导数的应用：导数及其应用PPT课件

(2)设切点为(x0，x20e－x0)，则切线方程为 y－x20e－x0 ＝e－x0(2x0－x20)(x－x0)，
令 y＝0，解得 x＝xx200－－x20＝(x0－2)＋x0－2 2＋3. ∵曲线 y＝f(x)的切线 l 的斜率为负数， ∴e－x0(2x0－x20)<0.∴x0<0 或 x0>2. 令 g(x0)＝x0＋x0－2 2＋1，
1．已知函数 f(x)＝x2e－x. (1)求 f(x)的极小值和极大值； (2)当曲线 y＝f(x)的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＝x2e－x， ∴f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)． 令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝2. 当 x<0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 0<x<2 时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当 x>2 时，f′(x)<0，f(x)单调递减． ∴x＝0 是极小值点，x＝2 是极大值点． 又 f(0)＝0，f(2)＝e42. 故 f(x)的极小值为 0，极大值为e42.
则 g′(x0)＝1－（x0－2 2）2＝（（x0x－0－2）2）பைடு நூலகம்－2 2.
①当 x0<0 时，(x0－2)2－2>0，即 g′(x0)>0， ∴g(x0)在(－∞，0)上单调递增，∴g(x0)<g(0)＝0. ②当 x0>2 时，令 g′(x0)＝0，解得 x0＝2＋ 2， 当 x0>2＋ 2时，g′(x0)>0，函数 g(x0)单调递增； 当 2<x0<2＋ 2时，g′(x0)<0，函数 g(x0)单调递减． 故当 x0＝2＋ 2时，函数 g(x0)取得极小值，也即最小值且 g(2＋ 2)＝3＋2 2. 综上所述，切线 l 在 x 轴上截距的取值范围是(－∞，0)∪[3 ＋2 2，＋∞)．
导数及其应用
授课：XXX
2021/3/9
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导数的应用涉及的知识点多，综合性强，要么直接求 极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常 与函数的单调性、方程的零点、不等式及实际问题形成知 识的交汇问题，难度较大．
预测2016年的高考，可能出求导法则、切线问题的小 题，还有压轴的综合题．
例 1 已知函数 f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a －4(a∈R)．
(2)当 a＞0，x＞0 时，f′(x)＞0，所以当 a＞0 时，f(x) 在区间(1，2)是增函数．
(2)由 f′(x)＝0， 得 x2＋2ax＋1－2a＝0，Δ＝4(a2＋2a－1)． ①当Δ≤0，即－ 2－1≤a≤ 2－1 时， 函数 f(x)没有极值； ②当Δ>0，即 a<－ 2－1 或 a> 2－1 时， 由 f′(x)＝0，得
x＝－a± a2＋2a－1，
故 x0＝－a＋ a2＋2a－1. ∴1<－a＋ a2＋2a－1<3.(*) 当 a<－ 2－1 时，由(*)式， 得－52<a<－ 2－1； 当 a> 2－1 时，(*)式无解． ∴实数 a 的取值范围是－52，－ 2－1.
1－a，x2＝－1－a
1－a .
若 0＜a＜1，则当 x∈(－∞，x2)或 x∈(x1，＋∞) 时，f′(x)＞0，故 f(x)在(－∞，x2)，(x1，＋∞)上是 增函数；当 x∈(x2，x1)时，f′(x)＜0，故 f(x)在(x2， x1)上是减函数．
若 a＜0 时，则当 x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时， f′(x)＜0，故 f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是 减函数；当 x∈(x1，x2)时，f′(x)＞0，故 f(x)在(x1， x2)上是增函数．
解析：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＝
0 的判别式Δ＝36(1－a)．
①若 a≥1，则 f′(x)≥0，且 f′(x)＝0 当且仅当 a＝1，x
＝－1，故此时 f(x)在 R 上是增函数．
②由于 a≠0，故当 a＜1 时，f′(x)＝0 有两个根：x1
＝－1＋a
求曲线切线方程的步骤是： (1)求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 的导数，即曲线 y＝f(x)在 点 P(x0，f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标 P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下，求 得切线方程为 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 注意：①当曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为 x＝x0； ②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
解析：(1)∵f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4， ∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a. 故在 x＝0 处切线的斜率 k＝3－6a. 又 f(0)＝12a－4， ∴切线方程为 y－12a＋4＝(3－6a)x， 即(3－6a)x－y＋12a－4＝0. 当 x＝2，y＝2 时，(3－6a)·2－2＋12a－4＝0. 故曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线过点(2，2)．
(1)求证：曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线过点(2， 2)；
(2)若函数 f(x)在 x＝x0 处取得极小值，x0∈(1，3)， 求实数 a 的取值范围．
思路点拨：(1)求出函数 f(x)在 x＝0 处的导数和 f(0) 的值，结合直线的点斜式方程，可求切线方程；
(2)先通过讨论导数的零点存在性，得出使函数有 极小值的实数 a 的大致取值范围，然后通过极小值所对 应的点 x0∈(1，3)，得到关于实数 a 的不等式，解不等 式，得出取值范围．
例 2 (2014·全国大纲卷)函数 f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠ 0)．
(1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)在区间(1，2)是增函数，求 a 的取值范围． 思路点拨：(1)首先求出函数的导数，然后求出 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 的解集即可． (2)分类讨论在区间(1，2)上使 f′(x)＞0 成立的条件，并求 出参数 a 的取值范围即可．