2020年高考物理一轮复习第15章第65讲机械波学案解析版(选修3_4)

第65讲 机械波
考点一 机械波的形成与传播
1．形成条件
(1)有发生机械振动的□01波源。

(2)有传播□02介质，如空气、水等。

2．传播特点
(1)传播振动形式、传播□03能量、传播信息。

(2)质点不随波□04迁移。

3．机械波的分类
(1)横波：质点的振动方向与波的传播方向相互□05垂直，有波峰和波谷。

(2)纵波：质点的振动方向与波的传播方向□06在同一直线上，有疏部和密部。

4．机械波的描述
(1)波长(λ)：在波动中，振动相位总是□07相同的两个□08相邻质点间的距离。

①在横波中，两个相邻波峰(或波谷)间的距离等于□09波长。

②在纵波中，两个相邻密部(或疏部)间的距离等于□10波长。

(2)频率(f )：波的频率等于□11波源振动的频率。

(3)波速(v )：波在介质中的传播速度，由□12介质本身的性质决定。

(4)波长、频率(或周期)和波速的关系：v ＝λ
T ＝□13λf 。

5．波的图象
(1)坐标轴：横坐标表示沿波传播方向上各个质点的□14平衡位置，纵坐标表示该时刻各个质点离开平衡位置的□
15位移。

如图所示。

(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开□
16平衡位置的位移。

6．特别提醒
(1)介质中每个质点做的都是受迫振动，所以任一质点的振动频率和周期都和波源相同，因此可以断定：波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变。

(2)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。

(3)波源经过一个周期T 完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v ＝λT
＝λf 。

(4)质点振动nT (波传播nλ)时，波形不变。

(5)相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的两质点，振动状态总相反。

7．波的传播方向与质点振动方向的互判方法
1．(2015·四川高考)平静湖面传播着一列水面波(横波)，在波的传播方向上有相距3 m 的甲、乙两小木块随波上下运动。

测得两小木块每分钟都上下30次。

甲在波谷时，乙在波峰，且两木块之间有一个波峰，这列水面波( )
A ．频率是30 Hz
B ．波长是3 m
C ．波速是1 m/s
D ．周期是0.1 s
答案 C
解析 由题意画出波形图如图所示，可知甲、乙两小木块间的距离x ＝3 m ＝32
λ，故波长λ＝2 m ，B 错误。

又知两小木块都是每分钟振动30次，故周期T ＝2 s ，频率f ＝0.5 Hz ，则波速v ＝λT
＝1 m/s ，故A 、D 错误，C 正确。

2.[教材母题] (人教版选修3－4 P 28·T 1)简谐横波某时刻的波形如图所示，P 为介质中的一个质点，波沿x 轴的正方向传播。

以下说法正确的是( )
A．质点P此时刻的速度沿x轴的正方向
B．质点P此时刻的加速度沿y轴的正方向
C．再过半个周期时，质点P的位移为负值
D．经过一个周期，质点P通过的路程为4a
[变式子题] (多选)简谐横波某时刻的波形如图所示。

a为介质中的一个质点，由图象可知( )
A．质点a的加速度方向一定沿y轴负方向
B．质点a的速度方向一定沿y轴负方向
C．经过半个周期，质点a的位移一定为负值
D．经过半个周期，质点a通过的路程一定为2A
E．经过半个周期，质点a的速度方向一定沿y轴正方向
答案ACD
解析质点a做简谐运动，其回复力指向平衡位置，故其加速度一定沿y轴负方向，A 正确。

速度方向与波的传播方向有关，若波向右传播，则质点a向y轴正方向运动；若波向
左传播，则质点a向y轴负方向运动，B错误。

经过半个周期，质点a到达x轴下方的对称点，且通过的路程一定是2A，故C、D正确。

经过半个周期后，质点a到达x轴下方的对称点，速度方向与波的传播方向有关，可能沿y轴正方向，也可能沿y轴负方向，E错误。

3．如图所示，1、2、3、4…是某绳(可认为是均匀介质)上一系列等间距的质点。

开始时绳处于水平方向，质点1在外力作用下沿竖直方向做简谐运动，带动2、3、4…各个质点依次上下振动，把振动从绳的左端传到右端。

已知t＝0时，质点1开始向下运动，经过二分之一周期，质点9开始运动。

则在二分之一周期时，下列说法正确的是( )
A．质点3向上运动B．质点5所受回复力为零
C．质点6的加速度向下D．质点9的振幅为零
答案 A
解析经过二分之一周期，质点9开始运动，波形图如图所示。

此时质点9开始向下振动，其位移为零，但振幅不为零，D错误；质点3向上运动，A正确；质点5到达最低点回复力向上最大，B错误；质点6在平衡位置以下向下振动，加速度向上，C错误。

考点二波动图象和振动图象的综合问题
(2018·河南省高三第二次仿真模拟考试)(多选)如图甲所示为一列沿x轴传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图。

图乙表示该波传播的介质中x＝2 m处的a质点从t＝0时刻起的振动图象。

则下列说法正确的是( )
A ．波传播的速度为20 m/s
B ．波沿x 轴负方向传播
C ．t ＝0.25 s 时，质点a 的位移沿y 轴负方向
D ．t ＝0.25 s 时，x ＝4 m 处的质点b 的加速度沿y 轴负方向
E ．从t ＝0开始，经0.3 s ，质点b 通过的路程是6 m
解析 由乙图知，质点的振动周期为T ＝0.2 s ，由甲图知，波长λ＝4 m ，则波速为v ＝λT ＝40.2
m/s ＝20 m/s ，A 正确；由乙图知，t ＝0时刻，质点a 向下运动，根据甲图可知，该波沿x 轴正方向传播，B 错误；由乙图知，质点的振动周期为T ＝0.2 s ，所以质点a 在t ＝0.25 s 的时刻的振动情况与t ＝0.05 s 时刻的振动情况相同，即处于负的最大位移处，所以a 的位移沿y 轴负方向，C 正确；由图甲可知，a 质点和b 质点的平衡位置相距半个波长，振动情况总是相反，所以在振动过程中任意时刻的位移都相反，所以t ＝0.25 s 时质点b 处于正的最大位移处，加速度沿y 轴负方向，D 正确；因为0.3 s ＝1.5T ，则质点b 通过的路程s ＝1.5×4A ＝1.5×4×0.2 m＝1.2 m ，E 错误。

答案 ACD
方法感悟
求解波动图象与振动图象综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法
(2018·哈尔滨三中二模)(多选)如图甲为一列简谐波在t＝2 s时的波形图。

图乙为介质中平衡位置在x＝1.5 m处的质点的振动图象，P是平衡位置为x＝2 m的质点，下列说法正确的是( )
A ．波的传播方向向右
B ．波速为0.5 m/s
C ．0～2 s 时间内，P 运动的路程为8 cm
D ．当t ＝7 s 时，P 恰好回到平衡位置
E ．0～2 s 时间内，P 向y 轴正方向运动
答案 BCD
解析 从振动图象中可知在t ＝2 s 时x ＝1.5 m 处的质点沿y 轴负方向运动，根据上下坡法可知波向左传播，A 错误；由图甲可知该简谐横波波长为2 m ，由图乙知周期为4 s ，
则波速为v ＝λT ＝24
m/s ＝0.5 m/s ，B 正确；由图甲可知t ＝2 s 时，质点P 已经在波谷，2 s ＝12
T ，所以0～2 s 时间内即半个周期内，P 沿y 轴从正的最大位移处运动到了负的最大位移处，所以路程为2个振幅，即8 cm ，C 正确，E 错误；当t ＝7 s 时，Δt ＝5 s ＝114
T ，P 恰好回到平衡位置，D 正确。

考点三 波的多解问题
1．造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。

②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。

(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。

②振动方向双向性：质点振动方向不确定。

如：a.质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。

b．质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。

c．只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。

d．只给出两时刻的波形，则有两时刻间相同波形重复出现的可能。

(3)波形的隐含性
在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。

这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。

2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…)。

一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14 m，b点在a点的右方，如图所示，当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正向最大时，b点的位移恰好为零，且向下运动，经过1 s后，a点的位移为零，且向下运动，求这简谐横波的波速。

解析 由题知，当a 点的位移达到正向最大时，b 点的位移恰好为零，且向下运动，分析可得ab 之间的水平距离至少为3
4
λ，画出波形图如图所示。

考虑周期性可以得到x ab ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋34λ，n ＝0,1,2… 根据题意，经过1 s 后，a 点的位移为零，且向下运动，则有t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫k ＋14T ，k ＝0,1,2…
则得到波长λ＝4x ab 4n ＋3，周期T ＝4t
4k ＋1
，故波速
v ＝λT ＝144k ＋1
4n ＋3
m/s(k ＝0,1,2…；n ＝0,1,2…)。

答案
144k ＋1
4n ＋3
m/s(k ＝0,1,2…；n ＝0,1,2…)
方法感悟
波的多解问题的一般解题步骤
(1)根据题目和图象确定传播距离或两点间水平距离与波长的关系通式，或确定振动时间与周期的关系通式。

(2)根据题设条件判断是唯一解还是多解。

(3)根据波速公式v ＝Δx Δt 或v ＝λ
T ＝λf 求波速或其他未知量。

(2018·武汉华中师大附中模拟)一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有P 、Q 两个质点，它们相距为0.8 m ，当t ＝0时，P 、Q 两点的位移恰好是正最大值，且P 、Q 间只有一个波谷，t ＝0.6 s 末时，P 、Q 两点正好都处在平衡位置，且P 、Q 两点间只有一个波峰和一个波谷，且波峰距Q 点的距离为λ
4
，试求：
(1)若波由P 传至Q ，波的周期； (2)若波由Q 传至P ，波的速度；
(3)若波由Q 传至P ，从t ＝0时开始观察，哪些时刻P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个质点的位移大小等于振幅？
答案 (1)2.4
4n ＋3 s(n ＝0,1,2，…)
(2)1
3
(4n ＋1) m/s(n ＝0,1,2，…) (3)1.2m 4n ＋1
s(m ＝1,2,3，…；n ＝0,1,2，…) 解析 (1)若波由P 传到Q ，由题结合波形得到，t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋34T 1，得T 1
＝4t 4n ＋3＝2.44n ＋3 s(n
＝0,1,2，…)。

(2)若波由Q 传到P ，由题结合波形得到，
t ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
n ＋14
T 2，得T 2＝
2.4
4n ＋1
s 。

又由题意可得波长λ＝0.8 m ，
则波速v ＝λT 2＝1
3
(4n ＋1) m/s(n ＝0,1,2，…)。

(3)从t ＝0开始，波形每隔半个周期时，P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个波峰或波谷，即
只有一个质点的位移大小等于振幅，则t ＝m ·T 22＝1.2m
4n ＋1
s(m ＝1,2,3，…；n ＝0,1,2，…)。

考点四 波的干涉、衍射、多普勒效应
1．波的干涉和衍射现象
2．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法 (1)公式法
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr 。

①当两波源振动步调一致时：若Δr ＝nλ(n ＝0,1,2，…)，则振动□05加强；若Δr ＝(2n ＋1)λ
2
(n ＝0,1,2，…)，则振动□
06减弱。

②当两波源振动步调相反时：若Δr ＝(2n ＋1)λ
2(n ＝0,1,2，…)，则振动□
07加强；若Δr ＝nλ(n ＝0,1,2，…)，则振动□
08减弱。

(2)图象法
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是□09加强点，而波峰与波谷的交点一定是□10减弱点；各加强点或减弱点各自连接而成以两波源为中心向外
辐射的连线，称为□
11加强线和□12减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。

3．多普勒效应
(1)现象：观察者感到□
13频率发生变化。

(2)条件：声源和观察者之间有□
14相对运动。

(3)实质：声源频率不变，观察者接收到的□15频率变化。

(4)成因分析
①接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的□16个数，当波以速度v 通过观察者时，时间t 内通过的完全波的个数为N ＝vt
λ。

②当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变□17大；当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变□
18小。

1．关于波的叠加和干涉，下列说法中正确的是( )
A ．两列频率不相同的波相遇时，因为没有稳定的干涉图样，所以波没有叠加
B ．两列频率相同的波相遇时，振动加强的点只是波峰与波峰相遇的点
C ．两列频率相同的波相遇时，介质中振动加强的质点在某时刻的位移可能是零
D ．两列频率相同的波相遇时，振动加强的质点的位移总是比振动减弱的质点的位移大 答案 C
解析 两列波相遇，都会发生叠加现象，每一质点的位移等于两列波分别引起的位移的矢量和，频率不相同只是不能形成稳定的干涉图样，A 错误；振动加强的区域内各质点的振幅最大，但依然在平衡位置附近往复运动，可在波峰，也可在波谷，也可能在平衡位置，B 错误，C 正确；在叠加区域，振动加强的质点的位移不一定比振动减弱的质点的位移大，D 错误。

2．(多选)如图所示，S 是振源，M 、N 是挡板，其中N 固定，M 可以上下移动，为了使原来不振动的A 点振动起来，可采用的办法是( )
A．增大S的振动频率
B．减小S的振动频率
C．M下移
D．M上移
答案BC
解析要使A振动起来，则S振动产生的波必须经窄缝发生明显衍射，原来A未振动，说明窄缝的宽度太大，所以应使窄缝的宽度减小，C正确，D错误；当然A未振动的另一个原因是波长太小，在传播速度一定的前提下，要增大波长则必须减小S的振动频率，B正确，A错误。

3．(2018·衡水模拟)(多选)如图甲所示，在水平面内，有三个质点a、b、c分别位于直角三角形的三个顶点上，已知ab＝6 m，ac＝8 m。

在t1＝0时刻a、b同时开始振动，振动图象均如图乙所示，所形成的机械波在水平面内传播，在t2＝4 s时c点开始振动，则( )
A．该机械波的传播速度大小为2 m/s
B ．该列波的波长是2 m
C ．两列波相遇后，c 点振动加强
D ．两列波相遇后，c 点振动减弱
E ．两列波相遇后，c 点振动先加强后减弱 答案 ABC
解析 a 点振动产生的机械波最先到达c 点，则根据关系式v ＝s t 可知，波速v ＝
ac t
＝2 m/s ，A 正确；由于v ＝λT
，则λ＝vT ＝2 m/s×1 s＝2 m ，B 正确；a 波比b 波早到达c 点的时间t ＝bc v －ac v ＝
10 m －8 m
v
＝1 s ＝T ，即两列波到达c 点时，使c 点振动加强，产生共
振，由于两列机械波频率相同，相干涉，故c 点总是振动加强点，C 正确，D 、E 错误。

4．[教材母题] (人教版选修3－4 P 39·T 2)火车上有一个声源发出频率一定的乐音。

当火车静止、观察者也静止时，观察者听到并记住了这个乐音的音调。

以下情况中，观察者听到这个乐音的音调比原来降低的是( )
A ．观察者静止，火车向他驶来
B ．观察者静止，火车离他驶去
C ．火车静止，观察者乘汽车向着火车运动
D ．火车静止，观察者乘汽车远离火车运动
[变式子题] (多选)当人听到的声音频率越来越低时，可能是因为( ) A ．声源和人都是静止的，但声源振动的频率越来越低
B ．人静止，声源远离人做匀速直线运动，且声源振动的频率不变
C ．人静止，声源远离人做匀加速直线运动，且声源振动的频率不变
D ．声源静止，人远离声源做匀加速直线运动，且声源振动的频率不变 答案 ACD
解析 B 项中人听到的频率低于声源频率且不变，故B 错误；发生多普勒效应，即两者加速远离时听到的频率越来越低，当两者都静止时，不发生多普勒效应，但声源频率越来越低时，听到的频率也越来越低，故选A 、C 、D 。

课后作业 [巩固强化练]
1．(多选)如图a 所示为一列简谐横波在t ＝0.10 s 时刻的波形图，P 是平衡位置在x ＝1.0 m 处的质点，Q 是平衡位置在x ＝4.0 m 处的质点；图b 为质点Q 的振动图象。

下列说法正确的是( )
A ．在t ＝0.10 s 时，质点Q 向y 轴正方向运动
B ．在t ＝0.25 s 时，质点P 的加速度方向与y 轴正方向相同
C ．从t ＝0.10 s 到t ＝0.25 s ，该波沿x 轴负方向传播了6 m
D ．从t ＝0.10 s 到t ＝0.25 s ，质点P 通过的路程为30 cm
E ．质点Q 简谐运动的表达式为y ＝0.10sin10πt (m) 答案 BCE
解析 由图a 得λ＝8 m ，由图b 得T ＝0.2 s ，所以v ＝λT
＝40 m/s 。

由图b 知，在t ＝0.10 s 时，质点Q 通过平衡位置向y 轴负方向运动，A 错误；结合图a ，由“同侧法”判得波沿x 轴负方向传播，画出t ＝0.25 s 时的波形图，如图所示，标出P 、Q 点，此时P 点在x 轴下方，其加速度向上，B 正确；Δt ＝0.25 s －0.10 s ＝0.15 s ＝3
4T ，Δx ＝v ·Δt ＝
6 m ，C 正确；t ＝0.10 s 时，P 点位置不在平衡位置或最大位移处，所以经过Δt ＝3
4T 质点
通过的路程不等于3A (即30 cm)，故D 错误；由图b 知A ＝0.10 m ，ω＝2π
T
＝10π rad/s，
所以Q 点简谐运动表达式为y ＝0.10sin10πt (m)，E 正确。

2．(多选)一列自右向左传播的简谐横波，在t ＝0时刻的波形图如图所示，此时坐标为(1,0)的质点刚好开始运动，在t ＝0.3 s 时刻，质点P 在t ＝0时刻后首次到达波峰位置，质点Q 的坐标是(－3，0)，则下列说法正确的是( )
A ．在t ＝0时刻，质点P 的速度方向沿y 轴负方向
B ．这列波的传播速度为1
30
m/s
C ．在0～0.3 s 时间内，质点A 运动的路程为0.03 m
D ．在t ＝0.5 s 时刻，质点Q 首次到达波峰位置
E ．这列波的波源起振方向沿y 轴正方向 答案 ADE
解析 根据t ＝0时刻的波形图，可知波长λ＝4 cm ，波向左传播，根据同侧法可知在
t ＝0时刻质点P 沿y 轴负方向运动，故质点P 的速度方向沿y 轴负方向，A 正确；在t ＝0.3
s 时，质点P 在t ＝0时刻后首次到达波峰位置，说明0.3 s ＝3
4
T ，即波动周期T ＝0.4 s ，
这列波的传播速度为v ＝λT ＝10 cm/s ＝0.1 m/s ，B 错误；在0～0.3 s 时间内，即3
4
T 时间
内，质点A 运动的路程为3个振幅，即3×8 cm＝24 cm ＝0.24 m ，C 错误；t ＝0时刻坐标为(1,0)的质点刚好开始运动，由“上下坡”法可知该点的起振方向沿y 轴正方向，所以这列波的波源起振方向沿y 轴正方向，E 正确；在t ＝0.5 s 时，波沿x 轴负方向传播了Δx ＝vt ＝0.1×0.5 m＝5 cm ，知t ＝0.4 s 时波传播到Q ，质点Q 开始向上起振，t ＝0.5 s 时质点Q 首次到达波峰位置，D 正确。

3．(多选)如图所示，一简谐横波在某区域沿x 轴传播，实线a 为t ＝0时刻的波形图线，虚线b 为t ＝Δt 时刻的波形图线，已知该简谐横波波源振动的频率f ＝2.5 Hz ，虚线b 与x 轴交点P 的坐标x P ＝1 m 。

则下列说法正确的是( )
A ．这列波的传播速度大小一定为20 m/s
B ．这列波一定沿x 轴正向传播
C ．可能有Δt ＝1.25 s
D ．可能有Δt ＝1.45 s
E ．若该列波遇到宽度为6 m 的障碍物能发生明显的衍射现象 答案 ACE
解析 由横波的图象可知λ＝8 m ，则v ＝λf ＝8×2.5 m/s＝20 m/s, A 正确。

波可能沿x 轴正向或x 轴负向传播，B 错误。

若波沿x 轴正向传播，则距离1 m ＝18λ，故Δt ＝T
8
＋
nT (n ＝0,1，2，…)，即Δt ＝0.05＋0.4n ，当n ＝3时，Δt ＝1.25 s ；若波沿x 轴负向传
播，则距离7 m ＝78λ，故Δt ＝7T
8＋mT (m ＝0,1,2，…)，即Δt ＝0.35＋0.4m ，Δt ＝0.35 s 、
0.75 s 、1.15 s 、1.55 s 、1.95 s ，C 正确，D 错误。

障碍物宽度d ＝6 m ，比波长8 m 小，能发生明显的衍射现象，E 正确。

[真题模拟练]
4．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)一列简谐横波沿x 轴正方向传播，在t ＝0和t ＝0.20 s 时的波形分别如图中实线和虚线所示。

已知该波的周期T >0.20 s 。

下列说法正确的是( )
A ．波速为0.40 m/s
B ．波长为0.08 m
C ．x ＝0.08 m 的质点在t ＝0.70 s 时位于波谷
D ．x ＝0.08 m 的质点在t ＝0.12 s 时位于波谷
E ．若此波传入另一介质中其波速变为0.80 m/s ，则它在该介质中的波长为0.32 m 答案 ACE
解析 根据波形图可知，波长λ＝16 cm ＝0.16 m ，B 错误；根据t ＝0时刻和t ＝0.20 s 时刻的波形图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋n T ＝0.2 s ，T ＝0.42n ＋1 s ，n ＝0,1,2,3，…，而已知该波的周期T >0.20
s ，故该波的周期T ＝0.40 s ，波速v ＝λT
＝0.40 m/s ，A 正确；简谐波沿x 轴正方向传播，
x ＝0.08 m 的质点在t ＝0时刻沿y 轴正方向运动，在 t ＝0.70 s ＝13
4
T 时位于波谷，在t ＝
0.12 s ＝3
10T 时位于y >0的某位置(不是位于波谷)，C 正确，D 错误；若此波传入另一介质
中，周期T 不变，其波速变为v ＝0.80 m/s ，由λ＝vT 可得它在该介质中的波长为λ＝0.80×0.4 m＝0.32 m ，E 正确。

5．(2018·北京高考)如图所示，一列简谐横波向右传播，P 、Q 两质点平衡位置相距0.15 m 。

当P 运动到上方最大位移处时，Q 刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是( )
A ．0.60 m
B ．0.30 m
C ．0.20 m
D ．0.15 m 答案 B
解析 可以画出PQ 之间的最简单的波形，如图所示，同时由于PQ 之间可以含有多个完整的波形，则x PQ ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋12λ(n ＝0,1，2，…)整理可以得到λ＝2x PQ 2n ＋1(n ＝0,1，2，…)，当
n ＝0时，λ＝0.3 m ，当n ＝1时，λ＝0.1 m ，故B 正确，A 、C 、D 错误。

6.(2017·全国卷Ⅲ)(多选)如图，一列简谐横波沿x 轴正方向传播，实线为t ＝0时的波形图，虚线为t ＝0.5 s 时的波形图。

已知该简谐波的周期大于0.5 s 。

关于该简谐波，下列说法正确的是( )
A ．波长为2 m
B ．波速为6 m/s
C ．频率为1.5 Hz
D ．t ＝1 s 时，x ＝1 m 处的质点处于波峰
E ．t ＝2 s 时，x ＝2 m 处的质点经过平衡位置 答案 BCE
解析 由简谐横波的波动图象可知，波长为4 m ，A 错误。

t ＝0.5 s 时波向x 轴正方向传播的距离为x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋34λ(n ＝0,1,2,3…)，即t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋34T ＝0.5 s(n ＝0,1,2,3…)，解得T ＝
0.5n ＋34
s ，又T >0.5 s ，故n ＝0，T ＝23 s ，则波速v ＝λT ＝6 m/s ，B 正确。

频率f ＝1
T ＝1.5 Hz ，C 正确。

t ＝0时x ＝1 m 处的质点处于波峰，因t ＝1 s 时n ＝t T ＝1
23＝1.5，则t ＝1 s 时
x ＝1 m 处的质点处于波谷，D 错误。

t ＝0时x ＝2 m 处的质点经过平衡位置向上振动，因t ＝2 s 时n ＝t T ＝2
2
3
＝3，则此时x ＝2 m 处的质点经过平衡位置向上振动，E 正确。

7．(2016·全国卷Ⅰ)(多选)某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8 m/s 的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近。

该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15 s 。

下列说法正确的是( )
A ．水面波是一种机械波
B ．该水面波的频率为6 Hz
C ．该水面波的波长为3 m
D ．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去
E ．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时振动的质点并不随波迁移 答案 ACE
解析 水面波是一种机械波，传播过程中各质点只在平衡位置上下往复运动，不随波的传播而迁移，因此水面波不会将该同学推向岸边，故D 错误，A 、E 正确。

由题意可知该波的周期T ＝159 s ＝53 s ，频率f ＝1T ＝0.6 Hz ，波长λ＝vT ＝1.8×5
3 m ＝3 m ，故B 错误，C
正确。

8．(2016·全国卷Ⅲ)(多选)由波源S 形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播。

波源振动的频率为20 Hz ，波速为16 m/s 。

已知介质中P 、Q 两质点位于波源S 的两侧，且P 、
Q 和S 的平衡位置在一条直线上，P 、Q 的平衡位置到S 的平衡位置之间的距离分别为15.8 m 、
14.6 m 。

P 、Q 开始振动后，下列判断正确的是( )
A ．P 、Q 两质点运动的方向始终相同
B ．P 、Q 两质点运动的方向始终相反
C ．当S 恰好通过平衡位置时，P 、Q 两点也正好通过平衡位置
D ．当S 恰好通过平衡位置向上运动时，P 在波峰
E ．当S 恰好通过平衡位置向下运动时，Q 在波峰 答案 BDE
解析 由波速公式v ＝λf 得λ＝v f ＝0.8 m ，L SP ＝15.80.8λ＝1934λ，L SQ ＝14.60.8λ＝181
4
λ，
由波动的周期性，采用“去整留零”的方法，可在波形图上标出S 、P 、Q 三点的位置，如图所示，由图可知，P 、Q 两点的运动方向始终相反，A 项错误，B 项正确；S 在平衡位置时，P 、
Q 一个在波峰，一个在波谷，C 项错误；当S 恰通过平衡位置向上运动时，P 在波峰，Q 在波
谷，反之则相反，故D 、E 两项正确。

9．(2018·全国卷Ⅱ)声波在空气中的传播速度为340 m/s ，在钢铁中的传播速度为4900 m/s 。

一平直桥由钢铁制成，某同学用锤子敲击一铁桥的一端而发出声音，分别经空气和桥传到另一端的时间之差为1.00 s 。

桥的长度为________ m ，若该波在空气中的波长为λ，则它在钢铁中波长为λ的________倍。

答案 365
245
17
解析 设桥的长度为s ，则声音在钢铁中传播的时间
t ＝s v ＝s 4900 m
， 声音在空气中的传播时间为t ′＝s v ′＝s 340 m ， 根据题意Δt ＝t ′－t ＝s
340 m －s
4900 m
＝1 s ， 解得：s ＝365 m 。

声音在不同介质中的频率是不会改变的，由公式可知
λ＝v ′f ，λ钢＝v f ，解得λ钢＝v v ′λ＝4900340λ＝24517
λ。

10．(2017·全国卷Ⅰ)如图a ，在xy 平面内有两个沿z 方向做简谐振动的点波源S 1(0,4)和S 2(0，－2)。

两波源的振动图线分别如图b 和图c 所示。

两列波的波速均为1.00 m/s 。

两列波从波源传播到点A (8，－2)的路程差为________ m ，两列波引起的点B (4,1)处质点的振动相互________(填“加强”或“减弱”)，点C (0,0.5)处质点的振动相互________(填“加强”或“减弱”)。

答案 2 减弱 加强
解析 波长λ＝vT ＝2 m ，两列波的波长相等。

两波源到A 点的路程差Δx ＝62
＋82
m －8 m ＝2 m 。

两波源到B 点的路程差Δx ′＝32
＋42
m －32
＋42
m ＝0，初相相差π，B 点为振动减弱点。

两波源到C 点的路程差Δx ″＝3.5 m －2.5 m ＝1 m ＝λ
2
，初相相差π，C 点为振动加
强点。

11．(2018·全国卷Ⅰ)一列简谐横波在t ＝1
3 s 时的波形图如图a 所示，P 、Q 是介质中
的两个质点。

图b 是质点Q 的振动图象。

求：
(1)波速及波的传播方向； (2)质点Q 的平衡位置的x 坐标。

答案 (1)18 cm/s 波沿x 轴负方向传播 (2)9 cm 解析 (1)由图a 可以看出，该波的波长为λ＝36 cm ① 由图b 可以看出，周期为T ＝2 s ② 波速为v ＝λT
＝18 cm/s ③
由图b 知，当t ＝1
3 s 时，Q 点向上运动，结合图a 可得，波沿x 轴负方向传播。

(2)设质点P 、Q 平衡位置的x 坐标分别为x P 、x Q 。

由图a 知，x ＝0处y ＝－A
2＝A sin(－30°)，
因此x P ＝30°
360°
λ＝3 cm ④
由图b 知，在t ＝0时Q 点处于平衡位置，经Δt ＝1
3 s ，其振动状态向x 轴负方向传播
至P 点处，
由此及③式有x Q －x P ＝v Δt ＝6 cm ⑤ 由④⑤式得，质点Q 的平衡位置的x 坐标为
x Q ＝9 cm 。

12．(2018·江苏高考)一列简谐横波沿x 轴正方向传播，在x ＝0和x ＝0.6 m 处的两个质点A 、B 的振动图象如图所示。

已知该波的波长大于0.6 m ，求其波速和波长。

答案 v ＝2 m/s λ＝0.8 m 解析 由图象可知，周期T ＝0.4 s ，
由图象可知，波从A 到B 的传播时间Δt ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫34＋n T (n ＝0,1,2…) 波速v ＝Δx Δt ＝Δx
⎝ ⎛⎭⎪⎫
34＋n T ，
波长λ＝vT ＝Δx 34＋n ＝0.6
34
＋n m ，
由于λ>0.6 m ，故n ＝0，代入数据得λ＝0.8 m ，v ＝2 m/s 。

13．(2016·全国卷Ⅱ)一列简谐横波在介质中沿x 轴正向传播，波长不小于10 cm 。

O 和A 是介质中平衡位置分别位于x ＝0和x ＝5 cm 处的两个质点。

t ＝0时开始观测，此时质点O 的位移为y ＝4 cm ，质点A 处于波峰位置；t ＝1
3 s 时，质点O 第一次回到平衡位置，t
＝1 s 时，质点A 第一次回到平衡位置。

求：
(1)简谐波的周期、波速和波长； (2)质点O 的位移随时间变化的关系式。

答案 (1)4 s 7.5 cm/s 30 cm (2)y ＝0.08cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πt 2＋π3 m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤或y ＝0.08sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πt 2＋5π6 m
解析 (1)设振动周期为T 。

由于质点A 在0到1 s 内由最大位移处第一次回到平衡位置，经历的是1
4
个周期，由此可知
T ＝4 s ①
由于质点O 与A 的距离5 cm 小于半个波长，且波沿x 轴正向传播，O 在t ＝1
3
s 时回到
平衡位置，而A 在t ＝1 s 时回到平衡位置，时间相差2
3
s 。

波的速度为v ＝5
23
cm/s ＝7.5 cm/s ②
利用波长、波速和周期的关系得，简谐波的波长
λ＝vT ＝7.5×4 cm＝30 cm ③
(2)设质点O 的位移随时间变化的关系式为
y ＝A cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2πt T ＋φ0④
将①式及题给条件代入上式得⎩⎪⎨⎪
⎧
4＝A cos φ00＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ0⑤
解得φ0＝π
3
，A ＝8 cm ⑥
质点O 的位移随时间变化的关系式为
y ＝0.08cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫πt 2＋π3 m ⑦
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤或y ＝0.08sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 2＋5π6 m 。