微积分基本定理_课件1

n
则 S＝∑ΔSi. i＝1
(2)近似代替： 记 f(x)＝x2.当 n 很大，即 Δx 很小时，在区间[i－n 1，ni ]上， 可以认为 f(x)＝x2 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认 为它近似地等于左端点i－n 1处的函数值 f(i－n 1)．就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲线梯形的曲线．这样，在区间[i－n 1， ni ]上，用小矩形的面积 ΔSi′近似地代替 Δsi，即在局部小范围 内“以直代曲”，则有
知能自主梳理
1．定积分 一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，其图像如图所示． 将区间[a，b]分成n份，分点为：a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b.
• 第使f(ξiif)个(Δξix)小在i＋区区…间间＋[[xfx(i－iξ－n1)1，Δ，xxnxi.]i]，上设的其值长最度大为，Δ设xi，S＝在f(这ξ1)个Δx小1＋区f(间ξ2)上Δx取2＋一…点＋ξi， • 在f(ξ1这)Δ个x1＋小f区(ξ2间)Δ上x2＋取…一＋点fξ(iξ，i)Δ使xi＋f(ξi…)在＋区f(间ξn)[Δxxi－n.1，xi]上的值最小，设s＝
＝n13nn－162n－1＝13(1－1n)(1－21n)．
从而得到 S 的近似值
S≈Sn＝13(1－1n)(1－21n)．
②
(4)逼近： 分别将区间[0,1]等分成 8,16,20，…等份时，可以看到随着 n 的不断增大，即 Δx 越来越小时，Sn＝13(1－1n)(1－21n)越来越趋 近于 S，而当 n 趋向于＋∞时，②式无限趋近于13，即所求面积 为13.
定积分 微积分基本定理
广东省罗定市泗纶中学 徐守键;
知能目标解读
1．通过实例，如求曲边梯形的面积、变力做功、变速直线运动的路 程和位移等，理解定积分的实际背景．
2．理解并体会“以直代曲”的数学思想，会求较简单的曲边梯形的 面积．
3.掌握定积分的概念和简单性质，理解定积分的几何意义． 4．能够利用定积分的定义对一些简单的定积分进行计算． 本节重点：定积分的概念及性质． 本Leabharlann Baidu难点：以直代曲的思想．
如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，那么S与s
的差也趋于0，此时，S与s同时趋于__某__一__个__固__定__的__常__数__A__，
我们称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
b
f(x)dx
，即A＝
b
f(x)dx
.其中积分号是∫，积分的下限是a，
a
a
积分的上限是b，f(x)叫做被积函数．
3．用定积分解决实际问题时，先将实际问题化归为数学问题， 再用“以直代曲”的思想方法解题．
4．对定积分及性质的理解：
(1)定积分bf(x)dx是一个常数． a
(2)一般情况下(如图)，定积分
b
f(x)dx的几何意义是介于x
a
轴、函数f(x)的图像以及直线x＝a、x＝b之间各部分面积的代
数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．
(3)性质3对于有限个函数(两个以上)也成立．性质4对于 把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立．
对于定积分的性质4可以用如图所示图形直观地表示出 来，即S曲边梯形AMNB＝S曲边梯形AMPC＋S曲线梯形CPNB.
利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为零、积 零为整”的过程．
思路方法技巧
定积分的定义 求抛物线y＝x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围
成的平面图形的面积S. [分析] 本题考查用定义求定积分的方法和步骤，只要按
分割，近似代替，求和，逼近的顺序操作即可．
[解析] (1)分割： 在区间[0,1]上等间隔地插入 n－1 个点，将它等分成 n 个小 区间：[0，1n]，[1n，2n]，…，[n－n 1，1]． 记第 i 个区间为[i－n 1，ni ](i＝1,2，…，n)，其长度为 Δx＝ni －i－n 1＝1n.分别过上述 n－1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形 分成 n 个小曲边梯形，它们的面积记作 ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，
(2)计算：过剩估计值S1＝[f(a＋
b－a n
)＋f(a＋
2b－a n
)＋…
＋f(a＋nbn－a)]×1n；
不足估计值S2＝[f(a)＋f(a＋
b－a n
)＋f(a＋
2b－a n
)＋…＋
f(a＋n－1nb－a)]×1n.
(3)近似代替：无论用S1还是用S2表示S，误差都不会不超
过S1－S2.
2．求定积分时，要灵活地运用定积分的性质和几何意义，这也 是数形结合思想的体现．
____运__动__物__体__从__x_＝__a_到__x＝__b_时__所__走__过__的__路__程______．
3．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)
b
1dx＝___b_－__a____；(2)
b
kf(x)dx＝_____a ___________
a
a
(k为常数)；
b
f(x)dx±bg(x)dx
(3)b[f(x)± g(x)]dx＝____a________a____________；
a
(4)b f(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
a
c
学习方法指导
1．求曲边梯形面积的步骤
设由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b(a<b)及x轴围成的
曲边梯形的面积为S.其求解步骤是：
(1)分割：将区间[a，b]n等分．
ΔSi≈ΔSi′＝f(i－n 1)Δx＝(i－n 1)2·Δx
＝(i－n 1)2·1n(i＝1,2，…，n)．
①
(3)求和：
由①，得 Sn＝∑i＝n1ΔSi′＝∑i＝n1f(i－n 1)Δx＝∑i＝n1 (i－n 1)2·1n ＝[0·1n＋(1n)2·1n＋…＋(n－n 1)2·1n]
＝n13[12＋22＋…＋(n－1)2]
2．定积分的意义
(1)当f(x)≥0时，
b
f(x)dx表示的是_y_＝__f_(_x)_的__图__像__与__直__线__
a
_x_＝__a_，__x_＝__b_和__x_轴__所__围__曲__边__梯__形__的__面__积_． (2)当f(x)表示速度关
于时间x的函数时，b f(x)dx表示的是 a
[点评] 用分割，近似代替，求和，逼近这四个步骤可以求 曲线多边形的面积，它体现了一种化整为零(分割)，积零为 整(逼近)的思想方法．