
1 6
3 4
1 2
02
1.5
1 6
1 6
X1Yˆ 10
X1X
3 4
0
2
0
3 4
1.5
1
1
2
2
X1X1 2
2
Yˆ 10Y1
1 6
3 4
1 2
XY1
1 6
3 4
1 2
1
3
1.08
X1Y1 1
35
由两阶段最小二乘估计的公式，可得该模型第
一个方程参数12和 12的最小二乘估计向量：
ˆ12SLS
ˆ12
SLS
1.46
1.5
1.51 1.08 2.98
18
找到合适的工具变量 ：选择与 Y3t相关性较强
的 X 2t作为估计第一个方程参数的工具变量。 根据工具变量法估计公式，第一个方程的参数
的工具变量法估计为
Y1t Y1 X 2t X 2 ˆ1IV t Y3t Y3 X 2t X 2
t
0 的工具变量法估计则为
ˆ0IV Y1 ˆ1IVY3
首先，用最小二乘法估计第一个方程的内生解
释变量 Y2 的简约式参数，得到
3
Πˆ 2 XX1 XY2 0
0
0 2 0
1
0 1 0 1
0.5
1.5
0.5
3
1 2
1
0.5
1.5
0.5
1 6
3
4
1
2
32
因此Y2 对全体前定变量的回归直线为：
1 6
Yˆ 10
Y3t Π30 Π31X1t Π32 X 2t u3t
得到最小二乘估计回归方程： Yˆ3t Πˆ 30 Πˆ 31X1t Πˆ 32 X 2t
25
把量法Yˆ3t估作计为，工得具到变量1的对两第阶一段个最方小程二进乘行估工计具为变：
Y1t Y1 Yˆ3t Yˆ3
Y1t Y1 Yˆ3t
根据这些参数估计，得到该方程的回归 直线为： Qˆt 5.12 0.69Pt 0.81Pt1
17
三、工具变量法估计
（一）用例子说明联立方程组模型参数的工具变 量法估计： 一个三方程联立方程组模型为
Y1t 0 1Y3t 1t Y2t 0 1Y3t 2 X1t 2t
Y3t Y1t Y2t X 2t
Y1 80 4 2 1 3
Y
X Y
Y2 4
X
X1 X2
2 1
5 0.5 1.5
0.5 3 0
1.5 0 2
0.5
0
0
X3 3 0.5 0 0 1
估计第一个方程中的参数12 和 12 。
22
若用X1t作为工具变量，可得第一个方程的工具
变量法估计：
ˆ12IV
ˆ12IV
X10
X1 Y10
以简约式的第l个方程为例：
Ylt l1 X1t l 2 X 2t lK X Kt ult
该方程的系数构成行向量 Πl l1,,lK
，它的最小二乘估计量为：
Πˆ l XX1 XYl
6
这些参数估计向量可以合并成下列简约式 模型参数的估计量矩阵：
Πˆ
Πˆ 1Πˆ 2 Πˆ g