151曲边梯形的面积
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-----------曲边梯形的面积
问：形如上图的曲边梯形的概念是什么？
把由直线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 y f (x)
所围成的图形称为曲边梯形.
对它的面积又如何求呢？
1.5.1曲边梯形的面积
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三
角形）面积S是多少？
i1
练一练:
求直线 x 0, x 2, y 0 与曲线y x2
所围成的曲边梯形的面积.
小结：
一.求曲边梯形面积的步骤：
分割
近似代替
求和
二.运用的数学思想： 1.以直代曲思想 2.逼近思想
取极限
y f (x)
第i个曲 边梯形
i-1 i
nn
Si
Si' =f (i
1)x n
(i
1)2 n
1（用矩形代替曲边梯形） n
(i 1, 2,...,n)
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f( i-1) 1 n (i-1)2 1 i1 n n i1 n n
(i 1, 2,...,n)
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2）近似代替
当 x 0 时，我们可以把小曲边 f (i-1)
梯形近似看成什么图形？又如何计 n
算每个近似图形的面积 Si' ？
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面看一下第一种方案“以直代曲”的具体操作 过程：
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
入 n 1个分点．
•得n个小区间： [xi1 , xi ]
f(x2) f(x1)
(i=1, 2 , ···, n)． •区间[xi1 , xi ]的长
度xi xi xi1 ． O a x1 x1x2 x2
y = f(x) f(xi)
f(xiຫໍສະໝຸດ Baiduxi
xi-1 xi xi
xn-1 b x
n
•曲边梯形的面积近似为：A f (xi )xi ．
n
Sn
lim
n
n i 1
1 n
f
(i
1) n
lim
n
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
我们还可以从数值上可以看 出这一变化趋势（请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23
f (x1)x f(x 2 )x f(x n )x
表示了曲边梯形面积的近似值
演示
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间：
[xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)． •区间[xi1 , xi ]的长
y
f(x2) f(x1)
y = f(x) f(xi)
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下2种方案“以直代 曲” y。
方案1 方案2
O
1
x
y = f(x) y
Oa
A1 bx
用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f(x) y
f(xi)xi
度xi xi xi1 ． O a x1 x1x2 x2 •把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
xi-1 xi xi
xn-1 b x
•任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面
积． n
•曲边梯形的面积近似为：A f (xi )xi ． i1
•在 [a, b]中任意插 y
A1 Oa
A2 bx
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
bx
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1
n3
6
(1 )(1 ) 3 n 2n
（4）取极限
分别将区间[0，1]等分成8，16，32，…1024,……等份（如下图）,可以看到，
当n
,即 x
0 时，
Sn
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
S,
从而有
S
lim
…
方法总结：我们能否得到求一般性曲边梯形的面积 方法（如下图所示）？ 一般地，对如图所示的曲边梯形，我们也可采用分 割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积。
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
问：形如上图的曲边梯形的概念是什么？
把由直线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 y f (x)
所围成的图形称为曲边梯形.
对它的面积又如何求呢？
1.5.1曲边梯形的面积
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三
角形）面积S是多少？
i1
练一练:
求直线 x 0, x 2, y 0 与曲线y x2
所围成的曲边梯形的面积.
小结：
一.求曲边梯形面积的步骤：
分割
近似代替
求和
二.运用的数学思想： 1.以直代曲思想 2.逼近思想
取极限
y f (x)
第i个曲 边梯形
i-1 i
nn
Si
Si' =f (i
1)x n
(i
1)2 n
1（用矩形代替曲边梯形） n
(i 1, 2,...,n)
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f( i-1) 1 n (i-1)2 1 i1 n n i1 n n
(i 1, 2,...,n)
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2）近似代替
当 x 0 时，我们可以把小曲边 f (i-1)
梯形近似看成什么图形？又如何计 n
算每个近似图形的面积 Si' ？
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面看一下第一种方案“以直代曲”的具体操作 过程：
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
入 n 1个分点．
•得n个小区间： [xi1 , xi ]
f(x2) f(x1)
(i=1, 2 , ···, n)． •区间[xi1 , xi ]的长
度xi xi xi1 ． O a x1 x1x2 x2
y = f(x) f(xi)
f(xiຫໍສະໝຸດ Baiduxi
xi-1 xi xi
xn-1 b x
n
•曲边梯形的面积近似为：A f (xi )xi ．
n
Sn
lim
n
n i 1
1 n
f
(i
1) n
lim
n
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
我们还可以从数值上可以看 出这一变化趋势（请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23
f (x1)x f(x 2 )x f(x n )x
表示了曲边梯形面积的近似值
演示
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间：
[xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)． •区间[xi1 , xi ]的长
y
f(x2) f(x1)
y = f(x) f(xi)
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下2种方案“以直代 曲” y。
方案1 方案2
O
1
x
y = f(x) y
Oa
A1 bx
用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f(x) y
f(xi)xi
度xi xi xi1 ． O a x1 x1x2 x2 •把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
xi-1 xi xi
xn-1 b x
•任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面
积． n
•曲边梯形的面积近似为：A f (xi )xi ． i1
•在 [a, b]中任意插 y
A1 Oa
A2 bx
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
bx
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1
n3
6
(1 )(1 ) 3 n 2n
（4）取极限
分别将区间[0，1]等分成8，16，32，…1024,……等份（如下图）,可以看到，
当n
,即 x
0 时，
Sn
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
S,
从而有
S
lim
…
方法总结：我们能否得到求一般性曲边梯形的面积 方法（如下图所示）？ 一般地，对如图所示的曲边梯形，我们也可采用分 割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积。
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积