倒格子与布里渊区

在该晶面上作二非平行矢量（如图）
u＝xa1－ya2
v＝ya2－za3
则 u· Gh＝(xa1－ya2) · (h1b1＋h2b2＋h3b3) 由倒基矢定义 ＝2π（h1x－h2y） 由（A）式 ＝2π(m－m)＝0 即 U⊥Gh 同理可证υ⊥Gh Gh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均 垂直,所以

2 2 类似可得 b2＝ （a3×a1） b3＝ (a1×a2)
2 2
有了倒格子基矢，可构成倒格矢。 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 倒格子周期性 其中h1 h2 h3为任意整数，由倒格矢Gh确定的空间 叫倒格子空间。 由上定义可知，Gh与波矢K有相同的量钢。 属同一“空间” Gh是K空间的特定矢量。 倒格子初基元胞“体积”Ω※＝b1· (b2×b3) 注意： 正倒格矢量纲不同，属不同的空间，可有方向上 的关系，不能直接比较大小。
说明
• 并不是原点仅到最近邻的倒格点的倒格 矢的中垂面所围成的区域叫第一B.Z; • 第一B.Z又可表述为从原点出发，不与任 何中垂面相交，所能达到的倒空间区域。 第 nB.Z 则是从原点出发跨过（ n － 1 ）个 倒格矢中垂面所达到的区域； • 各级B. Z体积相等。
•布里渊区界面方程
Gh
K
a1 h1b1 h2b2 h3b3 = h Gh 1
d h1h2h3 =
=
Gh a1 h Gh 1
2 Gh
（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的 标积是2π的整数倍 Gh · Rn＝2πm
问题： 若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上 式成立。反之，若上式成立，若已知 一个为正格矢，则另一个必为倒格矢 吗？ ( )
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证：
Gn x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
晶面族(h1h2h3) 中离原点距离为mdh的晶面方程 为： Gh x m dh Gh 其中x为晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。
由性质（4）
x Gh Gh
dh
2 Gh
所以， x G 2m
Gh x d h m dh 2
§1.6 倒格子与布里渊区
一. 倒格子
（先在基矢坐标系中讨论) 1. 定义： 正格子基矢 a1 a2 a3 倒格子基矢 b1 b2 b3 2π i=j ai· bj= 0 i≠j 即i≠j ai ⊥ bj
例如:b1 在a2×a3所确定的方向上（或反方向上） b1＝c(a2×a3) c为待定系数 则， a 1· b1＝ca1· (a2×a3)＝cΩ (A) 其中Ω为正格子初基元胞体积，同时，由定义 a1· b1＝2π （B） 2 比较（A）,（B）式得 c 2 b1＝ （a2×a3）
思考题： 对二维格子，已知正格基矢a1、 a2,如何确定b1、b2的方向？
强调： 这里定义的倒格矢，所对应的正 格矢是在基矢坐标系中的。
2．倒格子的重要性质（正倒格 子间的关系）
(1).若h1、h2、h3为互质整数，则 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3为该方向的最短倒格矢。 (2).正、倒格子互为倒格子。 (3). Gh ＝ h1b1 ＋ h2b2 ＋ h3b3 垂直于晶面族 （h1、h2、h3）（两个h1、h2、h3分别相等）。 证：晶面族（h1、h2、h3）中的一个晶面在a1、 a2 、 a3 上 的 截 距 为 x,y,z, 由 面 指 数 的 定 义 : （h1、h2、h3）＝m(1/x、1/y、1/z) 即 h1x＝h2y＝h3z＝m （m为公因子） （A）
故上反定理不成立。
（6）正、倒格子初基元胞体积间满足 Ω·Ω※＝（2π）3
(7)晶体的傅立叶变换
设函数V(x)具有正晶格周期性，它可以作 付里叶级数展开：
V ( x)＝ V (n)e
n i 2 nx a
n是整数
＝ V (Gn )e
n

iGn x
V(Gn)是V(x)在倒空间的“映像和表 述”，它们之间满足傅立叶变换的关 系。 ∴所以可以说，一个具有正格子周期性的
由晶面方程：
Gh x Gh m dh
当x换为倒格矢中垂面上的任意波矢K时，得 到布里渊区界面方程
Gh K Gh Gh 2
Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。
(4) 某方向最短倒格矢 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 之模 和晶面族（h1、h2、h3）的 面间距dh成反比。
2 dh Gh
设:ABC为晶面族(h1h2h3) (h1,h2,h3为互质整数) 中离原点最近的晶面。ABC面与a1,a2,a3轴的截 距矢量分别为a1/h1, a2/h2, a3/h3, 请同学自证: h1= h1 , h2= h2 , h3= h3 该晶面族的法向矢为倒格矢G (h’1h’2h’3) ,其中最 短倒格矢Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 (h1,h2,h3为互质整数)。晶面间距即为a1/h1, a2/h2, a3/h3, 在法向的投影
1 iGn x V (Gn )＝ V ( x)e dx a0
a
物理量，在正格子中的表述与在倒格 子中的表述之间满足傅立叶变换的关 系。
二．布里渊区（B.Z） GT010
定义： 任选一倒格点为原点，从原点向
它的第一、第二、第三……近邻倒格点画 出倒格矢，并作这些倒格矢的中垂面，这 些中垂面绕原点所围成的多面体称第一 B.Z，它即为倒空间的W－S元胞，其“体 积”为 Ω※＝b1· (b2×b3)