刘涛--全概率公式与贝叶斯公式--教学设计电子教案
全概率公式与贝叶斯公式教学课件
全概率公式的推导过程
全概率公式的推导过程基于条件概率的定义和概率的可加性。
首先，根据条件概率的定义，我们知道P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。然后，利用概率的可加性，即P(A) = Σ[P(B) * P(A|B)]，将所有可能的事件B的概率和条件概率相乘并求和，即可得到事件A的总概率。通过 这个推导过程，我们可以更好地理解全概率公式的意义和应用。
不断练习和思考，提高自己的计算能力和推理能力，以便更好地应用全概率公式与 贝叶斯公式解决实际问题。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
贝叶斯公式在股票市场预测中的应用
股票价格预测
贝叶斯公式可以用于股票价格预 测，通过分析历史数据和当前市 场信息，对未来股票价格进行合
理预测。
风险评估
贝叶斯公式可以用于评估股票市场 的风险，通过分析市场波动和不确 定性，为投资者提供参考。
投资组合优化
贝叶斯公式可以帮助投资者优化投 资组合，通过分析不同股票之间的 相关性，制定更合理的投资策略。
两者之间的区别
全概率公式计算总概率
全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，即将一个复杂事件分解为若干个简 单事件的概率之和。
贝叶斯公式更新条件概率
贝叶斯公式是在已知先验概率的情况下，根据新的信息或证据更新某个条件的概 率。它用于在条件不确定的情况下进行推理和决策。
两者在不同场景下的选择
需要计算总概率时选择全概率公式
02
贝叶斯公式简介
贝叶斯公式的定义
贝叶斯公式
在概率论中，贝叶斯公式用于计 算在给定一些证据的情况下，某 个事件发生的概率。
贝叶斯公式形式
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)， 其中P(A|B)是在B发生的情况下A 发生的概率，P(B|A)是在A发生的 情况下B发生的概率，P(A)是A发 生的概率，P(B)是B发生的概率。
关于全概率公式和贝叶斯公式的教学设计
某厂使用 甲、 乙、 丙 三个 产 地 的 同 型 号 电 子 元 件 用 于 生 产 电脑 ， 其 来 自三 地 的 元 件 数 量 各 占Ｏ ． ２ ５ ， ０ ３ ０ ， ０ ． ４ ５ ， 且 它们 的 合 格率分别为０ ． ９ ５， ０ ． ９ ６， ０ ． ９ ７， （ １ ） 若 任取 一 元 件 ， 问 取 到 的 是合 格 品 的概 率 是 多 少 ？ （ ２ ） 若 查 出某 一 元 件不 合 格 ， 问 该元 件 最 有可 能 来 自何地 ？ 在第 （ １ ） 问 中， 虽 不 知 元 件 产 自何 地 ， 但知道必 是 甲、 乙、 丙三 地之一 ， 合 格 率 的大 小 与 产 地 有 关 ， 而第 （ ２ ） 问 则 是 已 知 结 果 追 溯 原 因 ，并 作 出 决 策 ．为 此 引 出解 决 这 两 类 问题 的 方 法， 即 全概 率 公 式 、 贝 叶 斯公 式及 贝 叶斯 决 策 ． ２ ． 全 概 率 公 式 和 贝 叶 斯公 式 定理 ： 设 事 件 Ａ． ， Ａ ， …Ａ 两两 互不相 容 ， Ｐ （ Ａ ； ） ＞ ０ （ Ｉ ＝ １ ， ２ ，
万 祥 兰
（ 湖 北 工 业 大 学理 学 院 ， 湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ６ ８ ）
摘 要 ： 全 概 率公 式 和 贝叶 斯公 式 是 概 率 教 学 中的 重 难 点． 本文利用启发式、 总结式等方 法。 对 全 概 率公 式 和 贝叶 斯 公 式进 行 教 学设 计 ， 并 结合 实例 ， 给 出相 关 的应 用． 关键词 ： 全 概 率 公 式 贝 叶斯 公 式 完备 事 件 组
。，
例３ ： 考 试 时 选 择 题 有４ 个答案 ， 其 中只有一个 是正确 的 ， 当 学 生 不 会 做 时 可 以随 机 猜 测 ． 假 设 一 个 学 生 会 做题 与 不 会 做 题 的概 率 相 等 ． 现在从卷面上看该题答对 了， 求 该 学 生 确 实 会 做 此 题 的概 率 ． 分析 ： 现在是知道结果“ 卷 面上 看该 题答 对 了 ” ， 追 溯 原 因 “ 学 生 确 实 会 做此 题 ” ， 显 然 是 用 贝叶 斯 公 式 ． 解 ： 设事 件Ｂ 表示 “ 学 生答 对该 题 ” ， Ａ表 示 “ 学 生 会 做 该
全概率公式与贝叶斯公式课件
• 全概率公式概述 • 全概率公式详解 • 贝叶斯公式概述 • 贝叶斯公式详解 • 全概率公式与贝叶斯公式的比较 • 全概率公式与贝叶斯公式的应用实例
01
全概率公式概述
全概率公式的定义
全概率公式是用来计算一个事件发生的概率，当这个事件可以由其他若干个互斥 事件所引起。
决策制定
在决策制定过程中，贝叶 斯公式可以帮助决策者根 据已知信息和证据做出最 佳选择。
风险管理
在风险管理中，贝叶斯公 式可以用于评估风险和不 确定性，帮助管理者制定 有效的风险控制策略。
贝叶斯公式的推导过程
贝叶斯公式的推导基于条件概率的定 义和概率的运算法则，包括全概率公 式、链式法则和乘法法则等。
05
全概率公式与贝叶斯公式的比较
两者之间的联系
贝叶斯公式是全概率公式的特例
全概率公式用于计算一个事件发生的概率，而贝叶斯公式用于在已知先验概率的情况下 ，更新某个条件的概率。
都需要对事件进行分解
全概率公式和贝叶斯公式都需要将事件分解为若干个互斥子事件或条件，以便分别计算 概率。
两者之间的区别
01
THANKS
感谢观看
全概率公式的扩展形式
全概率公式的扩展形式是在多个事件 相互独立的情况下，计算事件B在事 件A发生的条件下发生的概率。
全概率公式的扩展形式为$P(B|A) = sum_{i=1}^{n} P(B|A_i)P(A_i|A)$， 其中$P(A_i|A) = P(A_i)$，因为多个 事件相互独立。
全概率公式的特例
全概率公式定义为一个事件A发生的概率，可以表示为其他若干个互斥事件的概 率之和，即$P(A) = sum_{i} P(A|B_i)P(B_i)$，其中$B_i$表示第i个互斥事件。
全概率公式和贝叶斯公式教案
全概率公式和贝叶斯公式教案全概率公式和贝叶斯公式教案一、引言在概率论中，全概率公式和贝叶斯公式是两个重要的概念，它们在统计学、机器学习以及各种预测和决策问题中都有着重要的应用。
本文将深入探讨全概率公式和贝叶斯公式的概念和应用，帮助读者更好地理解和运用这两个重要的概念。
二、全概率公式的概念和应用1. 全概率公式的概念全概率公式是概率论中的重要定理，它描述了一个事件的概率可以通过多个不相容事件的概率之和来表示。
具体而言，对于一个样本空间Ω，如果存在一系列互相不相容的事件A1，A2，...，An，且它们的并集构成了整个样本空间Ω，那么对于任意的事件B，都有P(B) =ΣP(B|Ai)P(Ai)，其中P(B|Ai)表示在给定事件Ai的条件下B的概率。
2. 全概率公式的应用全概率公式在实际问题中有着广泛的应用，特别是在贝叶斯统计中。
通过全概率公式，我们可以将一个复杂的概率计算问题转化为多个简单的条件概率计算问题，从而更加方便地进行计算和推理。
在医学诊断中，我们可以利用全概率公式来计算某种疾病的患病概率，从而辅助临床医生做出更准确的诊断。
三、贝叶斯公式的概念和应用1. 贝叶斯公式的概念贝叶斯公式是概率论中的另一个重要定理，它描述了在已知某一事件的条件下，另一事件的概率可以被重新估计的方法。
具体而言，对于两个事件A和B，如果已知P(B) > 0，那么根据全概率公式和条件概率的定义，我们可以得到P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)。
2. 贝叶斯公式的应用贝叶斯公式在实际问题中也有着广泛的应用，特别是在机器学习和数据分析中。
通过贝叶斯公式，我们可以根据已有的先验知识和观测数据，来更新对事件的概率估计，从而得到更为准确的推断和预测结果。
在垃圾邮件过滤中，我们可以利用贝叶斯公式来不断更新对某封邮件是垃圾邮件的概率，从而不断优化垃圾邮件的过滤效果。
四、总结与展望通过本文的讨论，我们可以看到全概率公式和贝叶斯公式在概率论、统计学和机器学习中的重要性和广泛应用。
1.4.2全概率公式与贝叶斯公式ppt课件
0.526 ，
P(P A( iA |3 BB )) 0 .1 3 P0 .(6 A i0 0 ).2 . P1 5 5 ( B0 ｜ 0 .4 .2 A0 i . )1 5 i0 =.12 ,2, 3 0 .1 5 8 .
P(Aj )P(B｜Aj )
5
j1
1. 样本空间的划分
定 义 1 .5 如 果 n 个 事 件 A 1 ,A 2 , ,A n 满 足 下 列 条 件 ：
3
P(B) P(Ai)P(B｜Ai)
P (BA 1)P (A 1)
i1
P (BA 1)P (A 1)P (BA 2)P (A 2)P (BA 3)P (A 3)
0.60.1
0.10.60.250.40.150.2
A1,A2,…,A3
0.316.
同理可得 P( A2
B)
0.25 0.4 0.1 0.6 0.25 0.4 0.15 0.2
生产的”．且有
P(A1)0.6,P(A2)0.25, P(A3)0.15.
P(B A1) 0.1, P(B A2)0.4, P(B A3) 0.2
P ( B ) P (B A 1 B A 2 B A 3)
在较复杂情况下 直P 接(计B A 算1 P)( B)P 不( 易B ,但A 2 B) 总 是P 伴(随B 着A 3 某)个Ai出现，
(2) 当n=2时,若A1,A2是一个完备事件组,则A1,A2为对立事件.
6
2. 全概率公式和贝叶斯公式
定 理 1 .3设 n 个 事 件 A 1 ,A 2 , ,A n 构 成 样 本 空 间
的 一 个 划 分 ,B n是 一 个 事 件 .当 P ( A i) > 0 ( i= 1 ,,n ) 时 ,
〖2021年整理〗《学案4.1.2 全概率公式、贝叶斯公式》优秀教案
第2课时全概率公式、贝叶斯公式学习目标核心素养1．理解并掌握全概率公式．重点2．了解贝叶斯公式．难点3．会用全概率公式及贝叶斯公式解题．易错点1．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养．2．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养有三个罐子，1号装有2红1黑球，2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．问题：如何求取得红球的概率？1．全概率公式1PB＝P APB|A＋P错误!PB|错误!；2定理1若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，A n满足：①任意两个事件均互斥，即A i A＝∅，i，＝1,2，…，n，i≠；②A1＋A2＋…＋A n＝Ω；③P A i＞0，i＝1,2，…，n则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BA n，且PB＝错误!＝错误!思考：全概率公式体现了哪种数学思想？[提示]全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可．2．贝叶斯公式1一般地，当0＜P A＜1且PB＞0时，有P A|B＝错误!＝错误!2定理2若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，A n满足：①任意两个事件均互斥，即A i A＝∅，i，＝1,2，…，n，i≠；②A1＋A2＋…＋A n＝Ω；③1＞P A i＞0，i＝1,2，…，n则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P A|B＝错误!＝错误!拓展：贝叶斯公式充分体现了P A|B，P A，PB，PB|A，PB|错误!，P AB之间的转化．即P A|B＝错误!，P AB＝P A|BPB＝PB|AP A，PB＝P APB|A＋P错误!PB|错误!之间的内在联系．1．思考辨析正确的打“√”，错误的打“×”1P A＝PBP A|B＋P错误!P A|错误!．2PB＝P APB|A＋P AP错误!|A．3P A|B＝错误!＝错误![答案]1√2×3×2．已知事件A，B，且P A＝错误!，PB|A＝错误!，PB|错误!＝错误!，则PB等于C[PB＝P APB|A＋P错误!PB|错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!故选C]3．一袋中装有大小、形状均相同的5个球，其中2个黑球，3个白球，从中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为________．错误![设事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，由古典概型可知P A＝错误!，PB|A＝错误!，PB|错误!＝错误!则PB＝P AB＋P错误!B＝P APB|A＋P错误!PB|错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!]4．对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时，其合格率为55% 每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%则已知某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率约是________．[设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”．P A|B＝，P A|错误!＝，PB＝，P错误!＝，所求的概率为PB|A＝错误!≈]全概率公式及其应用1从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；2若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．[解]1从甲箱中任取2个产品的事件数为C错误!＝错误!＝28，这2个产品都是次品的事件数为C错误!＝3∴这2个产品都是次品的概率为错误!2设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．PB1＝错误!＝错误!，PB2＝错误!＝错误!，PB3＝错误!＝错误!，P A|B1＝错误!，P A|B2＝错误!，P A|B3＝错误!，∴P A＝PB1P A|B1＋PB2P A|B2＋PB3P A|B3＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!通过本例我们发现，当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A 事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率错误!1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：1从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？2从2号箱取出红球的概率是多少？[解]记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．PB＝错误!＝错误!，P错误!＝1－错误!＝错误!1P A|B＝错误!＝错误!2∵P A|错误!＝错误!＝错误!，∴P A＝P AB＋P A错误!＝P A|BPB＋P A|错误!P错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!贝叶斯公式及其应用【例2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的%若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？[解]设A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”，则P A＝PB·P A|B＋P错误!·P A|错误!＝%×95%＋%×1%＝%所以PB|A＝错误!＝错误!＝%利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算P A，即P A＝错误!PB i P A|B i；第二步：计算P AB，可利用P AB＝PBP A|B求解；第三步：代入PB|A＝错误!求解．错误!2．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、202130%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为、、及，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？[解]设A i＝第i条流水线生产的产品，i＝1,2,3,4；B＝抽到不合格品，∴P A1＝；P A2＝；P A3＝；P A4＝∴PB|A1＝；PB|A2＝；PB|A3＝；PB|A4＝，1PB＝错误!P A i PB|A i＝2P A4|B＝错误!≈ 2全概率公式与贝叶斯公式的综合应用贝叶斯公式的实质是什么？[提示]贝叶斯公式实质上是条件概率公式PB i|A＝错误!，PB i A＝PB i·P A|B i，全概率公式P A＝错误!PB i P A|B i的综合应用．【例3】假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从202100份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：疾病人数出现S症状人数d17 7507 500d2 5 250 4 2021d37 000 3 500试问当一个具有S料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？[解]以A表示事件“患有出现S中的某些症状”，D i表示事件“患者患有疾病d i”i＝1,2,3，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知PD1＝错误!＝5，PD2＝错误!＝5，PD3＝错误!＝，P A|D1＝错误!≈ 7，P A|D2＝错误!＝，P A|D3＝错误!＝从而P A＝P A|D1PD1＋P A|D2PD2＋P A|D3PD3＝5× 7＋5×＋×≈由贝叶斯公式得PD1|A＝错误!＝错误!≈ 4，PD2|A＝错误!＝错误!≈ 3，PD3|A＝错误!＝错误!≈ 3，从而推测病人患有疾病d1较为合理．若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效错误!3．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为、、，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．1从中任取一件，求此产品为正品的概率；2现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？[解]设事件A表示“取到的产品为正品” ，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知PB1＝，PB2＝，PB3＝，P A|B1＝，P A|B2＝，P A|B3＝1由全概率公式得：P A＝错误!PB i P A|B i＝×＋×＋×＝2由贝叶斯公式得PB1|A＝错误!＝错误!≈ 9，PB2|A＝错误!＝错误!≈ 0，PB3|A＝错误!＝错误!≈ 1由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．1．全概率公式PB＝错误!P A i PB|A i在解题中体现了化整为零的转化化归思想．2．贝叶斯概率公式反映了条件概率PB|A＝错误!，全概率公式P A＝错误!PB i P A|B i及乘法公式P AB＝PBP A|B之间的关系．即PB|A＝错误!＝错误!＝错误!1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为，,,，迟到的概率分别为,,,0则他迟到的概率为A．B．C．D．0C[设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得PB＝错误!P A i PB|A i＝×＋×＋×＋×0＝]2．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为，第二台的废品率为，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为A．B．C．D．D[令B＝取到的零件为合格品，A i＝零件为第i台机床的产品，i＝1,2由全概率公式得：PB＝P A1PB|A1＋P A2PB|A2＝错误!×＋错误!×＝故选D]3．某小组有2021手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为、、、，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________．5[设B＝{该小组在比赛中射中目标}，A i＝{选i级射手参加比赛}，i＝1,2,3,4．由全概率公式，有PB＝错误!P A i PB|A i＝错误!错误!错误!错误!5]4．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．[设B＝{取出的球全是白球}，A i＝{掷出i点}i＝1,2，…，6，则由贝叶斯公式，得P A3|B＝错误!＝错误!＝35]5．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为错误!，错误!，错误!现从这三个地区任抽取一个人．1求此人感染此病的概率；2若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．[解]设A i＝第i个地区，i＝1,2,3；B＝感染此病∴P A1＝错误!；P A2＝错误!；P A3＝错误!∴PB|A1＝错误!；PB|A2＝错误!；PB|A3＝错误!1PB＝错误!P A i PB|A i＝错误!2P A2|B＝错误!＝错误!≈。
全概率公式与贝叶斯公式实用教案
A 表示“产品是次品”， B表示“通过检验产品被 认为是次品”。
由全概率(gàilǜ)公式得：
P(B) P( A)P(B A) P( A)P(B A) 0.96 0.98 0.04 0.05 0.9428
4
P(B) P(A i )P(B A i ) i 1
＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05
＝0.4825
第第4四页页，/共共191页8。页
行进中的一架飞机(fēijī). 已知该炮能击中 发动机、机舱及其他部位的概率分别是 0.10，0.08，0.39.又若击中上述部位而使飞 机(fēijī)坠毁的概率分别是0.95，0.89，0.51。 试 毁 解求的该概炮率任。意发射一发炮弹使飞机(fēijī)坠
第第1十7七页页，/共共119页8。页
感谢您的观赏(guānshǎng)
第第1十8八页页，/共共191页8。页
内容(nèiróng)总结
解。第1页/共18页。第2页/共18页。第3页/共18页。＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05。今有两人依次随机地从袋中各
取一球，取后不放回，问第二个人取得黄球的概率是多少。设 A表示“考生不知道正确答案”，B表示“考生答对了考题(kǎo tí)”。第17页/共
18页。感谢您的观赏
No
Image
第十九页，共19页。
证明 (zhèn
P( Ak | B)
P( Ak )P(B | Ak )
n
P( Ai)P(B | Ai)
i 1
( k =1 , 2 , … , n)
全概率公式与贝叶斯公式
1
2. 全概率公式
定义 设为试验E的样本空间, A为E的事件, B1, B2 , , Bn为的一个划分,且P(Bi ) 0 (i 1, 2, , n),则
P( A) P( A | B1)P(B1) P( A | B2 )P(B2 ) P( A | Bn )P(Bn )
n
P(B)P( A | Bi ) i 1
2021/3/10
授课：XXX
15
先验概率与后验概率 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率.
而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率.
2021/3/10
授课：XXX
16
例3 根据以往的临床记录,某种诊断肝癌的试
验具有如下的效果 : 若以 A 表示事件"试验反应 为阳性" , 以 C 表示事件"被诊断者患有癌症",则 有 P( A C) 0.95, P( A C) 0.90.现在对自然人群
贝叶斯公式
P ( Bi
A)
P(Bi )P( A Bi )
n
, i 1, 2,
, n.
P(Bj )P(A Bj )
j 1
2021/3/10
授课：XXX
21
2.条件概率 P(B A) 与积事件概率 P( AB) 的区别.
P(AB) 表示在样本空间 中,计算 AB发生
的概率,而 P(B A) 表示在缩小的样本空间 A 中,
P(Bn )P( A | Bn )
图示
B2
A
B1
B3
B Bn1
n
化整为零 各个击破
2021/3/10
授课：XXX
3
说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个
《全概率公式》示范公开课教学设计【高中数学人教A版】
环节二《全概率公式》教学设计（一）教学内容全概率公式（二）教学目标1.结合实例，经历全概率公式的探究过程.2.理解全概率公式的结构和含义，初步运用全概率公式解决实际问题.3.在推导、运用公式的过程中体会随机的思想，体会部分与整体的关系.（三）教学重点与难点重点：全概率公式的构建和应用难点：对全概率公式的理解（四）教学过程设计1.引入新课问题1：在一个装有2个红球、3个蓝球的箱子里摸球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：设事件A表示“取得红球”，用古典概型的概率公式直接计算,从5个球中任取1个球的种类数为：A51=5（种）从2个红球中任取1个球的种类数为：A21=2（种）所以，取得红球的概率为 P(A)=A21A51=25问题2：将一个箱子增加到两个箱子，标号分别为1，2. 1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外完全相同.（1）某人直接从1号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；（2）某人直接从2号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；（3）某人先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任意摸出一球，求取得红球的概率.解（1）设事件A表示“取得红球”则P(A)=15（2）设事件A表示“取得红球”则P(A)=25（3）摸球需要分两步走，先取一个箱子，再在箱子中摸球.设事件B i表示“球取自i号箱”（i=1，2），事件A表示“取得红球”，其中B1，B2互斥，A发生总是伴随着B 1，B 2之一同时发生，即A =AB 1∪AB 2，且AB 1，AB 2互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(AB 1∪AB 2)=P (AB 1)+P(AB 2) ，再对求和中的每一项运用乘法公式，得P(A)=P(B 1)P (A|B 1)+P(B 2)P (A|B 2)=12 ×15+12 ×25=310追问：问题2（3）中的概率与（1）（2）中的概率有何联系？答：（3）中的概率与（1）（2）中的概率不同，（1）（2）中的摸球都指定了箱子，而（3） 中的摸球需分两步走，先选箱子，再从选中的箱子中摸球，摸中的红球可能来自1号箱，也可能来自2号箱，所得的概率310比直接从1号箱摸出红球的概率15要大，比直接从2号箱中摸出红球的概率25要小，介于二者之间，正好是两者的平均. 设计意图：从最简单的古典概型问题逐步引导思考，为以下从特殊到一般的推广研究全概率公式做好铺垫.2.课堂探究问题3：将箱子再增加到三个，分别编号为1，2，3.1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取得红球的概率.答：与两个箱子的情形类似，设事件B i 表示“球取自i 号箱”（i =1，2，3），事件A 表示“取得红球”，其中B 1，B 2，B 3互斥，A 发生总是伴随着B 1，B 2，B 3之一同时发生，即A =AB 1∪AB 2∪AB 3，且AB 1，AB 2，AB 3互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(AB 1∪AB 2∪AB 3)=P (AB 1)+P(AB 2) +P(AB 3)，再对求和中的每一项运用乘法公式，得P(A)=P(B 1)P (A|B 1)+P(B 2)P (A|B 2)+P(B 3)P (A|B 3)=13 ×15+13 ×25+13×1=815所得的概率815比直接从1号箱摸出红球的概率15要大，比直接从2号箱中摸出红球的概率25要小，，比直接从3号箱中摸出红球的概率1要小，介于三者之间，正好是三者的平均. 问题4：某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率.答：设事件B i表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”（i=1，2，3），事件A表示“取到的是一件次品”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A=AB1∪AB2∪AB3，且AB1，AB2，AB3两两互斥，运用概率的加法公式和乘法公式，得P(A)=P(AB1∪AB2∪AB3)=P(AB1)+P(AB2) +P(AB3)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.0125问题5：归纳出问题4、问题5中相应随机事件概率的共性.答：从上述两个实例可以看出，某一事件A的发生有各种可能的原因，如问题4中摸得的红球有三种来源：可能取自1号箱，也可能取自2号箱或3号箱；问题5中取到的次品可能产自第1家工厂，也可能产自第2家工厂或第3家工厂，如果A是由原因B i（i=1，2，…，n）所引起，则A发生的概率是P(AB i)=P(B i)P(A|B i)，由于每一个原因都可能导致A发生，且各原因彼此互斥并涵盖所有可能的情形，故事件A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即nP(A)=∑P(B i)P(A|B i)i=1追问1：你能概括出全概率公式的定义吗？①设Ω是实验E的样本空间，B1， B2，⋯,B n为样本空间Ω的一组事件，若（1）B i B j=∅,其中i≠j(i,j=1，2，⋯，n)（2）B1∪B2∪⋯∪B n=Ω则称B1，B2，⋯,B n为样本空间Ω的一个划分.②全概率公式：设B1，B2，⋯,B n为样本空间Ω的一个划分，若P(B i)>0(i=1，2，⋯，n),则对于任意一个事件A有nP(A)=∑P(B i)P(A|B i)i=1追问2：结合上面的过程，能说一说对概率公式的认识吗？答：（1）全概率公式本质上是综合运用加法公式和乘法公式解决“多因一果”的概率问题. （2）全概率公式告诉我们，事件A发生的概率恰好是事件A在各种可能“原因”下发生的条件概率的加权平均。
全概率公式和贝叶斯公式(PPT课件)
则称 为 A1, A2 , An
样本空间 S 的一个划分。
BA1
A1
BA2
A2
…... BAn …... An
S
返回主目录
第一章 概率论的基本概念
全 概 率 公 式：
§3条件概率
设随机事件 A1, A2 , , An 以及 B
满足：
1．A1, A2, , An 两两互不相容；
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、 三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标 的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今 随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射
中设目B标的概该率小组 ．在比赛中射中目 标
2． An S 或 B An ；
n 1
n 1
3．PAn 0 n 1, 2,
则有
PB
P
An
PB
An
n1
返回主目录
全概率公式第的一章 概率论的基本概念 证明
§3条件概率
由条件：
B An
B = BA1 BA2 BAn
P( A) 0.0125
返回主目录
第一章 概率论的基本概念
例10（续）
§3条件概率
元件制造厂 1
P( A| Bi )
P( Bi )
0.02 × 0.15
2
0.01 × 0.80
3
0.03 × 0.05
P(B1| A)
P( A| B1) P(B1) P( A)
刘涛 全概率公式与贝叶斯公式 教学设计上课讲义
刘涛--全概率公式与贝叶斯公式--教学设计．概率论与数理统计教学设计概率论与数课时50分钟课程名称理统计专业与班级任课教师1.5 课题新授课课型全概率公式与贝叶斯公式“全概率公式与贝叶斯公式”属于教材第一章第五节，位于教材的第24页至第27页.是在前一节“条件概率”概念提的基础上，从已知简单事件的概率推算出未知复杂事件的概的研究课题之一为了计算复杂事件的概率，经常把一个复杂事件分解为干个互不相容的简单事件的和，通过分别计算简单事件的教材分率，并利用概率的假发公式和乘法公式等得到最终的结果。
这类计算中，全概率公式起着重要的作用。
而贝叶斯公式正与全概率公式的作用相反，当一个事件已近发生了，要考虑时间发生的各种原因的可能性的大小的时候，也就是当遇“由果溯因”的推断问题，就需要用到贝叶斯公式了。
可说，全概率公式与贝叶斯公式是对第一章前四节内容的总结及综合应用了解全概率公式与贝叶斯公式的背景来源了解全概率公式与贝叶斯公式的基本思想知识与技掌握全概率公式与贝叶斯公式的适用范围、本步骤及其具体运用通过“彩票案例”的引入，引导学生分析、决问题，培养学生将实际问题转化为数学问过程与方的能力，培养学生提出、分析、理解问题的力，进而发展整合所学知识解决实际问题的力通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的情感态度用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学价值的创新意识和探索精神1“划分”定3分钟引导课题1. …………教学方法5分钟2.学生活动…………与策略 3. 探索分析，引出“划分”定义和全概率公式22分钟教学时间设…………计分…………184.贝叶斯公式及其应用钟分钟2课堂小结…………5.演示与板书演练书写PPT多媒体播放教学视频、教学手段相结合。
教学进程教学意图教学内容教学理念在日常生活当中，我们知道，在购买体育彩票激发学生的的时候，不论先买还是后买，中奖的机会都是兴趣，让学引出课题均等的，但大家有没有考虑过，这里的原因在生体会数学（3分钟）哪里？来源于生活。
全概率公式与贝叶斯公式教案
全概率公式与贝叶斯公式教案引言：数学和统计学是现代社会中不可或缺的工具，无论是在商业领域、科学研究还是日常生活中，我们都可以运用统计学的知识来解决问题。
全概率公式和贝叶斯公式是统计学中两个重要的概念，在概率计算和推理过程中具有重要作用。
本教案将详细介绍全概率公式和贝叶斯公式的概念、原理和应用，并通过一些实际例子进行说明，以帮助学生更好地理解和应用这两个公式。
一、全概率公式全概率公式是在条件概率的基础上进行推导的，用于计算一个事件的概率。
其公式如下所示：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + … + P(A|Bn)P(Bn)这里，A表示待求事件，B1、B2、…、Bn为互不相容的事件，并且它们的并集为全样本空间S。
P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
应用实例：以一个骰子游戏为例，假设有两个骰子，一个标有A，另一个标有B。
A面有1、2、3三个数字，B面有4、5、6三个数字。
现在我们随机选择一个骰子，并投掷一次，求得出的点数为奇数的概率。
解析：设事件A表示投掷得到奇数，事件B1表示选择骰子A，事件B2表示选择骰子B。
首先，我们可以计算事件A在选择骰子A和骰子B 的条件下的概率，即P(A|B1)和P(A|B2)。
在选择骰子A的情况下，A 出现的可能点数为1和3，共2个奇数，而总共可能点数为1、2、3，共3个，因此P(A|B1) = 2/3。
同理，在选择骰子B的情况下，A出现的可能点数为2个（1、3），而总共可能点数为3个（4、5、6），因此P(A|B2) = 2/3。
接下来，我们需要计算选择骰子A和骰子B的概率P(B1)和P(B2)。
由于是随机选择一个骰子，因此P(B1) = P(B2) = 1/2。
将这些值代入全概率公式，我们可以得到求解的结果：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) = (2/3)(1/2) + (2/3)(1/2) = 2/3所以，投掷得到奇数的概率为2/3。
全概率公式和贝叶斯教案设计
全概率公式和贝叶斯教案设计
一、教学目标
1. 理解全概率公式和贝叶斯公式的含义和应用。
2. 掌握如何使用全概率公式和贝叶斯公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学重难点
1. 教学重点
- 全概率公式的含义和应用。
- 贝叶斯公式的含义和应用。
2. 教学难点
- 如何正确使用全概率公式和贝叶斯公式解决实际问题。
三、教学方法
讲授法、案例分析法、练习法
四、教学过程
1. 导入
通过一个实际问题引出全概率公式和贝叶斯公式的概念。
2. 内容讲解
- 全概率公式：介绍全概率公式的定义和数学表达式，并通过实
例进行讲解。
- 贝叶斯公式：介绍贝叶斯公式的定义和数学表达式，并通过实
例进行讲解。
3. 练习环节
给出一些练习题，让学生运用全概率公式和贝叶斯公式进行计算，巩固所学知识。
4. 课堂总结
对本节课的内容进行总结，强调全概率公式和贝叶斯公式的重要
性以及在实际问题中的应用。
5. 课后作业
布置一些课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
五、教学反思
通过本节课的学习，学生应该能够理解全概率公式和贝叶斯公式的含义和应用，并能够运用它们解决实际问题。
在教学过程中，要注重理论联系实际，通过实例让学生更好地理解和掌握知识。
同时，要注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
新人教A版高中数学《7.1.2全概率公式》教学设计
7.1.2全概率公式教学设计一、内容与分析1.内容:（1）全概率公式，会利用全概率公式计算概率；（2）贝叶斯公式2.内容与分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主要学习全概率公式，并会利用全概率公式计算概率；还要了解贝叶斯公式。
学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型、几何概型）已经有所了解。
刚刚带领学生学习了条件概率，利用乘法公式和加法公式推导全概率公式。
全概率公式为求解一类概率问题提供了有力的工具，它是概率论中最重要的公式之一，且蕴含着深刻的数学思想。
公式的理解重在在具体的问题情境中进行运用，同时注意运用集合的观点理解公式。
3.教学重点：利用全概率公式计算概率4.教学难点：正确理解全概率公式.三、课前准备多媒体四、教学过程（一）回顾旧知在上节课时，我们学习了条件概率及其乘法公式，我们一起来回顾下吧：（1）条件概率的定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.（2）概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称该式为概率的乘法公式.热身训练1.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是415,刮风的概率为215,既刮风又下雨的概率为110,则在下雨天里,刮风的概率为( ) A.8225B.12C.38D.34 65.D 61.C 31.B 21.A )()(,31)|(,21)(.2===AB P B A P B P 则已知【设计意图】回顾旧知，强化基本知识的掌握与应用.（二）探入与展示引例：一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为0.6，那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 分析：假设A1=“第一次摸到红球”，A2=“第一次摸到黑球”， B=“第二次摸到红球”，易知, A1∪A2=Ω，且互斥，，，易知，96)|(,95)|(104)(,106)(2121====A B P A B P A P A P21BA BA B +=)()()(21BA P BA P B P +=∴)|()()|()(2211A B P A P A B P A P +=6.09610495106=⨯+⨯=所以，第2次摸到红球的概率是0.6.【设计意图】通过具体的问题情境，结合树状图，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解，从而建立全概率的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
刘涛--全概率公式与贝叶斯公式--教学设
计
概率论与数理统计教学设计
1.引导课题…………3分钟
B为E
n
钟）
（i ）,,,1,2,i j B B i j i j n φ=≠=
（ii ）1n
i i B S =⋃=
则称1,2,n B B B 为样本空间S 的一个划分。
若1,2,n B B B 是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件1,2,
n B B B 中必有一个且仅有一个发生。
在新的结论下，划分（完备事件组）
可以不这样要求，只要满足如下即可：
（1）1
n
i i B A ==
（2）B 发生当且仅当B 与1,2,...n A A A 之
一同时发生，此处并不要求
1n
i i A S == 事实上，只要1
n
i i B A =⊂即可。
2.全概率公式 设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事
件，1,2,n B B B 为S 的一个划分，且()0(1,2,),i P B i n >=则1()(|)()n
i i i P A P A B P B ==∑ 称为全概率公式。
证明：因为
1212()n n A AS A B B B AB AB AB ==⋃⋃⋃=⋃⋃ 由假设()0(1,2,),i P B i n >=且
()(),,,1,2,i j AB AB i j i j n φ=≠= 故：1()(|)()n
i i i P A P A B P B ==∑
再次回到体育彩票问题，使用全概率公式具体
求解第一人和第二人分别摸到奖卷的概率。
教师给予引导，回归到刚提出的问题上，对日常生活中买体育彩票这个事件的样本空间进行划分。
为给出全概率公式做准备。
通过对概率公式的讲
解，具体解
()n P A =
注：定义中的“划分”与“n B 两两
0(1,2,
),i n >=事件满足
”等价。
n B 为S 0,()),i P B n >>则：
1
(|(|))((|)i n i i P A B P A B P A n P P A B ==∑）此公式的证明很简单，利用条件概率记为
2BA ，且已知2()P B A =0.0050.0050.950.995⨯⨯+利用全概率公式，可通过综合分析一事件发生的不同原因及其可能性来求得该事件发生的。