动力学第三章(2节)
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Baidu Nhomakorabea
A
解：研究OA杆，进行受力分析
n d 2 J O 2 M O ( Fi ) dt i 1
Mc
mg
C
Mk B Fx
O O
L J O mg sin M k M C 2 M c
C
Fy
M k k ( )
2
非线性非齐次 常微分方程:
1 2 1 mL c k mgL sin kb cos t 3 2
运动分几个阶段？ 第一阶段：定轴转动（一个自由度）
F
A A
FN
O
ac C
O
C
t
求解常微分方 0 程初值问题: 0 0， 0
B 初条：
L J o mg cos 6
3g cos 2L
2 3g sin / l
a cn
B
由质心运 动定理:
* 1
9
第二阶段: 平面运动(两个自由度) 刚体平面运动微分方程
y'
F'
A
FN
O
xc ' OC
a
t e
n e
acy '
macx? ' mg sin F '
?
(1) (2) (3) (4)
C
a mg
ar
ak a cx '
B
? macy? ' FN mg cos
? J c FN xc '?
F ' f FN
x'
ox’y’ 绕O点作定轴转动
用广义坐标 , xc/ 描述运动量
动点:C，动系: ox’y’，定系: 地面
n 2 (5) c ' xc ' acx' ar ae x 2x ) (6) c ' acy' aet ak ( xc '
t /s
混沌(Chaos): 在确定的系统中出现类似随机的运动过程.
4
二、刚体平面运动微分方程
设：刚体具有 质量对称面 S，此平面在某一固定平面内运动, 作用在刚体上的力系可简化为该平面内的一个平面力系。
利用质心运动定理和相对质心的动量矩定理:
y'
F1
x'
y
c
Fn
o
x
Fi
n ma m (e) x F ix c cx i 1 n (e) ma m y F iy cy c i 1 n (e) J c M cz' ( Fi ) i 1
刚体 平面 运动 微分 方程
5
例：均质圆盘在水平面上纯滚动，其质量和半径分别为
m, R . 圆盘上作用有力 F 和力偶 M ，求圆盘的角加速 度，质心加速度和摩擦力。
M
解：研究圆盘，受力分析和运动分析
ac c
mg
Ff
F
运应 动用 微刚 分体 方平 程面
ac R ? ma? F F
0 FN? mg 1 2 ? mR M F f R 2
§2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
一、刚体定轴转动微分方程
刚体对z轴的动量矩 Lz J z 动量矩定理在z轴上投影
n dLz J z M z ( Fi ) dt i 1
n d 2 J z 2 M z ( Fi ) dt i 1
z
F1
Fn
Fi
x
y
J z m 2 称为刚体对z轴的回转半径
1 2 1 mL c k mgL sin kb cos t 3 2
m 3kg, L 1m,k 14.0Nm/rad,b 0.02rad,c 1.3Nms/rad 0.0rad/s, (2) : 1.0rad, 0.0rad/s, (1) : 0 0.0rad, 0 0 0
/ rad
t /s
3
m 3kg, L 1m,k 14.0Nm/rad,b 0.02rad,c 0.65Nms/ra d 0.0rad/s, (2) : 0.001 0.0rad/s, (1) : 0.0rad, rad,
0 0 0 0
/ rad
平行轴定理： J zA J zC md2
例题：求质量为m半径为R 的均 质半圆板对O 轴（垂直于图示
R
O
JO
1 mR 2 2
平面）的转动惯量和回转半径.
2 R 2
1
MC c 例:系统如图所示,OA杆长L , 质量为m,阻力系数为c ， 扭簧刚度系数为k ，OABC 时，弹簧无变形，已知BC杆的 转动： b cos t 。建立OA杆的运动微分方程。
杆无滑动时:
mg
F f FN n 2 F ? mac mL mg sin 6 mg cos F ? mat m L
c 6 N
3 F3 mg sin , F mg cos N 2 4
AB L
开始滑动时: F
= f FN
1 * 3g tan , sin * 4 l
A
水平方向动量守恒
mg P 1
aC
C
Ca
AB 0
C点加速度铅垂，
B
FB
aB
B点加速度水平
P1 点加速度最小.
A 点加速度最大.
8
例：杆AB的1/3放在固定的箱子上，设两者的静（动）摩擦 因数 f = 0.5, 求 1: 杆开始滑动时与水平线的夹角θ* ; 2: 杆在整个运动过程中的角速度和角加速度随θ的变化规律.
cx f
FN
2( M FR ) 3mR 2
2M F 2( M FR ) Ff ac 3R 36 3mR
三、普遍定理在平面运动刚体动力学中的应用
1、基本物理量的计算
平面运动刚体的动量：
p mv c
平面运动刚体对o点的动量矩：
平面运动刚体的动能： 2、普遍定理的应用
Lo roc mvc J c
2 2 1 T1 mv J c 2 2 c
动量 定理
动量矩定理 动能 定理
建立外力与系统质心加速度的关系。
建立外力与刚体角加速度的关系。 建立作功的力与系统(角)速度变化的关系.
7
例:均质细杆AB的 A 端铅垂吊起，B端放在光滑的水平面上。 确定当绳索被剪断后的瞬时，杆上哪点加速度最小(大)? 解：对AB杆受力分析和运动分析 水平方向外力为零，
A
解：研究OA杆，进行受力分析
n d 2 J O 2 M O ( Fi ) dt i 1
Mc
mg
C
Mk B Fx
O O
L J O mg sin M k M C 2 M c
C
Fy
M k k ( )
2
非线性非齐次 常微分方程:
1 2 1 mL c k mgL sin kb cos t 3 2
运动分几个阶段？ 第一阶段：定轴转动（一个自由度）
F
A A
FN
O
ac C
O
C
t
求解常微分方 0 程初值问题: 0 0， 0
B 初条：
L J o mg cos 6
3g cos 2L
2 3g sin / l
a cn
B
由质心运 动定理:
* 1
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第二阶段: 平面运动(两个自由度) 刚体平面运动微分方程
y'
F'
A
FN
O
xc ' OC
a
t e
n e
acy '
macx? ' mg sin F '
?
(1) (2) (3) (4)
C
a mg
ar
ak a cx '
B
? macy? ' FN mg cos
? J c FN xc '?
F ' f FN
x'
ox’y’ 绕O点作定轴转动
用广义坐标 , xc/ 描述运动量
动点:C，动系: ox’y’，定系: 地面
n 2 (5) c ' xc ' acx' ar ae x 2x ) (6) c ' acy' aet ak ( xc '
t /s
混沌(Chaos): 在确定的系统中出现类似随机的运动过程.
4
二、刚体平面运动微分方程
设：刚体具有 质量对称面 S，此平面在某一固定平面内运动, 作用在刚体上的力系可简化为该平面内的一个平面力系。
利用质心运动定理和相对质心的动量矩定理:
y'
F1
x'
y
c
Fn
o
x
Fi
n ma m (e) x F ix c cx i 1 n (e) ma m y F iy cy c i 1 n (e) J c M cz' ( Fi ) i 1
刚体 平面 运动 微分 方程
5
例：均质圆盘在水平面上纯滚动，其质量和半径分别为
m, R . 圆盘上作用有力 F 和力偶 M ，求圆盘的角加速 度，质心加速度和摩擦力。
M
解：研究圆盘，受力分析和运动分析
ac c
mg
Ff
F
运应 动用 微刚 分体 方平 程面
ac R ? ma? F F
0 FN? mg 1 2 ? mR M F f R 2
§2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
一、刚体定轴转动微分方程
刚体对z轴的动量矩 Lz J z 动量矩定理在z轴上投影
n dLz J z M z ( Fi ) dt i 1
n d 2 J z 2 M z ( Fi ) dt i 1
z
F1
Fn
Fi
x
y
J z m 2 称为刚体对z轴的回转半径
1 2 1 mL c k mgL sin kb cos t 3 2
m 3kg, L 1m,k 14.0Nm/rad,b 0.02rad,c 1.3Nms/rad 0.0rad/s, (2) : 1.0rad, 0.0rad/s, (1) : 0 0.0rad, 0 0 0
/ rad
t /s
3
m 3kg, L 1m,k 14.0Nm/rad,b 0.02rad,c 0.65Nms/ra d 0.0rad/s, (2) : 0.001 0.0rad/s, (1) : 0.0rad, rad,
0 0 0 0
/ rad
平行轴定理： J zA J zC md2
例题：求质量为m半径为R 的均 质半圆板对O 轴（垂直于图示
R
O
JO
1 mR 2 2
平面）的转动惯量和回转半径.
2 R 2
1
MC c 例:系统如图所示,OA杆长L , 质量为m,阻力系数为c ， 扭簧刚度系数为k ，OABC 时，弹簧无变形，已知BC杆的 转动： b cos t 。建立OA杆的运动微分方程。
杆无滑动时:
mg
F f FN n 2 F ? mac mL mg sin 6 mg cos F ? mat m L
c 6 N
3 F3 mg sin , F mg cos N 2 4
AB L
开始滑动时: F
= f FN
1 * 3g tan , sin * 4 l
A
水平方向动量守恒
mg P 1
aC
C
Ca
AB 0
C点加速度铅垂，
B
FB
aB
B点加速度水平
P1 点加速度最小.
A 点加速度最大.
8
例：杆AB的1/3放在固定的箱子上，设两者的静（动）摩擦 因数 f = 0.5, 求 1: 杆开始滑动时与水平线的夹角θ* ; 2: 杆在整个运动过程中的角速度和角加速度随θ的变化规律.
cx f
FN
2( M FR ) 3mR 2
2M F 2( M FR ) Ff ac 3R 36 3mR
三、普遍定理在平面运动刚体动力学中的应用
1、基本物理量的计算
平面运动刚体的动量：
p mv c
平面运动刚体对o点的动量矩：
平面运动刚体的动能： 2、普遍定理的应用
Lo roc mvc J c
2 2 1 T1 mv J c 2 2 c
动量 定理
动量矩定理 动能 定理
建立外力与系统质心加速度的关系。
建立外力与刚体角加速度的关系。 建立作功的力与系统(角)速度变化的关系.
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例:均质细杆AB的 A 端铅垂吊起，B端放在光滑的水平面上。 确定当绳索被剪断后的瞬时，杆上哪点加速度最小(大)? 解：对AB杆受力分析和运动分析 水平方向外力为零，