2019年高考理科数学全国新课标2

2019年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）一、选择题：1.设集合{}2560A x x x =-+>，{}10B x x =-<，则A B =（ ）A ．(),1-∞B ．()2,1-C ．()3,1--D ．()3,+∞2.设i z 23+-=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知(2,3)AB =，(3,)AC t = ，||1BC = ，则AB BC ⋅=（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．34.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行，2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球的质量为1M ，月球质量为2M ，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程()()121223M M M R r r RR r +=++．设r R α=．由于α的值很小，因此在近似计算中()345323+331ααααα+≈+，则r 的近似值为（ ）ABCD5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差 6.若a b >，则（ ）A ．()ln 0a b ->B ．33ab< C ．330a b -> D ．a b >7.设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面8.若抛物线22y px =（0p >）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则=p （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 9.下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（ ） A ．()cos2f x x = B ．()sin 2f x x = C ．()cos f x x = D ．()sin f x x = 10.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A ．15B C D11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P 、Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意(],x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ） A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ．14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()axf x e =-．若()ln 28f =，则a =_______．15.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若6b =，2a c =，3B π=，则ABC ∆的面积为_______．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．（本题第一空2分，第二空3分．）三、解答题：17.如图，长方体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1EC BE ⊥． （1）证明：⊥BE 平面11C EB ；（2）若E A AE 1=，求二面角1C EC B --的正弦值．18.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束． （1）求()2P X =；（2）求事件“4X =且甲获胜”的概率．19.已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b ． （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式．20.已知函数()1ln 1x f x x x +=--． （1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点()00,ln A x x 处的切线也是曲线x y e =的切线．21.已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P 、Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． （i ）证明：PQG ∆是直角三角形； （ii ）求PQG ∆的面积的最大值．22.在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ0(0)ρ>在曲线:=4sin C ρθ上，直线l 过点()4,0A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．23.已知()2()f x x a x x x a =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．参考答案ACCD ；ACBD ；ABAB ；13．0.98 14．3- 15． 16．261 17.（1）证明：∵⊥11C B 平面1ABB ，⊂BE 平面1ABB ， ∴BE C B ⊥11，又1EC BE ⊥，1111C C B EC = ， ∴⊥BE 平面11C EB .（2）设底面边长为1，高为x 2，∴122+=x BE ，1221+=x E B ，∵⊥BE 平面11C EB ，∴︒=∠901BEB 即21212BB E B BE =+，∴22422x x =+解得1=x .∵⊥BC 平面11ABB A ，∴E B BC 1⊥，又BE E B ⊥1，∴⊥E B 1平面BCE ，故E B 1为平面BCE 的一个法向量.∵平面CE C 1与平面11ACC A 为同一平面，故11D B 为平面CE C 1的一个法向量， 在E D B 11∆中，∵21111===E B E D D B 故E B 1与11D B 成︒60角，∴二面角1C EC B --的正弦值为2360sin =︒. 18.（1）2X =时，有两种可能：①甲连赢两局结束比赛，此时10.50.40.2P =⨯=； ②乙连赢两局结束比赛，此时20.50.60.3P =⨯=， ∴12(2)0.5P X P P ==+=；（2）4X =且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜， 此时0.50.60.50.40.06P =⨯⨯⨯=.19.（1）将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411，整理可得)(2111n n n n b a b a +=+++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为21的等比数列.将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ，整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列.（2）由{}n n b a +是首项为1，公比为21的等比数列可得1)21(-=+n n n b a ①； 由{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列可得12-=-n b a n n ②； ①②相加化简得21)21(-+=n a n n ，①②相减化简得21)21(+-=n b n n 。

20.（1）函数的定义域为(0,1)(1,)+∞，又2211(1)12()0(1)(1)x x f x x x x x --+'=-=+>--，所以函数在(0,1),(1,)+∞上单调递增，又221232()0,()011e f e f e e e ---=<=>--，所以在区间(0,1)存在一个零点，且2223(2)ln 230,()01e f f e e -=-<=>-，所以在区间(1,)+∞上也存在一个零点，所以函数有且只有2个零点； （2）因为0x 是函数的一个零点，所以有000012ln 111x x x x +==+--。

曲线ln y x =在00(,ln )A x x 处的切线方程为0000112ln 11y x x x x x x =+-=+-，曲线曲线xy e =当切线斜率为01x 时，切点坐标为001(ln ,)x x -，切线方程为00011(ln )y x x x x -=+，化简为00000000211ln 1111121x x y x x x x x x x x x +++-=+=+=+-，所以曲线ln y x =在00(,ln )A x x 处的切线也是曲线x y e =的切线。