Stirling 公式
wallis公式与stirling公式的推广
wallis公式与stirling公式的推广Wallis公式与Stirling公式是多项式逼近无穷级数发展过程中的重要结果。
它们推广到非整数阶，就有了称为B-L类（Wallis-Stirling）的推广公式。
它们主要用于计算πnil、γ 和ζ函数。
B-L类公式又称为Wallis-Stirling公式，它是Wallis 公式和Stirling公式的推广，可用来计算非整数阶的函数。
具体来说，它可以用来求解某些类型的无穷级数的逼近表达式，也就是Wallis公式和Stirling公式的推广。
B-L类公式的形式如下：
z(n)=(1/n)(1+1/2+1/3+...+1/(n-1))(1+1/2(n-1)+1/3(n-
1)2+...+1/n(n-1)n-1+1/n(n-1)n)。
其中，n是一个正整数，n≥2，z(n)就是我们想要求解的函数，也就是B-L类公式求解的函数。
B-L类的推广公式的准确率要优于Wallis公式和Stirling公式，它也可以拓展到非整数阶，可以做到精确求解类型的函数，被广泛应用于数学计算中。
striling公式
Stirling公式是以苏格兰数学家詹姆斯·斯特灵命名的一种近似公式，它用于估计一个大数的阶乘。
该公式在数学和科学计算中经常用于涉及大数阶乘的问题。
Stirling公式表达式如下：
n! ≈√(2πn) * (n/e)^n
其中：
- n! 表示非负整数n 的阶乘，即从1 到n 的所有正整数的乘积。
- π是数学常数π，约等于3.14159。
- e 是自然对数的底数，约等于2.71828。
- √(2πn) 表示2πn的平方根。
Stirling公式是一种渐近近似公式，随着n 增大，逼近精度越高。
它在计算大数阶乘时特别有用，因为直接计算大数阶乘可能导致溢出或计算困难。
例如，我们使用Stirling公式来近似计算10 的阶乘：
n = 10
10! ≈√(2π* 10) * (10/2.71828)^10
10! ≈√(62.831853) * (3.678794)^10
10! ≈3598695.618741
实际的10! 的值为3,628,800。
从结果中可以看出，使用Stirling公式得到的近似值与实际值相当接近，特别是当n 增大时。
然而，需要记住Stirling公式仍然是一个近似值，在处理非常小的n 或需要高精度计算时可能不够准确。
stirling子集递推公式
stirling子集递推公式
Stirling子集是对一个集合的非空子集进行划分的数量。
设S(n, k)表示n个元素的集合的子集划分为k个非空子集的数量，则
Stirling子集的递推公式为：
S(n, k) = k*S(n-1, k) + S(n-1, k-1)
其中，S(n-1, k)表示将n个元素的集合划分为k个非空子集中的一部分，而S(n-1, k-1)表示其中一个非空子集包含n元素。
这个递推公式的意义是，当我们要将n个元素的集合划分为k个非空子集时，可以分两种情况来考虑：第一种情况是将第n个元素放入某一个已经划分的非空子集中，此时问题转化为将前n-1个元素的集合划分为k个非空子集，即S(n-1, k)；第二种情况是将第n个元素单独作为一个非空子集，此时问题转化为将前n-1个元素的集合划分为k-1个非空子集，即S(n-1, k-1)。
因此，两种情况的数量相加即可得到n个元素的集合划分为k个非空子集的总数。
拓展：除了Stirling子集的递推公式，在计算实际问题中也会用到Stirling数。
Stirling数是一种用于计算排列和组合问题的数学工
具，有两种类型：Stirling第一类数（符号为S(n, k)）用于计算将n 个元素划分为k个非空环排列的数量，而Stirling第二类数（符号为
S(n, k)）用于计算将n个元素划分为k个非空的集合的数量。
这两类Stirling数也存在递推公式，可以用来计算更复杂的排列和组合问题。
斯特林公式适用条件
斯特林公式适用条件斯特林公式，这可是个很有趣的东西呢。
那它的适用条件啊，就像我们挑鞋子一样，得合脚才行。
斯特林公式主要是对阶乘的一种近似计算。
咱们先来说说这个阶乘，阶乘就像是搭积木，数字越大，搭起来就越复杂。
比如说5的阶乘，就是5×4×3×2×1，这还比较好算。
可要是100的阶乘呢，那数字可就大得吓人了。
这时候斯特林公式就像个小助手一样冒出来了。
那斯特林公式适用在什么情况下呢？一般来说，当这个数足够大的时候，斯特林公式就开始显神通了。
这就好比你要去搬很重很重的东西，平时的小力气可不行，得等这个东西重到一定程度，你那些特殊的工具，就像斯特林公式，才用得上。
那多“大”算大呢？通常来说，数越大，斯特林公式的近似效果就越好。
如果这个数比较小，就像你用大炮打蚊子，完全没必要嘛。
比如说10以内的数，你用斯特林公式去算阶乘的近似值，那误差可能会让你皱眉头的。
再打个比方吧，斯特林公式就像一个大胃王的套餐，是为那些“大食量”的大数准备的。
如果是小数，就像小朋友的小点心，这个大胃王套餐就不适合了。
在数学里，很多时候我们会遇到一些复杂的计算，涉及到阶乘的组合或者概率问题。
当这些数是那种超级大的数，斯特林公式就像一把万能钥匙，能让我们快速地得到一个近似的结果。
这个近似结果就像一幅简笔画，虽然不是那么精确细致，但是能让我们很快地了解大致的轮廓。
如果我们非要在小数上用斯特林公式，那就像你硬要把大人的衣服套在小孩身上，怎么看都别扭，而且误差就像那不合身的衣服一样，松松垮垮的，让我们觉得很不舒服。
从另一个角度看，斯特林公式的适用条件就像一个专属的俱乐部。
大数就像那些成年的、够资格的会员，可以大摇大摆地进去享受这个公式带来的便利。
而小数呢，就像那些没到年龄的小孩子，只能在外面眼巴巴地看着。
这并不是说小数就没有自己的计算方法，就像小孩子也有自己的游乐场一样，只是斯特林公式这个大游乐场是为大数专门打造的。
Stirling 公式
谈Stirling 公式（转）彭宇煦12位粉丝1楼甲、一个机率问题什麽是一个事件(event) 的几率？这是机率论最基本也是争论最多的一个问题。
举最简单的例子来说明：丢一个公正铜板(fair coin)，出现正面(head) 的机率为这是什麽意思呢？常识性的解释大致是，将此铜板独立地丢「很多」次，那麽正面出现的次数「大约」占一半，这是在随机的说不准中很确定的事情。
所谓的「平均律」(the law of averages) 或「大数法则」(the law of large numbers) 隐隐约约就是指着这个解释。
不过，常识往往是含糊的或自相矛盾的，需要加以精炼。
事实上，「数学是精炼的常识」(Mathematics is refined comm on sense)。
常识是我们作观念探险之旅的出发点。
问1：丢2n 次铜板，正面恰好出现n 次的机率有多大？根据组合学，丢2n 次铜板，共有22n 种可能结果，假设每一种结果发生的机会均等，那麼2n 次中有n 次为正面的结果共有2nCn 种，故得机率为我们更有兴趣的问题是，当n 趋近时，p2n 会趋近於多少？上述常识性的解释似乎是说，，这成立吗？这需要对(1)式作精确的估算，於是引出了下面的问2：当n 很大时，如何估算？更明确地说：当n 趋近时，n! 的渐近相等式(Asymptotically equal formula) 是什麼？即要找一个「好用」(an) 使得我们希望找到这样的(an)，然后代入(1)式中计算出极限值，就可以检验上述常识性的机率解释是否正确。
n! 的渐近相等式存在吗？如何找？这就来到了Stirling 公式的大门口。
在文献上，有许多文章论述Stirling 公式的简化证明或机率式的证明，不过都只是在已经知道公式后，给出证明而已，并没有说出如何「看出」或「猜出」公式的追寻、探险过程。
因此令人有「美中不足」或「未尽妙理」的感觉。
本文我们就试著来补上这个缺憾，展示一种推测式的猜想过程。
stirling插值公式
stirling插值公式
斯特林插值公式是一种用于近似给定数据点之间的值的方法。
该方法通常用于数值分析和插值理论中。
斯特林插值公式的一般形
式如下：
f(x) = f(x0) + (x x0)f[x0,x1] + (x x0)(x x1)f[x0,x1,x2] + ... + (x x0)(x x1)...(x xn-1)f[x0,x1,...,xn]
其中，f(x)是要插值的函数，x0, x1, ..., xn是已知的数据点，f[x0,x1], f[x0,x1,x2], ..., f[x0,x1,...,xn]是对应的差商。
斯特林插值公式的优点是可以通过已知的数据点来近似计算其他位
置的函数值，而不需要知道函数的具体形式。
斯特林插值公式的应用范围广泛，包括在数学、工程、物理学
等领域中。
它可以用于曲线拟合、数据平滑、信号处理等方面。
然而，需要注意的是，斯特林插值公式在一些情况下可能会出现插值
误差较大的问题，特别是在数据点较为稀疏或者不均匀分布的情况下，因此在实际应用中需要谨慎使用，并结合其他插值方法进行比
较和分析。
总的来说，斯特林插值公式是一种重要的插值方法，它通过已
知数据点之间的关系来近似计算其他位置的函数值，具有广泛的应
用前景。
然而，在具体应用中需要注意插值误差和数据分布的影响，以确保插值结果的准确性和可靠性。
Γ函数与Stirling公式
1 lim 1 n n
n2
n! n
n
n
2 。 e
n! n
n
n
。
n 解 由 n!~ 2 n （ n ）知 e
1 lim 1 n n
因为
n2
n! nn
1 n n ln 1 1 1 n 1 n 。 2 lim 1 e 2 lim e n n n n
n
n
n
lim
n!
n 1 2
n
lim
n! 2 n
n 1 2
n
2 n
n n
1。 e
n
e n
n
n
于是利用等价无穷大量代换的方法得 n lim lim n n n! n
1 例 求极限 lim 1 n n
n
n2
2 n
n
1 2 1 1 lim n n ln 1 1 lim n n o 2 1 2 n n n n n 2n 1 1 lim o(1) , n 2 2
s
n n! 2 n e 12n 。 e 从这个定理立即得到无穷大量的等价关系：
n
n （ n ） 。 n!~ 2 n e 关于阶乘的 Stirling 公式的意义在于，它可以将阶乘转化成幂函数，使 得阶乘的结果得以更好的估计，而且 n 越大，估计就越准确。 n 例 求极限 lim 。 n n n! n 解 由 n!~ 2 n （ n ）知， e
如何估计阶乘 n! 的增长量级，这在理论与实际应用中是非常重要问题。Γ 函 数与阶乘有着密切的关系，这就是 (n 1) n! 。 因此对Γ函数增长的估计也就蕴含了 n! 的增长估计，这就是下面的定理： 定理（Stirling 公式） Γ 函数有如下的渐进估计：
1.4 组合数学之—stirling近似公式
1.4 Stirling近似公式
1.4 Stirling近似公式
组合计数的渐进值问题是组合论的一个研究方向。 Stirling公式给出一个求n!的近似公式，它对从 事计算和理论分析都是有意义的。 1) Wallis公式
I n sin xdx n 0, 1, 2,
n dx =nlnn－n+1 1
1 1 tn=－ 2 ln1+ln2+…+ln(n－1)+－ 2 lnn 1 =ln(n!)－－ 2 lnn
tn的几何意义是由x轴,x=n,以及连接(1,0), (2,ln2),…,(n－1,ln(n－1)),(n,lnn)诸点而 成的折线围成的面积。
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.4 SБайду номын сангаасirling近似公式
1 0<An－tn<Tn－tn=－ 8
所以 n! ~ 2πn (－) n→∞ 令bn=An －tn.序列b1,b2,…是单调增，而且有上 界，故有极限，令 limbn=b1 1 由(1-3-4),(1-3-5) 得 2 n －ln(n!)+－lnn bn=nlnn－n+1 = lnn－n+1－ln(n!)+－ln n√ n n ln(n!)=1－bn+ lnn －ln n √ －lne n n ∴n!=e 1-bnn (－) √ e
1.4 Stirling近似公式
所以
1 π (2k)!! 2 · —— = — lim , [ —— ] 2 2k+1 k→∞ (2k-1)!! 1 π (2k)!!(2k)!! 2 — ·—— lim = , [ ———— ] 2 2k+1 k→∞ (2k)! π 2 (k!) 2 1 · —— = — lim [ —— ] 2k+1 2 k→∞ (2k)!
stirling 公式
stirling 公式
斯特林公式是数学中的一个重要公式，它用于近似n的阶乘。
斯特林公式的一般形式如下：
n! ≈ √(2πn) (n/e)^n.
其中，n! 表示n的阶乘，π是圆周率，e是自然对数的底。
这
个公式由苏格兰数学家詹姆斯·斯特林在18世纪提出，并且在数学
和科学领域得到了广泛的应用。
斯特林公式的作用是用一个简单的公式来近似计算n的阶乘，
特别是当n很大时，计算n的阶乘会变得非常复杂，而斯特林公式
可以提供一个相对准确的近似值。
这在统计学、概率论、物理学等
领域的计算中非常有用。
斯特林公式的推导涉及到数学分析和级数展开等高级数学知识，它的证明比较复杂，但是可以通过泰勒级数和对数函数的性质来进
行推导。
斯特林公式在实际应用中有着广泛的用途，比如在概率论中的
泊松分布、统计学中的伽玛分布等都会用到斯特林公式来近似计算阶乘。
在物理学中，斯特林公式也可以用来近似计算热力学系统的微观状态数。
总之，斯特林公式在数学和科学领域都有着重要的地位。
总的来说，斯特林公式是一个重要的数学工具，它提供了一种简单而有效的方法来近似计算阶乘，为复杂计算提供了便利，因此在各个领域都有着广泛的应用。
Stirling公式
Stirling's FormulaAn important formula in applied mathematics as well as in probability is the Stirling's formula known aswhere is used to indicate that the ratio of the two sides goes to 1 as n goes to . In other words, we haveorProof of the Stirling's FormulaFirst take the log of n! to getSince the log function is increasing on the interval , we getfor . Add the above inequalities, with , we getThough the first integral is improper, it is easy to show that in fact it is convergent. Using theantiderivative of (being ), we getNext, setWe haveEasy algebraic manipulation givesUsing the Taylor expansionfor -1 < t < 1, we getThis impliesWe recognize a geometric series. Therefore we haveFrom this we get1.the sequence is decreasing;the sequence is increasing.This will imply that converges to a number C withand that C > d1 - 1/12 = 1 - 1/12 = 11/12. Taking the exponential of d n, we getThe final step in the proof if to show that . This will be done via Wallis formula (and Wallis integrals). Indeed, recall the limitRewriting this formula, we getPlaying with the numbers, we getUsing the above formulawe getEasy algebra givessince we are dealing with constants, we get in fact . This completes the proof ofthe Stirling's formula.Stirling公式的意义在于:当n足够大之后n!计算起来十分困难,虽然有很多关于n!的不等式,但并不能很好的对阶乘结果进行估计,尤其是n很大之后,误差将会非常大.但利用Stirling公式可以将阶乘转化成幂函数,使得阶乘的结果得以更好的估计.而且n越大,估计得就越准确.。
常用十个斯特灵展开公式
常用十个斯特灵展开公式
斯特灵展开是一个在数学和物理学中常用的技巧，用于近似计算大数的阶乘。
斯特灵公式由斯特灵（Stirling）提出，它通过将阶乘表示为一个函数的极限形式来简化计算过程。
以下是常用的十个斯特灵展开公式：
1. n!的斯特灵展开公式n!的斯特灵展开公式
n的阶乘可以表示为：
2. ln(n!)的斯特灵展开公式ln(n!)的斯特灵展开公式
n的阶乘的自然对数可以表示为：
3. n^k的斯特灵展开公式n^k的斯特灵展开公式
n的k次方可以表示为：
4. e^n的斯特灵展开公式e^n的斯特灵展开公式
自然常数e的n次方可以表示为：
5. log(n!)的斯特灵展开公式log(n!)的斯特灵展开公式n的阶乘的常用对数可以表示为：
6. n^x的斯特灵展开公式n^x的斯特灵展开公式
n的x次方可以表示为：
7. x^n的斯特灵展开公式x^n的斯特灵展开公式
x的n次方可以表示为：
8. sin(n)的斯特灵展开公式sin(n)的斯特灵展开公式正弦函数sin(n)可以表示为：
9. cos(n)的斯特灵展开公式cos(n)的斯特灵展开公式
余弦函数cos(n)可以表示为：
10. log(n)的斯特灵展开公式log(n)的斯特灵展开公式
自然对数ln(n)可以表示为：
以上是常用的十个斯特灵展开公式，它们可以在大数近似计算中提供便利。
使用斯特灵展开公式，可以加快计算速度，同时得到相对准确的结果。
StirlingsFormula---斯特林（Stirling）公式
StirlingsFormula---斯特林（Stirling）公式Stirling's FormulaAn important formula in applied mathematics as well as in probability is the Stirling's formula known aswhere is used to indicate that the ratio of the two sides goes to 1 as n goes to . In other words, we haveorProof of the Stirling's FormulaFirst take the log of n! to getSince the log function is increasing on the interval , we getfor . Add the above inequalities, with $n=1,2,\cdots,N$, we getThough the first integral is improper, it is easy to show that in fact it is convergent. Using the antiderivative of (being $x \log(x) -x$), we getNext, setWe haveEasy algebraic manipulation givesUsing the Taylor expansionfor -1 < t < 1, we getThis impliesWe recognize a geometric series. Therefore we haveFrom this we get1.the sequence is decreasing;2.the sequence is increasing.This will imply that converges to a number C withand that C > d1 - 1/12 = 1 - 1/12 = 11/12. Taking the exponential of d n, we getThe final step in the proof if to show that . This will be done via Wallis formula (and Wallis integrals). Indeed, recall the limitRewriting this formula, we getPlaying with the numbers, we getUsing the above formulawe getEasy algebra givessince we are dealing with constants, we get in fact . This completes the proof of the Stirling's formula.[Trigonometry][Calculus][Geometry][Algebra][Differential Equations][Complex Variables][Matrix Algebra]S.O.S MATHematics home pageDo you need more help? Please post your question on our S.O.S. Mathematics CyberBoard. Mohamed A. KhamsiTue Dec 3 17:39:00 MST 1996。
斯特林(Stirling)公式的推导之欧阳语创编
斯特林(Stirling)公式的推导
斯特林（Stirling）公式：
这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。
Stirling太强了。
1，Wallis公式
证明过程很简单，分部积分就可以了。
由x的取值可得如下结论：
即
化简得
当k无限大时，取极限可知中间式子为1。
所以
第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。
2，Stirling公式的求解
继续兜圈。
关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。
分别是：
显然，
代入第一部分最后公式得
（注：上式中第一个beta为平方）所以得公式：。
斯特林公式Stirling Formular
题目：关于阶乘的近似公式1.相关历史与进程历史上对阶乘的估计在数学上有着重要的作用，首先是它在概率论与数理统计中，最早可以追溯到1733年一位法国的数学家de Moivre 的工作，同时也是第一次遇到对整数阶乘的估计问题。
在他研究Gauss 分布和中心极限定理时发现了如下公式：!constant nn n e ⎛⎫≈ ⎪⎝⎭然后，瑞典数学家Stirling在试图给出二项分布的一般的近似值时，发现了未知的常数：constant =Stirling 公式：!nn n n e σ⎫≈=⎪⎭紧接着他就得到如下的结果，并发表在了Miscellaneis Analyticis Supplementum 中：221111ln[(1)!]~ln()ln(2)222(21)k k k B n n n n k k nπ-≥⎛⎫---++ ⎪-⎝⎭∑ (1)公式(1)也被称为Stirling 级数，其中的2k B 称为Bernoulli 数，定义如下：0011,0kj j k B B j =+⎛⎫== ⎪⎝⎭∑其中1k ≥。
将(1)式的前m 项记为2211exp 2(21)nm k m k k B n e k k x τ-=⎛⎫⎫= ⎪⎪-⎭⎝⎭∑同时Euler 提出了一个函数，它可以作为整数的阶乘在正实数中的拟合。
这函数便是Γ-函数：10()t z z e t dt +∞-Γ=⎰，也可以定义为极限的形式：!()lim(1)()zn n n z z z z n →∞Γ=++而且显然有(1)!n n Γ+=，而且目前对阶乘的估计也或多或少的用Γ-函数来描述，甚至利用Γ-函数的性质来发现新的更好的渐进函数。
之后，关于!n 的渐进公式的探索逐渐缓慢下来。
直到最近才有了新的突破。
2.第一种有关!n 的渐进形式——含有幂级数的渐进公式依靠幂级数来求数值解的思想一直是较好的方法。
其中在Stirling 所处的时期便已经有了一个幂级数展开，而且拥有着各种相似的形式，如在Abramowitz 和Stegun [1]的书中记载着：3571111!exp 1236012601680nn n e n n n n ⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭但是在1763年Bayes [5]在给Canton 的信中说：Stirling 给出的这个幂级数展开并不是一个收敛级数。
lnn!斯特林公式
lnn!斯特林公式Lnn!斯特林公式，也称作马可斯特林公式或马可斯特林格式，是20世纪30代英国数学家（Sir）约翰马可斯特林（John M. Stirling）提出的数学规律。
此公式可以将一个复杂的问题变成一个简单的数学算式，使人们可以更容易地进行数学分析和解决复杂的问题。
Lnn!斯特林公式是一个函数，形式如下：lnn!=ln(n!)=nln(n)-n+ln((2πn)/e)+1/2ln(n)其中：n!表示1乘以2乘以3乘以...乘以n的乘积，ln表示自然对数，π表示圆周率，e表示自然常数。
Lnn!斯特林公式的数学历史可以追溯到古埃及时期，但它最早是由20世纪30年代的英国数学家约翰马可斯特林提出的。
斯特林在他的一篇论文中提出了马可斯特林公式，以解决复杂的问题。
他认为，通过将一个复杂的问题转换为一个简单的数学算式，人们可以轻松地进行数学分析，并较容易地解决复杂的数学问题。
Lnn!斯特林公式最常用于求解概率论和概率统计的问题。
它是许多概率论的基础。
由于它的可靠性和效率，它也被用于解决其他科学问题。
例如，可以使用它来计算力学和物理学中的熵及其他函数。
Lnn!斯特林公式也可以用于大数定律和中心极限定理（CLT）分析，以及概率论和统计分析中的分布问题。
它也可以用于求解统计学中的参数估计问题，如最小二乘法、线性模型和判别分析。
Lnn!斯特林公式也被广泛用于机器学习。
它可以用于计算机科学中的信息压缩，因为可以用来求解通过熵定义的信息压缩算法的比特数。
它也可以用于编码和译码，这种编码是一种数据压缩方法。
此外，它还可以用于机器学习中的核函数，这是一种用于处理非线性功能的方法。
总之，Lnn!斯特林公式可以以多种方式被用于各种科学和数学问题，从概率论到机器学习，它都有着独特的优势。
尽管许多人有时可以无法理解其复杂的数学结构，但它依然可以被广泛应用于各种科学和数学问题的解决中。
组合数学 —— 斯特林数(Stirling)
【第一类斯特林数】1.定理第一类斯特林数 S1(n,m) 表示的是将 n 个不同元素构成 m 个圆排列的数目。
2.递推式设人被标上1,2,.....p，则将这 p 个人排成 m 个圆有两种情况：在一个圆圈里只有标号为 p 的人自己，排法有 S1(n-1,m-1) 个。
p 至少和另一个人在一个圆圈里。
这些排法通过把 1,2....n-1 排成 m 个圆再把 n 放在 1,2....n-1 任何一人左边得到，因此第二种类型排法共有 (n-1)*S1(n-1,m) 种。
我们所做的就是把 {1,2,...,p} 划分到 k 个非空且不可区分的盒子，然后将每个盒子中的元素排成一个循环排列。
综上，可得出第一类Stirling数定理：边界条件：：有 n 个人和 n 个圆，每个圆只有一个人：如果至少有 1 个人，那么任何的安排都至少包含一个圆3.应用举例第一类斯特林数除了可以表示升阶函数和降阶函数的系数之外还可以应用到一些实际问题上，比如很经典的解锁仓库问题。
问题说明：有 n 个仓库，每个仓库有两把钥匙，共 2n 把钥匙。
同时又有 n 位官员。
求：①如何放置钥匙使得所有官员都能够打开所有仓库？（只考虑钥匙怎么放到仓库中，而不考虑官员拿哪把钥匙。
）②如果官员分成 m 个不同的部，部中的官员数量和管理的仓库数量一致。
那么有多少方案使得，同部的所有官员可以打开所有本部管理的仓库，而无法打开其他部管理的仓库？（同样只考虑钥匙的放置。
）分析：①打开仓库将钥匙放入仓库构成一个环：1号仓库放2号钥匙，2号仓库放3号钥匙……n号仓库放1号钥匙，这种情况相当于钥匙和仓库编号构成一个圆排列方案数是 (n-1)! 种。
②对应的将 n 个元素分成 m 个圆排列，方案数就是第一类斯特林数 S1(n,m)，若要考虑官员的情况，只需再乘上 n! 即可。
4.算法实现const int mod=1e9+7;//取模LL s[N][N];//存放要求的第一类Stirling数void init(){memset(s,0,sizeof(s));s[1][1]=1;for(int i=2;i<=N-1;i++){for(int j=1;j<=i;j++){s[i][j]=s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j];if(s[i][j]>=mod)s[i][j]%=mod;}}}【第二类斯特林数】1.定理第二类斯特林数 S2(n,m) 表示的是把 n 个不同元素划分到 m 个集合的方案数。
stiring公式
stiring公式Stirling's formula, also known as Stirling's approximation, is an important formula in mathematics that provides an approximation for factorials. The formula wasfirst derived by the Scottish mathematician James Stirling in the 18th century and has since been used in various fields of study, including physics, statistics, and computer science.The formula can be expressed as:n! ≈ √(2πn) (n/e)^nWhere n is a positive integer and e is Euler's number, approximately equal to 2.718.This formula provides an approximation of n! (nfactorial) for large values of n. The approximation becomes more accurate as n increases and can also be used to approximate other related functions such as the gamma function.To understand the derivation of Stirling's formula, we need to understand a few concepts first. One of these is the idea of logarithmic functions. The logarithm of a number isthe power to which the base must be raised to produce that number. For example, the logarithm of 100 to the base 10 is 2, since 10 raised to the power of 2 gives 100. The natural logarithm of a number, denoted by ln, is the logarithm ofthat number to the base e.Another concept that is important in Stirling's formulais the central limit theorem. This theorem states that the distribution of a sum of independent and identicallydistributed random variables approaches a normal distribution under certain conditions. This theorem is used to prove the convergence of the gamma function, which is closely relatedto the factorial function.Using these concepts, we can derive Stirling's formula by applying a few mathematical techniques, including the method of stationary phase and Laplace's method. The details of the derivation are beyond the scope of this article, but the result is the formula shown above.Stirling's formula has many applications in various fields of study. For example, in physics, the formula is used to approximate the entropy of a system and the density of states in statistical mechanics. In statistics, it is used to estimate probabilities and to compute confidence intervals.In computer science, it is used to analyze algorithms and data structures.Despite its usefulness, Stirling's formula is not always accurate, especially for small values of n. In those cases, other approximations may be used. However, for large valuesof n, Stirling's formula remains a powerful tool for providing quick and approximate calculations of factorials and related functions.。
一匹配多函数公式
一匹配多函数公式以下是一些可以匹配多个函数的公式：1. 斯特林公式（Stirling's formula）：n!≈√(2πn)*(n/e)^n这个公式可以近似计算n的阶乘。
2. 黎曼ζ函数（Riemann Zeta function）：ζ(s) = ∑(n=1 to ∞) 1/n^s这个函数在数论和复分析中具有重要的应用，可以表示为无穷级数的形式。
3. 泰勒级数（Taylor series）：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...这个公式可以将一个函数在一些点附近展开成无穷级数，用于近似计算函数的值。
4. 欧拉公式（Euler's formula）：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)5. 高斯积分（Gaussian integral）：∫(-∞ to +∞) e^(-x^2) dx = √π这个积分在概率论、统计学和物理学中具有重要的应用。
6. 波动方程（Wave equation）：∂^2u/∂t^2=c^2∂^2u/∂x^2这个方程描述了波的传播，其中u是关于时间和空间的函数，c是波速。
7. 热传导方程（Heat equation）：∂u/∂t=α∂^2u/∂x^2这个方程描述了热量在固体材料中的传导，其中u是关于时间和空间的函数，α是热扩散系数。
8. 狄拉克方程（Dirac equation）：(iγ^μ∂_μ-m)ψ=0这个方程描述了自旋1/2的粒子的运动，其中ψ是波函数，γ^μ是狄拉克矩阵，m是粒子的质量。
9. 狄利克雷分布（Dirichlet distribution）：p(x₁, x₂, ..., x_k; α₁, α₂, ..., α_k) = (1/B(α₁, α₂, ..., α_k)) * ∏(i=1 to k) (x_i^(α_i-1))这个分布在统计学中常用于描述多项随机变量的概率分布，其中α₁,α₂,...,α_k是分布的参数，B是贝塔函数。
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谈Stirling 公式（转）彭宇煦12位粉丝1楼甲、一个机率问题什麽是一个事件(event) 的几率？这是机率论最基本也是争论最多的一个问题。
举最简单的例子来说明：丢一个公正铜板(fair coin)，出现正面(head) 的机率为这是什麽意思呢？常识性的解释大致是，将此铜板独立地丢「很多」次，那麽正面出现的次数「大约」占一半，这是在随机的说不准中很确定的事情。
所谓的「平均律」(the law of averages) 或「大数法则」(the law of large numbers) 隐隐约约就是指着这个解释。
不过，常识往往是含糊的或自相矛盾的，需要加以精炼。
事实上，「数学是精炼的常识」(Mathematics is refined comm on sense)。
常识是我们作观念探险之旅的出发点。
问1：丢2n 次铜板，正面恰好出现n 次的机率有多大？根据组合学，丢2n 次铜板，共有22n 种可能结果，假设每一种结果发生的机会均等，那麼2n 次中有n 次为正面的结果共有2nCn 种，故得机率为我们更有兴趣的问题是，当n 趋近时，p2n 会趋近於多少？上述常识性的解释似乎是说，，这成立吗？这需要对(1)式作精确的估算，於是引出了下面的问2：当n 很大时，如何估算？更明确地说：当n 趋近时，n! 的渐近相等式(Asymptotically equal formula) 是什麼？即要找一个「好用」(an) 使得我们希望找到这样的(an)，然后代入(1)式中计算出极限值，就可以检验上述常识性的机率解释是否正确。
n! 的渐近相等式存在吗？如何找？这就来到了Stirling 公式的大门口。
在文献上，有许多文章论述Stirling 公式的简化证明或机率式的证明，不过都只是在已经知道公式后，给出证明而已，并没有说出如何「看出」或「猜出」公式的追寻、探险过程。
因此令人有「美中不足」或「未尽妙理」的感觉。
本文我们就试著来补上这个缺憾，展示一种推测式的猜想过程。
我们不排斥还有其它猜想过程因为登一座山可以有各种不同的路径，路径越多越美妙。
PS：本篇内容较多，等我慢慢贴，为保证阅读流畅性，请暂时不要插楼，谢谢！顶2009-12-15 16:11回复∙∙彭宇煦∙12位粉丝∙2楼乙、n! 的驯服首先观察，欲估计它，最简单的是采高估策略：每个因数都用n 来取代，亦即取（2）显然，故n^n 高估n!，不过也不错，「万事起头难」，有个开头，就可以逐步修改进，从错误中学习，而达真理的殿堂。
[问3：] 如何改进(2)式？我们改采中庸策略：每个因数都用「中位数」1/2（差不多就是算术平均(n+1)/2 ）来取代，亦即取(3)这样应该会比(2)式更好才对吧！我们必须对(3)式作分析与检验的工作。
令如果，那麼「芝麻就开门」了，an=(n/2)^n就是我们所要的渐近公式。
然而我们的内心不禁会响起如下的怀疑：真理不会藏得这麼浅显让我们一猜即中吧？我们来比较n! 与(n/2)^n 的大小。
由算术平均大於等於几何平均定理知事实上可以用数学归纳法证明：因此当n 很大时，用「相差」的观点来看，(n/2)^n 高估了n! 但是此地我们应该另采「相比」的观点更适当，因为我们要找的是n! 的渐近相等式。
例如，n^2+n 与n^2，从「相差」观点来看，当n 趋于无穷时，两者之差但是从「相比」观点来看，(n^2+n)/n^2→1，即两者渐近地相等。
换言之，「相差」观点的高估，还是有可能是「相比」观点的渐近相等。
考虑n! 与（n/2）^n 之比的数列(bn)，我们的目标是探求极限limbn(n趋于无穷) 。
首先注意到(bn) 是一个递减的正项数列，由实数系的完备性知（4）但是α 等於多少，并不容易看出。
我们采用旁敲侧击的战术，我们观察到下面简单的问题未完待续，晚上来帖，贴图很辛苦，希望不要插楼，谢谢！2009-12-15 16:28回复∙彭宇煦∙12位粉丝∙3楼补题1：设(Sn) 为一个正项数列。
如果limSn=S属于R且S不等于0，则l imS(n+1)/Sn=1这没有告诉我们一个数列何时会收敛，不过有「消极中的积极」作用。
如果limS(n+1)/Sn=1 不成立，则可能有三种情形：limSn=0 或limSn=无穷或limSn不存在。
此时根本不必梦想会有li mSn=1 。
另一方面，如果limS(n+1)/Sn=1 ，则(Sn) 可能收敛，也可能发散；此时也不能保证limSn=1现在就来计算极限limb(n+1)/bn(n→∞)==(5)因此limb(n+1)/bn=1不成立，故下列三者之一成立limbn=0 或limbn=无穷或limbn不存在。
配合(4)式，立知limbn=0 所以(n/2)^n 还是高估了n!。
只好继续追寻。
问4：如何改进(3)式？我们的目标是寻找比(n/2)^n 还小一点的估计式。
我们从两个角度来观察：(i) 由微积分知道，对差分而言，2 是自然指数的底数(△2^n=2^n) ，但是对需取极限的微分而言，比2 大的e=2.71828... 才是自然指数的底数(De^x = e^x)。
e 似乎是比2 更佳的选择；(ii) 在(5)式中，若将2 改为e，则极限值变成1，这似乎是不错的念头。
这两点观察给我们启示何不将(3)式中的2改为神奇的数e呢？换言之，将(n/2)^2改成小一点的(n/e)^2 似乎是个好主意。
让我们投石问路，试试看，亦即重新取(6)接著是检验工作。
令n! 与(n/e)^2 的相比为Cn=n! /(n/e)^2容易求得极限limC(n+1)/Cn=1 ，但是还是无法得到我们梦想的结果limCn=1 。
继续做苦工(dirty works) 吧！首先我们来比较(n/e)^n 与n! 的大小。
由2<(1+1/n)^n<e 可得到再由数学归纳法可证得下面结果补题2(n/2)^n不是我们所要的答案，改为(n/e)^n ，会不会矫枉过正？让我们来求算极限值。
由补题2知Cn=n! /(n/e)^2>1,任意n属于N并且容易验知(cn) 为一个递增数列，故为了探求β 的真确值，我们想到了也许可以请著名的Wallis 公式来帮忙，因为公式中涉及了n!。
这是Wallis 在1656年研究圆的求积问题而得到的，公式的发现过程也非常富有方法论上的启发与意涵。
未完待续，修改得太累了！！！2009-12-15 18:31回复∙∙彭宇煦∙12位粉丝∙4楼补题3：（Wallis公式，1656年）或或由得n!=(Cn)*n^n/e^n从而2n!=(C2n)*2n^（2n）/e^2n代入Wallis公式得亦即（7）未完待续！2009-12-15 18:37回复∙彭宇煦∙12位粉丝∙5楼如果limCn=β是有限数，则由(7)式得0=√π ，矛盾。
结论是换言之，（n/e）^n 低估了(n!)。
我们继续追问低估了多少？最容易猜想到的增估是取an=(n/e)^n*n令dn=n!/(n/e)^n*n易验知(dn) 为一个递减的正项数列，故limdn=r 存在，且0《r<无穷。
今若0<r<无穷，仿上述程序由Wallis 公式可得无穷=√π 之矛盾因此limdn=0 。
换言之，（n/e)^n*n 又高估了n!。
只好再减估一点比n 更低阶趋近於无穷的式子是什麼呢？我们自然想到n^α，0<α<1，配合著对(7)式的观察，我们自然想到了√n ，於是我们猜想an=(n/e)^n*√n这也许是个不错的折衷办法。
我们也可以从另一个角度来观察：由微积分知令k=1,2, …, n-1 得到一组不等式，将它们乘起来得此式只是n! 的粗估，不过也启示我们用折衷的(n/e)^n*√n 来估计n!让我们来检验看看这个猜想好不好。
令Un= n!/[(n/e)^n*√n ]问5：极限limUn 存在吗？是多少？由于一贴只能贴10幅图，很多地方是我自己打出来的，难免有错，敬请谅解！2009-12-15 18:50回复∙∙彭宇煦∙12位粉丝∙6楼补题5：(un) 什麼是一个递减的正项数列。
证明：考虑相比我们观察到下面两个式子是等价的：e<(10)2/(2n+1)==(11)由於y=1/x 为一个凸函数，且下图梯形面积恰好为1/[n+(1/2)]图一因此(11)式成立，从而(10)式成立。
於是Un/U(n+1)>1 ，亦即(un)为一个递减正项数列，证毕。
因此极限limUn=L 存在，且0《L<无穷。
如果L=0，我们就必须继续再追寻下去。
幸运的是，我们已经可以用Wallis 公式证明L=√2π ，这真是一个美妙的结果。
n! 终於被驯服！未完待续！2009-12-15 19:16回复∙∙彭宇煦∙12位粉丝∙7楼丙、Stirling 公式的证明定理1：（Stirling 公式，1730年）记成，当n→无穷。
证明：得代入Wallis 公式并且化简得再由得，从而，证毕。
2009-12-15 19:21回复∙∙彭宇煦∙12位粉丝∙8楼Stirling 公式涉及两个神奇的常数π 与e 这是其美妙的所在。
物理学家R. Feynman 每当遇到一个含有π 的公式时，总是要问：「圆在哪里？」(Where is the circle?) 此地我们很容易回答π 来自Wallis 对圆的求积公式。
利用同样的方法我们可以证明下面深刻的结果：定理2：设α>0,且，则1.当α>1/2时，(xn) 为递减数列且limXn=01.当α<1/2时，(xn) 为递增数列且limXn=无穷换言之，当α>1/2 时，高估了n!；当α<1/2 时，低估了n!。
α=1/2 恰是分水岭的Stirling 公式。
2009-12-15 19:26回复∙∙彭宇煦∙12位粉丝∙9楼证明：考虑相比我们来比较与 e 之大小，我们改比较它们的对数由级数展开公式令x=1/(2n+1) ，则(1+x)/(1-x)=(n+1)/n 当α>1/2 时，於是(12)2009-12-15 19:30回复∙∙彭宇煦∙12位粉丝∙10楼(i)当α>1/2 时,2(n+α)>2n+1，故由(12)式易知亦即因此(xn) 递减，於是limXn=α 存在且0《α<无穷如果0<α<无穷，由Wallis 公式会得到一个矛盾。
只好a=0，亦即limXn=0 。
(ii)当α<1/2 时，2(n+α)<2n+1 。
将(12)式中的5, 7, 9, ……皆改为3，得到估计式2009-12-15 19:37 回复∙∙彭宇煦∙12位粉丝∙11楼分母=24n^3+36n^2+12n，分子，分母－分子。