高等数学第二节_一阶微分方程

yP (x )y0 .
分离变量, 得
dyP(x)dx, y
两端积分, 得
dyyP(x)dx,
ln y P (x )d x lC n 1 ,
线性齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
齐次方程的通解为 yCeP(x)dx . 例6 求解微分方程 dyycotsd的 t 通 . 解
解: 分离变量, 得 两端积分, 得
dy costdt, y
dyycostd,t
ln y sti n lC n ,
通解为
yCesint.
齐次方程的通解为 yCeP(x)dx .
来自百度文库例7
求解初值问题
y
1
1
x
y
0
解: 分离变量, 得
y x 1 1
dy dx , y 1 x
的特解.
两端积分, 得 ly n l1 n x ) ( lC n ,
2.解法 作变量代换 u y , x
则yxu, y u x u ,
代入原式，得 uxu f(u ),
即duf(u)u. dx x
可分离变量的微分方程
例4
求解初值问题
y
y
y tan x
x1
6
y x .
,
解:
令u
y x
，则yxu,
y u x u ,
代入得 u x u u ta u ,n 即coutdu1dx. x
◆通解的结构：y C P ( x ) d e x e P ( x ) d x Q ( x ) e P ( x ) d d x .
通解
特解
yP (x)y0 y P (x )y Q (x )
◆上述方法叫做常数变易法.
常数变易法的一般过程： y P (x )y Q (x ),
1. 用分离变量法求的解齐相次应方程 yP(x)y0的通解 : yCeP(x)dx,
解： 分离变量, 得
sinxdxsinydy, coxs cosy
两端积分, 得 csionxxsdxcsionyysdy,
- lc n x o ls c n y o lC n . s
化简，:得 coxs通 Cc解 oy.s
二、齐次型方程
1.定义 形如y f ( y)的微分方程称为齐次型微分方程. x
例1 求微分方程 yxy的通.解
解: 分离变量, 得 dy xdx , y
两端积分, 即ln| y| x2
2
得
dy y
C1，y
xdx, x2
eC1e 2
,
记CeC1,
x2
y Ce 2 , 将y，y代入原方程，恒, 等
所求通 :y解 Cxe2为 ,C为任意 . 常数
例2
求解初值问题
xdy3ydx0,
2 .常数 :令 y变 C (x )e 易 P (x )d,x
3 .将 y,y代回 ,得 原 C 关 (x 方 )的 于 程 微 : 分方 C (x)Q (x)eP(x)d,x
4 .求 C (x ) 出 Q (x ) e P (x ) dd x C x , 5. 写出原方程的通:y 解 e P (x )d(C xQ (x )e P (x )dd x )x
或 M 1 ( x ) N 2 ( y ) d M 2 x ( x ) N 1 ( y ) d 0 y
称为可分离变量的微分方程.
解法 1、分离变量
2、两边积分
M1(x)dxN1(y)dy
M2(x)
N2(y)
M M 1 2((x x))dxN N1 2((yy))dy
即为微分方程的解（一般地，是隐式通解）.
uxu1u, 1u
11uu2dudxx,
两边积,分 得 aru c 1 tla n 1 u n (2 ) ln x lC n , 2
通解为
arctyan
e xC
x2y2.
三、一阶线性微分方程 形如
y P ( x )y Q ( x ), x P (y )x Q (y )
的微分方程叫做一阶线性微分方程.其中P(x), Q(x), P(y), Q(y)为已知函数. Q(x)，Q(y)叫做自由项.
y x1 1.
解: 分离变量, 得 dy 3dx , yx
两端积分, 得
dy y
3dx, x
ln y 3 ln x lC n lnylnCx3,
则:yCx3 当 x1时y， 1, 得C ， 1
所以初值问题的y解C为x3.
例3 求微分方程 six c no yd s cx o x ss iyn d 0 的 y .通
当 Q (x ) 0 或 Q (y ) 0 ,方程称为一阶线性齐次微分方程.
当 Q (x ) 0 或 Q (y ) 0 ,方程称为一阶线性非齐次微分方程.
例如: y2x y0, yysixn 0 , 一阶线性齐次方程
dy y x2, dxxsintt2, 一阶线性非齐次方程
dx
dt
1. 线性齐次方程的解法:
通解为
y C 1 x
x1时y， 1则C2 特解为
y 2 . 1 x
齐次方程的通解为 yCeP(x)dx .
2. 线性非齐次方程的解法: y P (x )y Q (x ).
令yC(x)eP(x)dx是非齐次方, 程的解 y C ( x ) e P ( x ) d C x ( x ) e P ( x ) d [ x P ( x )],
高等数学第二节_一阶微分方程
第五章 微分方程 §2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次型方程 三、一阶线性微分方程 四、拓展与思考 五、小结
一阶微分方程的一般形式： F (x,y,y)0
初值问题：
y f (x, y),
y
xx0
y0.
一、可分离变量的微分方程
形如： y f1 (x )f2 (y )
两边积,分 得 ls n u i n lx n lC n ,
即 siu nC,x代回 sin y Cx, x1时， y
x
6
得:C 1 2
则初值问题的解为 sin y x . x2
例5 求解微分方程 y x y的通解 . x y
解: 原方程等价于
1 y
y
1
x y
,
x
令u y， x
则y xu， yuxu, 代回上,式 得
将y和y代入原方程 C (x 得 )eP (x)dx Q (x),
即 C (x)Q (x)eP(x)dx
积分得 C (x ) Q (x )e P (x )dd x x C , 通解为 y (Q (x ) e P (x )dd x C x ) e P (x )dx
通解为 y (Q (x ) e P (x )dd x C x ) e P (x )dx