证明：阶是素数的群是循环群

1． 证明：阶是素数的群是循环群。

分析：证明一个群是循环群的思路有三种：

（1） 利用循环群的定义证明群中每一个元都能表示为群中同一个元

的方幂；

（2） 利用同构的思想，先构造一个恰当的循环群，再证明它和该群

同构；

（3） 利用本节的知识，先在群中生成一个循环子群，若能证明子群

就是该群即可；

实际上，在上面的几种思路中，（3）是最佳选择。

证明： 任取阶为素数的群G

设G 的阶为素数p

∴

p >1 ∴ e a G a ≠∈?,

令)(a H =

∴G H ?

设H 的阶为)1(>m m ∴p m

∴p m =

∴G H =

∴G 为循环群。

2． 证明，阶是m p 的群（p 是素数）一定包含一个阶是p 的子群。

分析：若能找出群的子群，则可以观察是否有p 个元素的子群。如何找呢，由于题设与第一题的题设有类似的条件，可借用第一题的思路。 证明：任取阶为m

p 的群G

p 是素数

∴m p >1

∴ e a G a ≠∈?,

令n H a H ==#),(

∴1,,>∈?+Z Z n G H 又m p n

∴m i p n i ,,2,1 ==

令)(1

1-=i p a H

则)(11-=i p a H 即为所求

3． 假定a 和b 是一个群G 的两个元，并且ba ab =。又假定a 的阶是m ，b 的阶是n ，并且1),(=n m 。证明：ab 的阶是mn 。

分析：本题的目标是证明某个正整数是某个元的阶，根据元的阶的定义，可分为两步：一、证明元的该次幂等于单位元；二、证明该次幂是使的该元等于单位元的最小正方幂。

证明： a 的阶是m ，b 的阶是n

e b e a n m ==∴,

又 ba ab =

e ee b a b a ab m n n m m n m n m n ====∴)()()(

设ab 的阶为+

∈Z k k , ∴mn k

又e b a ab k

k k ==)( ∴k k b a -=

∴m k m k b a )()(-=

即km m k k k m b b e e a --====)()( ∴km n

又1),(=n m

∴k n 同理可以证明：k m

1),(=n m

∴ k mn

∴mn k =

4． 假定~是一个群G 的元间的一个等价关系，并且对于G 中的任意三个元

',,x x a 来说有：'~'~x x ax ax ?，证明：与G 的单位元e 等价的所有元作成的集合是G 的一个子群。

分析：本题实际上是证明G 的一个子集是G 的子群，根据子群的定义及判定方法可分为两个部分：一、证明子集非空；二、利用子群的判定定理子集为子群。 证明：令{}

G x x e x H ∈=,~

~为等价关系

∴ e e ~ ∴H e ∈

∴?≠H

对任意的H b a ∈,

∴ b e a e ~,~

∴b bb ~1-

又'~'~x x ax ax ?

∴e b ~1- （1）

∴a b ~1-

∴ba b b 11~--

∴ba e ~ （2）

由（1），（2）可知：

H 为G 的子群。

5． 我们直接下右陪集Ha 的定义如下：Ha 刚好包含G 的可以写成

H h ha ∈,形式的元，由这个定义推出以下事实：G 的每一个元属于而且只属于一个右陪集。

证明：G 中元必属其中一个Ha

对G b ∈?

eb b =

H e ∈

Hb b ∈

G 中元只能属于其中一个右陪集

若G b ∈?，使得：

',Hb b hb b ∈∈且'hb Hb ≠

',hb b eb b ==∴

这与Hb 只具有hb 一种形式矛盾

6． 若我们把同构的群看作一样，一共存在两个阶是4的群。它们都是交换

群。

分析：若我们能将群的结构分析清楚，则可以看出是否为两种群。分析结构，可以从群的元着手，也可以从群的子群着手。

证明：任取阶是4的群G

则群G 中必有非单位元的元

任取一个记为G a ∈

（1） 当G a ∈的阶为4时

令)(a H =

则G=)(a 为交换群。

（2） 当G 中没有阶为4的元

则G a ∈的阶为2, G 中必有另一非单位元b

则G={}ab b a e ,,,，其运算表如下： e a b ab

e e a b ab

a a e a

b b

b b ba e a

ab ab b a e

从上面两中情况都可以看出，阶是4的群是交换群。

7． 利用上题证明：一个非交换群至少有六个元。

分析：考虑对阶是1，2，3，4，5的群的交换性进行讨论。

证明：任取一个群G

（1） 当G 的阶为1时：

G={}e ，交换群

（2） 当G 的阶为2，3，5时

根据本节题1可知，G 为循环群。交换群。

（3） 当G 的阶为4时

根据题4，群G 为交换群。

1． 假定群G 的不变子群N 的阶是2。证明：G 的中心包含N 。

分析：子群N 的阶是2，则{}e a e a a e N =≠=2,,,,要证明N 是不变子

群，只需证明对,,G c N b ∈∈?有bc cb =即可。

证明：设{}e a e a a e N =≠=2

,,, 对,G c ∈?有ec ce =

∴e 为中心中的元素

又N 为不变子群

∴

N cac ∈-1 当e cac =-1时，c ca =

即e a =，不可能

∴ a cac =-1

∴ac ca =，即a 为中心中的元素

2． 证明：两个不变子群的交集还是不变子群。

证明：任取群G 及其两个子群21,H H

令21H H H ?=

对H b a ∈?,有

1,H b a ∈，2,H b a ∈

∴

2111,H ab H ab ∈∈-- ∴ H ab ∈-1

∴H 为子群

3． 证明：指数是2的子群一定是不变子群。

证明：任取一个群G 及其指数为2的子群H

故H 有两个左陪集H 、G —H 及两个右陪集H 、G —H

对G a ∈?

当H a ∈时，Ha H aH ==

当H a ?时，Ha H G aH =-=

故H 为不变子群。

4． 假定H 是G 的子群，N 是G 的不变子群。证明：HN 是G 的子群。 证明：对HN n h n h ∈?2211,，则

N n n H h h ∈∈2121,,,

又N 是不变子群

∴

N h Nh h n n 121212121----=∈ ∴ N n ∈?3，使得31212

121n h h n n ---= ∴Hn n h h h n n h n h n h ∈==----312112*********)(

∴HN 是子群。

5． 举例证明：G 的不变子群N 的不变子群1N 未必是G 的不变子群（取4S G =）

6． 一个群G 的可以写成ab b a 1

1--形式的元叫换位子。证明：

（i ） 所有的有限个换位子的乘积作成的集合C 是G 的一个不变子群。 （ii ） C G /是交换群。

（iii ） 若N 是G 的一个不变子群，并且N G /是交换群，那么C N ?

1． 我们有一个集合A 到A 上的满射φ。证明：若S 是S 的逆象，S 一定是S 的象；但若S 是S 的象，S 不一定是S 的逆象。

2． 假定群G 与群G 同态，N 是G 的一个不变子群，N 是N 的逆象。证明：

N G N G //?

3． 假定G 和G 是两个循环群，它们的阶各是m 和n 。证明：G 与G 同态，当而且只当m n

证明：

4． 假定G 是一个循环群，N 是G 的一个子群，证明，N G /也是循环群。

证明：法一：设)(a G =

对N G bN /∈?

G b ∈∴，故Z m ∈?，使得：

m a b =

又m m aN aN aNaN N a bN )(===

故N G /为循环群。

法二：设)(a G =

根据本节定理1有N G G /~

根据第7节习题4可知N G /是循环群。