二项式定理(人教B版)

解析 (1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝225－n－11 ＝25n－1＝32n－ 1＝ (31＋1)n－1 ＝ C0n×31n＋ C1n×31n－2＋…＋Cnn－ 1×31＋ Cnn－1 ＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1)， 显然上式括号内为整数．
∴原式能被 31 整除． (2)S＝ C127＋ C227＋…＋C2277＝ 227－ 1 ＝89－ 1＝(9－1)9－ 1 ＝ C09×99－ C19× 98＋…＋ C89×9－C99－1 ＝9(C09×98－ C19×97＋…＋ C89)－ 2 ＝9(C09×98－ C19× 97＋…＋ C89－1)＋ 7. 显然上式括号内的数是正整数．
(4)二项式(a＋b)n 的展开式有 n＋1 项，是和的形式，各项的幂 指数规律是：①各项的次数和都等于二项式的幂指数 n；②字母 a 按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0，字母 b 按升 幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n.
(5)二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一 是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值(既 然任意的实数 a，b 都成立，那么特殊的实数 a，b 也一定成立)，根 据需要对 a，b 赋值．可以利用二项式定理解决一些特殊问题，如求 所有项的系数和等．
数相等，即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，C2n＝Cnn－2，…，Crn＝Cnn－r. ②如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． ③二项式系数的和等于 2n，即 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. ④二项式展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和，即 C1n＋C3n＋C5n…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.
解析 (1)令 x＝1，得 a0＋a1…＋a7 ＝ (3×1－ 1)7＝ 27＝ 128.
(2)易知 a1，a3，a5，a7 为负值， |a0|＋ |a1|＋ |a2|＋ …＋ |a7| ＝a0－a1＋a2－…－a7 ＝－(－a0＋a1－a2＋…＋a7) －[3×(－1)－1]7＝47. (3)令 f(x)＝(3x－1)7，则
(－
2)4C
4 6
x2
＋……]．
∴含 x5 的项为－2×8×C16·x5－(－2)4C46x5＝－336x5，
∴x5 的系数为－336.
题型三 二项式中的最值问题 例 3 求(2＋x)10 的展开式中系数最大的项．
解析 设第 r＋1 项的系数最大，则有
CCr11r 00··221100－－
解析 (1)由(2－ 3x)100 展开式中的常数项为
C0100·2100，即 a0＝2100， 或令 x＝0，则展开式可化为 a0＝2100.
(2)令 x＝1，可得
a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100， ① ∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100－2100.
(3)令 x＝－1，可得
3．二项式定理的主要应用 (1)赋值求值； (2)证明某些整除问题或求余数； (3)证明有关等式与不等式； (4)进行近似计算.
典例对对碰
题型一 求二项式系数和展开式中项的系数
例 1 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第四项的二项式系数； (2)求展开式第四项的系数； (3)求第四项．
题型二 多项式转化为二项式 例 2 若(x＋1x－2)n 的展开式中常数项为－20，则自然数 n＝ ________.
解析 当 x＞0 或 x＜0 时，原式可化成二项式．
当 x＞0 时，(x＋1x－2)n＝(
x－
1 )2n x
的常数项为(－1)nCn2n；
当 x＜0 时，(x＋1x－2)n＝(－1)n( －x＋ －1 x)2n 的常数项为(－
故 S 被 9 除的余数为 7.
点评 有关整除性问题是二项式定理的应用之一，其关键在于 如何把问题转化为一个二项式，注意结合二项式的展开式和整除的 有关性质解决问题.
变式迁移 5 求 1090 除以 7 的余数．
解析 解法一：1090＝10045＝(98＋2)45 它的展开式中除末项外，均能被 7 整除，其末项为： 245＝815＝ (7＋ 1)15 其展开式除末项外，均能被 7 整除，末项为 1，所以 1090 除 以 7 余 1. 解法二：1090＝100030＝(143×7－ 1)30. 它的展开式中除末项外，均能被 7 整除，其末项为 1，故余 数为 1.
r≥Cr1－0 1·211－r， r≥Cr1＋0 1·29－r.
即rr！！11110000！！－－
r！·210－ r！·210－
r≥ r≥

10！ r－1！·11－
r！·211－
r＋1！10·！9－r！·29－r.
r，
即11r≥02－11r≥2－rr＋，1 1.
1)nCn2n. 由条件知，(－1)nCn2n＝－20，解得 n＝3. 答案 3
变式迁移 2 求(4＋2x＋x2)(2－x)7 的展开式中 x5 的系数．
解析 (4＋2x＋x2)(2－x)7
＝(8－x3)(x－2)6
＝
(8－
x3)[(x6)－
2C16
x5
＋
(－
2)2C26
x4
＋
(－
2)3C36x3＋
∴28.88≤r≤29.88，∴r＝29.
∴展开式中数值最大项是 T30＝C2590( 2)29.
题型四 赋值法
例 4 设(2－ 3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100 求下列各式的 值：
(1)a0； (2)a1＋a2＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2. 分析 (1)可由通项公式来求． (2)可由展开式，令 x 取特殊值 1 便可得 a0＋a1＋…＋a100 的值， 再由 a0 已求，便可求出 a1＋a2＋a3＋…＋a100； (3)可分别令 x＝1 和－1，列出两个等式来求． (4)由(3)便可求出．
解析 (3 x－32x)10 的展开式的通项是 Tr＋ 1＝Cr10(3 x)10－r(－ 32x)r(r＝ 0,1，…，10)．
(1)展开式的第 4 项的二项式系数为(r＝3) C310＝120. (2)展开式的第 4 项的系数为
C31037(－23)3＝－77760. (3)展开式的第 4 项为－77760( x)7·x13，即－77760 x. 点评 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异．二 项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及 项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均 有关.
开式中，第 r＋1 项的二项式系数是 Crn，而第 r＋1 项的系数为 Crnan －rbr.
(3)通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数， 求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意以下几点：
①Cknan－kbk 是第 k＋1 项，而不是第 k 项； ②运用通项公式 Tk＋1＝Cknan－kbk 解题，一般都需先转化为方程 (组)求出 n、k，然后代入通项公式求解． ③求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 k，再 求所需的某项；有时需先求 n，计算时要注意 n 和 k 的取值范围及 它们之间的大小关系．
＝ (a0＋a1＋ a2＋ …＋a100)(a0－ a1＋a2－a3＋ …＋ a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1. 点评 “赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意
取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组
值．解决问题时要避免漏项等情况.
变式迁移 4 已知(3x－1)7＝a0x7＋a1x6＋…＋a6x＋a7. (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a7 的值； (2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值； (3)求 a1＋a3＋a5＋a7 的值．
解析 设第 r＋1 项是(1＋ 2)50 展开式中数值最大的项，则有
Tr＋ Tr
1≥1，TTrr＋ ＋
Байду номын сангаас
2≤
1
1，
即CCr5－0r510 22rr－1≥1，CCr5＋0r510 22rr＋1≤1
∴55r00＋－－1rrr·＋21≤· 12，≥1，
解之得r≤102－51 2， r≥101－51 2.
变式迁移 1 (1＋x3)(x＋x12)6 展开式中的常数项为________．
答案 35 解析 (x＋ x12)6＝ C06x6＋ C16x5(x12)＋ C26x4(x12)2＋ C36x3(x12)3＋ C46 x2(x12)4＋C56x(x12)5＋C66(x12)6，∴(1＋x3)(x＋x12)6 中的常数项为 C26＋ x3×20×x13＝35.
题型六 证明不等式 例 6 求证：2≤(1＋1n)n＜3(n∈N*)．
证明 当 n＝1 时，(1＋n1)n＝2. 当 n≥2 时，
(1＋1n)n＝
1＋C1n·n1＋ C2n(n1 )2＋ …＋ Cnn(n1 )n＝
1＋1＋
C2n·n12
＋…＋Cnn
1 ·nn
＞2.
又 Ckn·n1k＝nn－1k…！nnk－k＋1≤k1！，
所以(1＋1n)n≤2＋21！＋31！＋…＋n1！＜2＋11·2＋21·3＋…＋n－11n
＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(n－1 1－n1)＝3－1n＜3，
综上有 2≤(1＋n1)n＜3. 点评 此不等式的证明中，利用二项式定理，将二项式展开，再
f(1)＝ a0＋ a1＋ a2＋ a3＋…＋ a7， f(－ 1)＝ －a0＋ a1－ a2＋ …＋ a7. ∴2(a1＋a3＋a5＋a7) ＝ f(1)＋ f(－ 1)＝ 27－47.
∴a1＋a3＋ a5＋ a7＝26－213＝－8128.
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题型五 整除与余数问题 例 5(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1 能被 31 整除(n∈N*)； (2)求 S＝C127＋C227＋…＋C2277除以 9 的余数． 分析 将已知的式子适当整理化简，再根据题目的要求选择合 适的解法．
∴rr≤≥83131. ，
∴r＝3 时，T4＝C310·27·x3 为所求的系数最大的项．
点评 求系数最大的项应注意与不等式相联系，同时还应重视 整数解的寻找．
解题时要审清题意，搞清所求最大项是指数值最大项，还是系 数最大项，还是二项式系数最大的项 .
变式迁移 3 求(1＋ 2)50 的展开式中数值最大的项．
考点串串讲
1．二项式定理
对 n∈N*， (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋……＋Crnan－rbr＋……＋Cnn－1abn－1＋ Cnnbn. (1)展开式的第 r＋1 项(通项)Tr＋1＝Crnan－rbr. 其中 Crn(r＝0,1,2，……n)叫做二项式系数． (2)二项式系数与项的系数是不同的，如(a＋bx)n(a、b∈R)的展
2．二项式中的最值问题 求(a＋bx)n 展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展 开式各项系数分别为 A1，A2，…，An＋1 设第 r＋1 项系数最大，则
AArr＋ ＋11≥ ≥AArr， ＋2. 求二项式中最大最小项问题，通常是应用二项展开式的通项公
式，将设出的最大(小)项和前项、后项作商比较，从而确定出 r，使 问题得以解决．
a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ 3)100， ②
与 x＝1 所得到的①联立相减可得，
a1＋a3＋…＋a99
＝2－
3100－2＋ 2
3100 .
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋ a2＋… ＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
(6)(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时 是不相同的，(a＋b)n 的展开式的第 r＋1 项 Crnan－rbr 和(b＋a)n 的展开 式的第 r＋1 项 Crnbn－rar 是有区别的．应用二项式定理时，其中的 a 和 b 是不能随便交换的．
(7)二项式定理中，二项式系数的性质有 ①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系