新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性(第1课时)奇偶性的概念讲义新人教A版

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习目标核心素养

1.理解奇函数、偶函数的定义．2．了解奇函数、偶函数图象的特征．3．掌握判断函数奇偶性的方法.1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养．

2．借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养．

新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性（第1课时）奇偶性的概念讲义新人教A版必修第一

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函数的奇偶性

奇偶性偶函数奇函数

条件设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I

结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)

图象特点关于y轴对称关于原点对称

思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？

提示：定义域关于原点对称．

1．下列函数是偶函数的是( )

A．y＝x

B．y＝2x2－3

C．y＝1 x

D．y＝x2，x∈[0,1]

B[选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B.] 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )

A B C D

B [B 选项的图象关于y 轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．] 3．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0

C ．1

D ．无法确定

C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a －1＝0，即a ＝1.] 4．若f (x )为R 上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝________. 3 [∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝3.]

函数奇偶性的判断

【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3

＋x ；

(2)f (x )＝1－x 2

＋x 2

－1； (3)f (x )＝2x 2

＋2x

x ＋1

；

(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x －1，x <0，0，x ＝0，

x ＋1，x >0.

[解] (1)函数的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＝(－x )3

＋(－x )＝－(x 3

＋x )＝－f (x )， 因此函数f (x )是奇函数．

(2)由⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x 2

≥0，

x 2

－1≥0得x 2

＝1，即x ＝±1.

因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．

又f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． f (－x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－x －1，－x <0，0，－x ＝0，

－x ＋1，－x >0，

即f (－x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，

－(x －1)，x <0.

于是有f (－x )＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．

判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：

(2)图象法：

1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f (x )＝x 3

；②f (x )＝|x |＋1；③f (x )＝1x

2；

④f (x )＝x ＋1x

；⑤f (x )＝x 2

，x ∈[－1,2]．

②③ [对于①，f (－x )＝－x 3

＝－f (x )，则为奇函数； 对于②，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1，则为偶函数； 对于③，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝

1(－x )2＝1

x

2＝f (x )，则为偶函数； 对于④，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝－x －1

x

＝－f (x )，则为奇函数；

对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．] 奇偶函数的图象问题

【例2】 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．

(1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f (x )<0的x 的取值集合．

[解] (1)因为函数f (x )是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于原点对称． 由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．

(2)由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．

(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题． [解] (1)如图所示

(2)由(1)可知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．

巧用奇、偶函数的图象求解问题

(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y 轴对称.

(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.

2．如图是函数f (x )＝

1

x 2

＋1

在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．

[解] 因为f (x )＝

1x 2

＋1所以f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2

＋1

＝1

x 2

＋1

＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示．