机床滚珠丝杠热分析及热补偿讲解

机电工程学院毕业论文
论文题目: 机床滚珠丝杠热分析及热补偿学生姓名：
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指导教师：
2011年5月25日
摘要
现代制造技术正日益向高速化、精密化、自动化、智能化方向发展。

数控机床在加工零件运行过程中，由于机床运动部件间的摩擦生热及周围环境热源的影响等诸多因素都将引起机床热变形。

当机床中某些涉及定位、传动的零部件受到热变形影响时，就会造成机床精度下降，甚至无法制造出符合公差要求的产品。

因此，对机床滚珠丝杠进行热特性分析，并根据分析得出的温度场和位移云图总结如何对其进行补偿是很有必要的。

本文以南京工艺装备制造公司生产的DZHQ120型号工作台所配备的滚珠丝杠为热分析研究对象，首先建立实体模型，再用有限元分析方法建立有限元模型，并借助ANSYS热分析模块对滚珠丝杠进行热特性分析，获得仿真结果，为实施热变形补偿提供理论依据。

最后根据热分析结果，提出它的热变形补偿方案。

本文主要工作概括为如下几个方面：
1. 通过查阅资料建立滚珠丝杠三维温度场数学模型，以及结合弹性力学、热变形基
本方程和有限元理论建立热变形数学模型。

2.根据滚珠丝杠尺寸通过PRO/E建立CAD实体模型，将它导入ANSYS中划分网格，从
而建立热特性有限元模型，为CAE分析奠定基础。

3.通过分析计算得出滚珠丝杠上热源以及边界条件相关数据，加载求解后得出温度梯
度图和热变形位移图。

4.根据有限元热特性计算结果,通过查看丝杠节点温度和变形情况选取测温点，提出
热补偿方案。

关键词：滚珠丝杠热特性有限元 ANSYS 热补偿
Title The thermal analysis and thermal
compensation of the screw ball
Abstract
Modern manufacturing techniques are increasingly developing to direction of high-speed, precision, automation and intelligent. CNC machine operation in the processing part, due to the friction heat between moving parts of machine tools and the heat of the surrounding environment and many other factors will cause the machine tool thermal deformation. When the machine parts involved in some of the positioning and the drive are influenced by the thermal deformation, it will result in the decrease of the accuracy of machine,even it can not manufacture the products to meet tolerance requirements.
Therefore, to analysis the thermal characteristics of ball screw machine, and it is necessary for concluding how to compensate with the analysis derived from the temperature field and displacement cloud chart. In this paper, the ball screw equipped in DZHQ120 work table which is made by process equipment manufacturing company in Nanjing is as the model for the study of thermal analysis, first is to establish solid model, then establish finite element model by the finite element analysis, and using ANSYS thermal analysis module analysis the thermal characteristic of ball screw, and obtain the simulation results for thermal deformation compensation providing a theoretical basis. Finally, based on thermal analysis results, raising program of thermal deformation compensation. The work of this paper summarized the following aspects:
1. Through reading relative information to establish three-dimensional temperature field model of the ball screw, and combine elasticity, the basic equation of thermal deformation and the finite element theory to establish thermal deformation model.
2. According to ball screw size to establish CAD solid model by PRO / E, it would mesh when it is imported into ANSYS, so establishing thermal characteristic finite element model, for founding base of the CAE analysis.
3. It can be got the relevant data of heat on the ball screw and boundary conditions by analyzing, then it can obtain the heat distortion temperature gradient map and displacement map after loading and solving.
4. According to the calculations of thermal characteristic of the finite element, then by viewing temperature and deformation condition of the screw ball nodes to select temperature measurement point, last to raise thermal compensation program.
Keywords Ballscrew Thermal characteristics Finite element ANSYS Thermal deformation compensation
目录
1 绪论 (6)
1.1 课题研究目的和意义 (6)
1.2 国内外研究现状 (7)
1.3 主要研究内容 (8)
2 滚珠丝杠热特性有限元建模 (10)
2.1 传热基本理论 (10)
2.1.1 理论解析 (10)
2.1.2 实验方法 (11)
2.1.3 比拟（类比）方法 (11)
2.1.4 数值计算方法 (11)
2.2 温度场计算的有限单元法 (12)
2.2.1 傅里叶定律 (12)
2.2.2 牛顿冷却公式 (13)
2.2.3 导热微分方程及定解条件 (13)
2.2.3.1 时间条件 (15)
2.2.3.2 边界条件 (15)
2.2.4 稳态温度场的有限元法 (17)
2.3 热变形的有限元法 (20)
2.3.1 热变形有限元法方程的矩阵形式 (20)
2.3.2 热变形基本方程 (23)
2.3.3 热弹性有限元法 (23)
2.4 滚珠丝杠有限元模型的建立 (24)
2.4.1 滚珠丝杠三维CAD模型建立 (25)
2.4.2 滚珠丝杠向CAE模型的转化 (25)
2.4.3 单元类型 (26)
2.4.4 材料属性 (27)
2.4.5 网格划分 (27)
2.5 小结 (28)
3 滚珠丝杠温度场分析 (28)
3.1 滚珠丝杠边界条件的计算 (29)
3.1.1 滚珠丝杠热源及边界条件分析 (29)
3.1.1.1 滚动轴承摩擦热的计算 (29)
3.1.1.2 滚珠丝杠副摩擦力矩的计算 (32)
3.1.2 滚珠丝杠对流边界条件的计算 (32)
3.2 滚珠丝杠相关性能参数 (32)
3.2.1 滚珠丝杠螺母副介绍 (32)
3.2.2 所选滚珠丝杠尺寸参数 (35)
3.2.3 材料物理性能参数 (38)
3.3 滚珠丝杠热源计算 (38)
3.4 温度场的稳态分析 (40)
3.5 小结 (42)
4 滚珠丝杠热变形分析 (42)
4.1 滚珠丝杠热变形分析 (42)
4.1.1 滚珠丝杠热变形位移分析过程 (42)
4.2 测温点的布置 (44)
4.2.1 测温点的布置设计 (44)
4.3 小结 (44)
5 滚珠丝杠热补偿方案 (45)
5.1 热误差补偿原理 (45)
5.2 热误差补偿模型建立的理论分析 (46)
5.2.1 多元线性回归模型 (47)
5.2.2 计算过程 (48)
5.3 热误差补偿实现 (49)
5.4 小结 (49)
结论 (50)
致谢 (52)
参考文献 (53)
1 绪论
1.1 课题研究的目的和意义
据现有资料显示我们的祖先利用及制造工具最早可追溯到石器时代。

时至今日，我们的制造技术经过数代人的改良和创新已有长足的进步，虽然高速加工带来更高的效率，但对机床加工精度和可靠性也有了更高的要求。

现代机械制造业中精密与超精密加工技术已成为行业发展最重要的组成部分和方向，也成为提高国际竞争力的关键因素。

随着生产过程自动化的飞速发展和精密加工的广泛应用，对数控机床加工精度的要求日益提高[1]。

因此机床热态特性分析与改良就成为现代机械制造技术发展中需要研究的重要课题之一。

在机械加工中，机床系统在各种热源（如摩擦热、切削热、环境温度、热辐射等）的综合作用下，产生温度场，最终导致机床、刀具、工件、夹具等因它产生热变形，从而引起工件与刀具的相对位移，不可避免地产生加工误差，最终影响零件的加工精度。

随着制造业的发展，机床主轴转速、伺服进给速度和加工精度不断提高，热变形问题变得更加突出，各种不同类型的机床，热变形误差约占总误差的30%-50%[2]。

在机床进给系统中，滚珠丝杠和螺母之间将产生摩擦热以及支撑轴承的摩擦热，进而产生热变形[3]，滚珠丝杠的热变形将使系统产生位置误差。

由于丝杠高速旋转，热变形将更加严重，甚至有时在机床热变形中占主导地位[4]。

因此，对研究滚珠丝杠热变形误差的产生和它热特性有着重要的意义，这将进一步提高机床加工精度。

滚珠丝杠是在具有螺旋滚道的丝杠和螺母间充满滚珠，这些滚珠作为中间传动件，在螺母上闭合的回路中循环滚动，使丝杠螺母副的运动由滑动变为滚动，以减小摩擦[5]。

其摩擦系数仅为滚动摩擦的2%左右，传动效率提高到0.9以上[6]。

滚珠丝杠主要是作为一种高效高精度的传动与定位元件，在精密机械、航天航空、卫星、仪器仪表、核工业等领域有着广泛应用[7]。

但是高速滚珠丝杠进给系统自然会在结合面上由于摩擦而产生大量的热量。

这些热量会引起热传导，进一步影响加工精度[8]。

所以在高速和高精度机床系统中，丝杠的热变形误差是必须考虑的一项重要误差。

减少热误差，提高机床加工精度有两种基本方法[9]，第一种是误差预防法，这是一种“硬技术”，其通过改进设计和制造途径消除或减少可能的热误差源，提高制
造精度，或者控制温度来满足加工精度要求；第二种是误差补偿技术，人为地造出一种新的误差去抵消当前成为问题的原始误差，这是一种既有效又经济的提高机床加工精度的手段。

1.2 国内外研究现状
在国外，美国的密西根大学、国家标准和技术所（National Institute of Standards and Technology）、辛辛那提大学，日本的东京大学、日立精机、大阪工业机床，德国的阿亨大学、柏林工业大学等在机床热误差补偿技术研究这方面有较大的影响力。

其中美国密西根大学的S.Yang等运用小脑模型连接控制器（CMAC）神经网络建立了机床热误差模型[10]，密西根大学这几年还为美国波音飞机制造公司的一些加工设备实施了误差补偿技术[11]。

日本大阪工机公司（OKK）的TDC-FLILIZY主轴热误差补偿控制器利用模糊控制理论控制主轴的热误差，日本东京大学根据智能制造新概念已开发了由热作动力主动补偿综合误差的新方法，并在加工中心上予以实现[12]。

韩国的S.k..Kim等运用有限元方法建立了机床滚珠丝杠进给系统的温度场[13]。

德国柏林工业大学借助有限元计算机床部件及整机的温度场即变形场[14]。

在国内，宋洪涛等对丝杠磨削过程中磨削热的热源强度进行了分析与计算，解出了丝杠内部温度场的计算方法，对丝杠的热变形规律进行了分析，通过一个计算实例，对丝杠磨削过程中的一些热现象进行了总结[15]。

青岛大学的徐志良等研究了精密丝杠磨削过程中的内部温度分布规律，采用二维热传导模型和简化的一维模型求解了精密长丝杠的内部温度场分布规律，为精密丝杠磨削过程中热变形误差的补偿提供了依据[16]。

合肥工业大学的苗恩铭等分析了热变形和残余应力对精密丝杠加工误差的影响，建立了精密丝杠温度分布和热变形数学模型，提出了基于能量守恒定律、采用平均线膨胀系数的丝杠热变形简化计算方法，分析了磨削残余应力对精密丝杠尺寸变化的长期影响及计算方法[17]。

天津大学对丝杠热误差补偿的在线检测功能进行了开发，并系统地论述了进给速度、预紧力、加工状况以及轴承固定形式等对丝杠热变形的影响；以多体系统理论（MBS）为基础，建立了包含侧头误差、机床几何误差、丝杠和主轴热误差的综合误差补偿模型，开发了热误差补偿的RBF 网络的结构和算法[18]。

目前对于滚珠丝杠热变形误差通过软件系统进行补偿的研究相对较少。

Huang 用多元线性回归对半闭环机床的滚珠丝杠进行热误差建模，用丝杠前后支撑轴承和
螺母三个点的温度及它们的平方项和交叉项来预测不同转速下的热误差[19]。

S.k.Kim 等通过有限元方法分析得出丝杠进给系统温度分布情况。

还有学者使用神经网络方法对丝杠热误差进行补偿等。

当然热补偿方法也存在缺点，如机床特性检测和辨识时间过长；温度传感器的分布位置和个数现在还是依赖经验来确定，并没有严谨的科学论证；补偿模型的鲁棒性以及响应速度等都需要进一步提高。

以上这些原因都将对机床热补偿有一定程度的影响。

1.3 主要研究内容
本课题要解决的主要问题是如何通过ANSYS软件对滚珠丝杠建立有限元模型并加载相关载荷和边界条件，对滚珠丝杠的温度场和热变形进行数值计算，然后根据结果分析设置测温点，提出热补偿方案。

同时，也了解了滚珠丝杠及其相关的基础知识，并掌握及运用ANSYS软件。

根据以上对课题的分析和实际要求，采用以下几步进行研究：
1.滚珠丝杠的有限元建模。

利用有限元法建立温度场的数学模型，并基于热弹性和有限元原理建立热变形有限元方程。

建立机床滚珠丝杠CAD模型，首先在设计允许的范围内对其结构复杂进行简化，接着通过软件绘制得到其几何模型，然后对其进行网格划分，采用手工映射划分的方式。

最后将材料属性赋到有限元单元上，从而完成有限元分析的前处理工作，建立滚珠丝杠有限元模型。

2.滚珠丝杠的温度场分析。

滚珠丝杠在高速运行过程中，其热特性处于很重要的地位，它所产生的热变形将很大程度地制约机床精度的提高。

所以必须先确定滚珠丝杠的温度场，才能研究它的热特性。

因此，滚珠丝杠的热源分析，发热量计算，确定热量传递方式与边界条件，利用这些数据加载到ANSYS软件，计算出滚珠丝杠的稳态温度场。

3.滚珠丝杠的热变形结构分析。

以ANSYS通用有限元分析软件为工具，把稳态温度作为热载荷加到有限元模型上，结合滚珠丝杠的约束，计算滚珠丝杠的热变形位移。

下图1-1为有限元分析过程。

图1-1丝杠有限元分析过程
4.滚珠丝杠的热补偿。

根据热特性分析结果提出热补偿方案。

利用热敏感区域和节点温度与滚珠丝杠热位移进行相关性分析来设计测温点的布局，建立数学模型并联机，实现对滚珠丝杠热补偿。

丝杠具体补偿过程如图1-2所示。

图1-2数控机床滚珠丝杠热误差补偿原理图
2 滚珠丝杠热特性有限元建模
进行滚珠丝杠热特性分析的前提是建立其有限元模型。

它主要包括热特性分析所涉及的温度场和热变形理论，滚珠丝杠有限元模型。

本章首先建立温度场和热变形的有限元方程，然后利用通用有限元分析软件ANSYS建立数字化的仿真模型。

2.1 传热基本理论
本文研究范围是把研究对象滚珠丝杠及周围空气等固体和流体视作连续介质，即各点的有关物理量，如速度、温度和各项物性参数都是空间位置的连续函数。

传热问题类型多，涉及的领域特别广泛。

无论采用何种分析计算方法，建立数学模型的基本依据之一就是能量守恒法则。

从某种角度上看，一切传热问题都遵循的两个基本规律，一个是特定传热问题的特殊规律；第二个是能量守则。

常用的一般研究方法主要有以下几种。

[20]
2.1.1 理论解析
把所研究问题的基本物理特征和规律用一个理想化的数学模型描述出来，并选择适当的数学方法进行求解—理论解析。

因此用数学语言正确描述一个具体的传热问题（即所谓“建模”），并能合理运用数学手段去求解是关键所在。

常用的数学解析方法一般可分为解析法（即直接求解常微分方程或偏微分方程）和积分方程近似
解法两大类。

采用经典的数学方法求解传热中的微分方程，最常用的是分离变量法。

它的优点是能准确求出物体内感兴趣的任何位置的温度值，因此又被称为精确解法。

但是只有在研究对象的几何形状和边界条件都很简单的情况下，才能得出这类问题的解，而且其数学求解过程往往相当复杂，解的结果表达式也十分繁琐，在工程中并不适用。

近似分析解法仍以解析函数形式得出问题的解，它在求解域中整体满足系统的能量平衡关系，但对于任意位置则只是近似地满足。

最典型的近似解法如积分法、摄动法等。

2.1.2 实验方法
由于传热现象的复杂性，有相当的工程问题尚无法用上述理论解析法求出结果，所以，迄今为止实验仍是解决众多工程传热问题不可缺少的重要手段，对于对流换热的分析尤为如此。

传热过程中的变量，即影响因素很多，相互之间关系错综复杂，因此实验必须在正确的理论指导下，这个理论就是“相似理论”。

2.1.3 比拟（类比）方法
有时两类不同领域的物理现象可以用相同的微分方程来描述，如果边界条件也一样，那么它们必定有相同的解。

例如可以用电路中的电阻网络模拟导热中的热阻网络；凡绝热或等温边界，流体温度与表面传热系数恒定，凡没有内热源的二维稳态导热问题，可以根据电场和温度场之间的类比关系用模拟方法求得温度场的近似解，基本原则就是等温线与热流线永远保持正交。

在对流换热中可以用动量传递模拟热量传递；而在辐射换热中也有采用一种特殊的电路分析方法帮助求解。

2.1.4 数值计算方法
一旦遇到研究对象的几何形状不规则，边界条件复杂或呈非线性；有非均匀内热源或物性参数是温度的函数等情况，不仅精确解法无解，就连近似分析解也很难求解。

在这种情况下，数值解法的优越性将充分体现出来。

所谓数值解法，就是通过采用求解一组按一定方式建立起来的代数方程组，得到求解域内有限个离散点上的温度近似值，并以这些温度值近似代替实际物体内连续的温度分布。

近年，随着计算机应用的迅速普及和数值计算方法的不断进步，数值方法已经成为求解各种复杂传热问题不可缺少的重要手段。

常用的数值解法是有限差分法、有限元法和边界元法。

本研究中采用的就是数值法中的有限元法，并借助ANSYS 分析软件进行分析。

用数值法求解稳态传热问题，实质上就是把求解域内时空坐标连续的温度分布函数用该域内若干离散点上的近似温度值的集合代替，这些温度值可通过求解一组代数方程式得到。

所有离散点上温度值的集合就叫做传热问题的数值解。

数值解法的基本步骤是：
（1）分析问题的几何与物理特征，时间与边界条件，以确定它的类型和性质，并给出其数学描述，即控制方程和相应的单值性条件。

（2）将求解域按一定的格式化分为若干子区域，并据此确定温度节点的位置。

这一过程叫做“离散化”。

（3）建立每一个未知温度的节点方程式。

（4）赋初始值并求解这一组代数方程式，得到温度场的离散解。

（5）对温度的分布分析和讨论。

此后可转换分析类型进而求出热流量，热应力等。

2.2 温度场计算的有限单元法
ANSYS 进行热分析计算的基本原理是所处理的对象首先划分成有限个单元（每个
单元包含若干个节点），然后根据能量守恒原理求解一定边界条件和初始条件下每一节点处的热平衡方程，由此计算出各节点温度值，继而进一步求解出其他相关量[21]。

2.2.1 傅里叶定律
傅里叶在1822年根据热力学定律和数学推理，并对热传导做了大量的实验研究，最终建立傅里叶定律：单位时间内通过垂直于热流方向单位面积的热流量，其数值与该处温度梯度的绝对值成正比，方向和温度梯度的方向相反。

即
n
T
q ∂∂-=λ
' （2-1） 式中，'q —热流密度（W/m 2）； λ—导热系数，（W/m ·℃）； T —物体的温度（℃）； n —等温面法向 其中：z z y y x x n z
T
n y T n x T n T ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-λλλλ
此式中：λx ，λy ，λz —材料沿x ，y ，z 方向上的导热系数； n x ,n y ,n z —等温面沿x ，y ，z 方向上的分量； x ，y ，z —笛卡尔坐标的三个方向轴； 2.2.2 牛顿冷却公式
单位时间内，单位面积上对流传热的热量用牛顿冷却公式来计算 )('B S T T h q -= （2-2） 式中，h —对流换热系数（W/（m 2·℃））； Ts —固体表面温度（℃）； T B —周围液体温度（℃）。

2.2.3 导热微分方程及定解条件
温度场指的是滚珠丝杠上各点的温度分布，一般表达式为：T=f （x ，y ，z ，t ），即物体上某点的温度T ，随该点所处的空间坐标位置（x ，y ，z ）和所处的时间t 而变。

随时间而变的温度场称为不稳定温度场或瞬态温度场。

当机床开动以后，滚珠丝杠各点的温度逐渐升高，等到生热和散热达到平衡时，即所谓滚珠丝杠达到热平衡，这时它温度场不随时间变化，称为稳态温度场，可表示为：T=f （x ，y ，z ）。

首先研究在直角坐标系中，导热固体内部任一微元体的瞬态热平衡。

为了减少问题的复杂性，这里只讨论固体和静止流体，并假定物体是连续和均质的。

图2-1导热微元体模型
如图2-1所示，在导热物体中取一微元体dxdydz 。

由能量守恒定律，导入微元体的净热流量△Q d 与单位时间内热源产生的热量△Q v 之和，等于单位时间内微元
体热力学能的增量△U ，即
U Q Q v d ∆=∆+∆ （2-3） 在x 处，通过微元体表面导入微元体的热流量为 dydz x
T
Q x ∂∂-=λ
（2-4） 在x+dx 处，通过微元体表面导出微元体的热流量为 dx dydz x T x Q dx Q Q x x x x ⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂+=∂∂+
λ dxdydz x
T
Q x 22∂∂-=λ （2-5）
在x 方向上导入微元体的净热流量为 dxdydz x
T
Q Q Q dx
x x x 22∂∂=-=∆+λ （2-6）
同理，在y 和z 方向上导入微元体的净热流量为
dxdydz y
t
Q y 22∂∂=∆λ （2-7）
dxdydz z
t
Q z 22∂∂=∆λ （2-8）
三个方向上导入微元体的净热流量为 z y x d Q Q Q Q ∆+∆+∆=∆
dxdydz z T y T x T ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=222222λ （2-9）
单位时间内微元体内热源产生的热量为
pqdxdydz Qv =∆ （2-10） 式中，p —材料密度（kg/m 2）；
q —物体内部体热源强度（W/m 2）。

单位时间内微元体热力能（内能）的增量为 dxdydz t
T
pc
U ∂∂=∆ （2-11） 式中，c —材料比热（J/（Kg ·℃））；
T=T(x,y,z,t)—物体的温度函数； t —时间（s ）。

将式（2-9）、（2-10）、（2-11）代入式（2-3），整理后得
pq z T y T x T t T pc +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂222222λ （2-12a ） 或
c
q
T pc t T +∇=∂∂2λ （2-12b ） 式中，▽2—拉普拉斯运算子，即
2222222
z
T
y T x T T ∂∂+∂∂+∂∂=∇
若材质不是均匀的，即各相异性，这时得到更为普遍的导热微分方程 pq z T z y T y x T x t T pc
z y x +⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂λλλ （2-13） 式（2-12a ）和（2-13）称为导热微分方程，是在能量守恒定律和傅里叶定律的基础上建立起来的，实质上是导热的能量方程。

导热微分方程是一普适方程，它是对导热物质内部温度场内在定律的描述，适用于所有导热过程，因而如果要获得特定情况下导热问题的解必须加限制条件。

这些限制条件称为定解条件。

它包括时间条件和边界条件。

2.2.3.1 时间条件
时间条件是指某一时刻导热物体内的温度分布。

如以该时刻作为时间的起算点，则时间条件称为初始条件。

最简单的初始条件是初始温度分布均匀，即
T （x ，y ，z ，t ）=T 0 （常数） （2-14a ） 这便是稳态导热，导热物体内的温度分布不随时间变化，初始条件没有意义，所以非稳态导热的求解才有初始条件。

2.2.3.2 边界条件
边界条件是指导热物体边界处的温度或表面传热情况。

由于物体边界处传热的特点不同，边界条件通常分为以下三类：
（1）第一类边界条件：给定物体边界上任何时刻的温度分布。

对于非稳态导热给定以下的关系式：
T=T(x ，y ，z ，t)（在Γ1边界上） （2-15a ）
当边界条件均匀时，式2-14a 可简化为
T=T （t ）（在Γ1边界上） （2-15b ） （2）第二类边界条件：给定物体边界上任何时刻的热流密度q´。

对于非稳态导热，给定以下关系式：
()t z y x q n z
T
n y T n x T z z y y x x
,,,'=∂∂+∂∂+∂∂λλλ（在Γ2边界上） （2-16a ） 同样，边界条件均匀时
()t q n z
T n y T n x T z z y y x x
'=∂∂+∂∂+∂∂λλλ（在Γ2边界上） （2-16b ） （3）第三类边界条件：给定物体边界与周围流体间的表面传热系数h 及周围流体的温度T B 。

由固体壁导热量与表面传热量相等，得
()T T h n z
T n y T n x T B z z y y x x
-=∂∂+∂∂+∂∂λλλ（在Γ3边界上） （2-17） 式中，已知流体温度T B 和边界面的表面传热系数h ，而边界面的温度T 和温度变化率n
T
∂∂都是未知的，这正是第三类边界条件和第一、第二类边界条件不同的地方。

以上边界条件中，第一类边界条件是强制条件，第二、三类边界条件是自然边界条件。

设温度场求解域为Ω，那么Γ1+Γ2+Γ3=Γ，Γ是域Ω的全部边界。

求解瞬态温度场问题是求解在初始条件下，即在
T （x ，y ，z ，0）=T （x ，y ，z ） （2-18） 条件下满足瞬态热传导方程及边界条件的场函数T （x ，y ，z ，t ）。

如果边界上的T （t ）、q’（t ）和T B 及内部q 不随时间变化，则经过一定时间的热交换后，物体内各点温度也将不再随时间而变化，即
0=∂∂t
T
（2-19） 这时，瞬态热传导方程就退化为稳态热传导方程了，即
0=+⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂pq z T z y T y x T x z y x λλλ（在Ω内） （2-20） 求解稳态温度场的问题就是求满足稳态热传导方程及边界条件的温度场变量T ，稳态温度场的温度分布与初始条件无关，它是只有边界条件而没有初始条件的导
热问题，T 只是坐标的函数，与时间无关。

2.2.4 稳态温度场的有限元法
稳态热传导温度场问题与时间无关，稳态温度场的有限单元法求解和弹性静力学问题基本相同，对于热传导问题，场变量是温度，是标量场，稳态热传导问题存在变分泛函，由变分建立的有限元方程与用迦辽金法建立的有限元方程是一致的。

本文研究三维热传导问题，采用迦辽金法建立稳态温度场有限单元法问题的求解一般格式。

先构造一个近似函数∧
T ，并设∧
T 已满足Γ1边界上的强制边界条件，将近似函数∧
T 代入场函数（2-20）及Γ2和Γ3边界条件中，因∧
T 的近似性，将产生余量，即
⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎪⎪⎪
⎪⎪⎬⎫
⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=-⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=+⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∧∧
∧∧Γ∧∧∧Γ∧∧∧ΩT T h z T z y T y x T x R q z T z y T y x T x R pq
z T z y T y x T x R B z y x z y x z y x λλλλλλλλλ32' （2-21） 用加权余量法建立有限元格式的基本思想就是使余量的加权积分为零，即
032133
22
=Γ⎰+Γ⎰+Ω⎰ΓΓΓΓΩΩ
d R d R d R ωωω （2-22）
式中w 1、w 2、w 3 是权函数。

式（2-22）的意义是使方程（2-20）和自然边界条件式在全域及边界上得到加权意义上的满足。

将（2-21）代入（2-22）中，并进行分部积分可得
+Ω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎰-∧
∧∧Ωd pq z T z y T y x T x z y x 1111ωλωλωλω +Γ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎰∧
∧∧d n z T n y T n x T
z z y y x x λλλω1 +Γ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-∂∂+∂∂+∂∂⎰∧∧∧Γd q n z T n y T n x T z z y y x x 2'2ωλλλ。