线性系统理论多年考题和答案

2008级综合大题

[]400102110010112x x u y x

⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=&

1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？

2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？

3 求方程的传递函数；

4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！）

5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由；

6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。

参考解答： 1.

判断能控性：能控矩阵21416124,() 2.000M B

AB

A B rank M ⎡⎤

⎢⎥⎡⎤==-=⎣⎦⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

系统不完全

可控，不能任意配置极点。 2

按可控规范型分解

取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1140120001P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求得1203311066

001P ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

进行变换[]11

20831112,0,22260001A PAP B PB c cP --⎡

⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥=-====⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦

⎪=⎩

&

3.

12(1)(1)2(1)

()()(4)(2)(1)(4)(2)

s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-=

=-++-+

4.

det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。

12(1)

()()(4)(2)

s G s c sI A B s s --=-=

-+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不

是BIBO 稳定。

系统发散，不是李氏稳定。 5.

可以。令11228,12T

k k k k A Bk k +⎡⎤⎡⎤

=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

则特征方程[]2

112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++--

期望特征方程*2

()(2)(3)56f s s s s s =++=++

比较上两式求得：728T

k -⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

6.

可以。设12l L l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11222821222l l A LC l l --⎡⎤

-=⎢

⎥--⎣⎦

特征方程2

2121()(222)1628f s s l l s l l =+-++--

期望特征方程*2

()(4)(5)920f s s s s s =++=++

比较得：103136L ⎡⎤⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

则：

204

33

107

33 A

LC

⎡⎤

-⎢⎥

-=⎢⎥

⎢⎥

--

⎢⎥

⎣⎦

观测器方程为：

20410

1

333

107013

336

x x u y

⎡⎤⎡⎤

-⎢⎥⎢⎥

⎡⎤

=++

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

⎢⎥⎢⎥

--

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

&

7.

框图

2007级线性系统理论试题及答案

一、简述：

1．线性性质：一个系统对任何输入

1

u和

2

u及任何实数

1

α和

2

α，均有

()()()

11221122

H u u H u H u

αααα

+=+，称其为线性的。

2．松弛性：

t时刻松弛:输出

()

,t

y

∞

唯一地由

()

,t

u

∞

所激励时，称系统在

t时刻松弛。

3．时不变：一个系统的特性不随时间而变化。

4．串联系统：系统只有1个输入，第一个子系统输出作为第二个子系统的输入，第二个子系统的输出作为总的输出。

5．状态转移矩阵：令()t

ψ是()

x A t x

=

&的任一基本矩阵，对(),

-∞∞中的t，

t称()()()

1

00

,t t t t

-

Φ=ψψ是()

x A t x

=

&的状态转移矩阵。

二、101021x x u ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭& [12]y x = 1．验证能控、能观；

2．是否稳定、渐近稳定，分别为什么；

3．假设初始状态未知，能否找到一个()0,u +∞使y e =；

4．()000x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()y t 的单位阶跃响应，()10

00

t u t t ≥⎧=⎨<⎩；

5．能否配置状态反馈使()2,3--是新的极点？若能，找出K ，若不能，说明理由； 6．设计全维观测器，使极点为()4,5--，画出结构图。 解：1．[]11212rank B

AB rank ⎡⎤

==⎢⎥

⎣⎦

，可控， 12214C rank rank CA ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

,可观； 2．系统为线性时不变的，故 稳定性与渐近稳定性等价。

令()det 0sI A -=，即()()120s s --=，所以特征值为11s =、22s =，不稳定，

亦不渐近稳定；

3．()()()0

0t

A t At y t Ce x Ce Bud τ

τ-=+⎰

[][]1022()020112121t

t t t t x e e ud x e e τττ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=+⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰

()2210202t t t t e x e x e e u =+++-

令()y t e =，由于10x ，20x 未知，u 无解，找不到；

4．由3得：()()22220

002000t t t

t

t

t

e e t y e e e e u t ⎧+-≥=⋅+⋅++-=⎨<⎩

5．设[]12K k k =，1

21212k k A BK k k +⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦

令()1

221

21det 56det 2s k k sI A BK s s k

s k ---⎡⎤

-+=++=⎡⎤⎢⎥⎣⎦---⎣⎦

解得：112k =，220k =-， 因此[]1220K =-