高数知识汇总之级数

第七章 级数
7.1
常数项级数的概念与性质
7.1.1 常数项级数的概念 常数项级数： 一般的，设给定数列
12,,,,n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式
12n a a a ++++ 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；
其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。

级数简记为：
1
n
n a
∞
=∑，即
121
n
n n a
a a a ∞
==++++∑
部分和：
作（常数项）级数12
n a a a ++++ 的前n 项的和121
n
n n i i S a a a a ==+++=∑ ，
n S 称为级数（1）的前n 项部分和。

当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。

级数收敛与发散： 如果级数
1
n
n a
∞
=∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞
=（有限值），则称无穷级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++。

如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞
不存在或为±∞），则称无穷级数
1
n
n a
∞
=∑发散。

常用级数：
（1）等比级数（几何级数）：
n
n q
∞
=∑
1
11q q - 当时收敛于
1q ≥当发散
（2）p 级数:
11p
n n
∞
=∑ 11p p ≤ 当时收敛当时发散
级数的基本性质： 性质1： 若级数
1n
n a
∞
=∑收敛于和S ，则级数
1
n
n Ca
∞
=∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。

性质2： 若级数
1
n
n a
∞
=∑和级数
1
n
n b
∞
=∑分别收敛于和S 、σ，则级数
()1
n
n n a
b ∞
=±∑也收敛，且其和为
S σ±。

注意：如果级数
1n
n a
∞
=∑和
1
n
n b
∞
=∑都发散，则级数
()1n
n n a
b ∞
=±∑可能收敛也可能发散；而如果两个级数
1
n
n a
∞
=∑和
1
n
n b
∞
=∑中有且只有一个收敛，则
()1
n
n n a
b ∞
=±∑一定发散。

性质3：
在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。

性质4： 若级数
1
n n a
∞
=∑收敛，则对该级数的项任意加括号后所构成的新的级数
1121111()()()n n k k k k k a a a a a a -++++++++++++
仍收敛，且其和不变。

注意：该性质的逆命题不成立。

即，若一个级数加括号后的新级数收敛，则不能推出原级数收敛。

推论1：
若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。

性质5： 若级数
1
n n a
∞
=∑收敛，则
lim 0n n a →∞
=。

注意：lim 0n n a →∞
=仅仅是级数1
n
n a
∞
=∑收敛的必要条件，而非充分条件。

7.2 常数项级数的审敛法
7.2.1 正项级数收敛的充要条件
正项级数：
若0n a ≥()1,2,3,n = ，则称级数
1
n
n a
∞
=∑是正项级数。

正项级数
1
n
n a
∞
=∑收敛的充分必要条件：
它的部分和数列{}n S 有界（有上界）。

7.2.2 正项级数的审敛法
比较审敛法： 设
1
n n a ∞
=∑和1
n
n b
∞
=∑都是正项级数，且n n a b ≤()1,2,3,n = 。

则
⑴若级数
1n
n b
∞
=∑收敛，则级数
1n
n a
∞
=∑收敛；
⑵若级数
1
n
n a
∞
=∑发散，则级数
1
n
n b
∞
=∑发散；
推论：设
1
n n a ∞
=∑和1
n n b ∞
=∑都是正项级数，如果级数1
n
n b ∞
=∑收敛，且存在正整数N ，使得
当n N ≥时有n n a Cb ≤()0C >成立，则级数
1
n
n a
∞
=∑收敛；如果级数
1
n
n b
∞
=∑发散，且当
n N ≥时有n n a Cb ≥()0C >成立，则级数
1n
n a
∞
=∑发散。

比较审敛法的极限形式：设
1
n n a ∞=∑和1
n
n b
∞
=∑均为正项级数，lim
n
n n
a l
b →∞=，那么
⑴若0l <<+∞，级数
1
n n a ∞
=∑和1
n n b ∞
=∑同时收敛或同时发散 ⑵若0l =，且级数
1
n n b
∞
=∑收敛，则级数
1
n
n a
∞
=∑收敛
⑶若l =+∞，且级数1
n n b
∞
=∑发散，则级数
1
n
n a
∞
=∑发散
比值审敛法： 设
1
n
n a
∞
=∑为正项级数，如果
1lim n n n a
a ρ+→∞=则
(1)1ρ<时，级数
1
n
n a
∞
=∑收敛；
(2)1ρ>时，级数
1
n n a
∞
=∑发散；
(3)1ρ=时，级数
1
n
n a
∞
=∑可能收敛也可能发散。

根值审敛法、极限审敛法不考。

7.2.3 交错级数及其判别法
莱布尼茨判别法： 如果交错级数
1
1(1)n n n a ∞
-=-∑满足条件： ⑴ 1n n a a +≥ ()1,2,3,n = ⑵ lim 0n n a →∞
=
则级数
1
1
(1)
n n n a ∞
-=-∑收敛，且其和S 满足1S a ≤，余项n r 的绝对值满足1
n n r a +≤。

注意：莱布尼茨定理只是交错级数收敛的一个充分条件，并非必要条件。

当定理中的两个
条件不满足时，不能由此判断交错级数是发散的。

7.2.4 任意项级数的绝对收敛与条件收敛
任意项级数： 对于一般的常数项级数
121
n
n n a
a a a ∞
==++++∑ ，其中n a ()1,2,3,n = 为任意实
数，可以是正数、负数或0，这种级数又称为任意项级数。

对应地，可以构造一个正项级数121
||||||||n
n n a
a a a ∞
==++++∑ 。

绝对收敛判别法： 定理：
若级数
1
||n
n a
∞
=∑收敛，则级数1
n n a ∞
=∑收敛。

（绝对收敛的级数必收敛。

）
定义： 设
1
n
n a
∞
=∑为任意项级数，
⑴如果级数
1
||n
n a
∞
=∑收敛，则称级数1
n n a ∞
=∑绝对收敛
⑵如果级数
1
||n
n a
∞
=∑发散，但是级数1
n n a ∞
=∑收敛，则称级数1
n n a ∞
=∑条件收敛。

对于任意项级数敛散性的判别方法：
对于任意项级数，通常先判断它是否绝对收敛，若是，即可得出结论；若否，则进一步判定它是条件收敛还是发散。

对于任意项级数的比值审敛法： 对任意项级数
1
n n a ∞
=∑
，设1
lim
n n n a a ρ+→∞=则
(1)若1ρ<时，则
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛，因而
1
n
n a
∞
=∑收敛；
(2)若1ρ>时，则
1
n
n a
∞
=∑发散；
(3)若1ρ=时，此法失效。

7.3 幂级数
7.3.2 幂级数及其收敛性
幂级数： 形如
()
()()() +-++-+-+=-∑∞
=n
n n n
n
x x a x x a x x a a x x a 02
020100
的级数，称为
幂级数，其中0x 是任意给定的实数， ,,,,,210n a a a a 称为幂级数的系数。

当00=x 时，上式变为 +++++=∑∞
=n n n n n
x a x a x a a x a
22100。

收敛半径与收敛域：
阿贝尔定理：设幂级数
∑∞
=0
n n
n x
a = +++++n n x a x a x a a 2210，若该幂级数在
0x x =)0(0≠x 处收敛, 则对于满足条件0x x <的一切x , 该级数绝对收敛。

反之, 若它在0x x =时发散, 则对一切适合不等式0x x >的x , 该级数发散。

推论: 如果幂级数∑∞
=0n n
n x a 不是在),(∞-∞上每一点都收敛,也不是只在0=x 处收敛,那么
必存在一个唯一的正数R, 使得: (1) 当R x <时, 幂级数
∑∞
=0
n n
n x
a 收敛;
(2) 当R x >时, 幂级数
∑∞=0
n n
n x a 发散;
(3) 当R x =或R x -=时, 幂级数
∑∞
=0
n n
n x
a 可能收敛,也可能发散。

则称这个数
为幂级数的收敛半径 ，称区间),(R R -为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛
区间内绝对收敛。

由幂级数在
处的收敛性就可以决定它在区间
或
上收敛, 该区间叫做幂级数的收敛域。

（收敛域为收敛区间加上收敛的端点，是幂级数的所有收敛点组成的集合） 和函数：
对于收敛域内的任意一个数x ，幂级数为该收敛域内的一个收敛的常数项级数，于是有一个
确定的和S . 这样，在收敛域上，随着数x 的变化，总有一个确定的和S 与之对应，故幂级数的和是
x 的函数，记为)(x S ，通常称)(x S 为幂级数的和函数。

收敛半径的求法： 设幂级数
∑∞
=0
n n
n x
a ,其系数当N n ≥时0≠n a (N 为某一个正整数), 且存在极限
ρ=+∞→n
n n a a 1
lim
则
(1) 当+∞<<ρ0时,收敛半径ρ
1
=
R ;
(2) 当0=ρ时,收敛半径+∞=R ; (3) 当+∞=ρ时,收敛半径0=R 。

7.3.3 幂级数的性质
加法与减法（收敛性）:
设幂级数 +++++n n x a x a x a a 2210和 +++++n n x b x b x b b 2210的收敛半径分别为a R 和b R (均为正数) , 取),min(b a R R R =,则在区间),(R R -内成立：
∑∞
=±0)(n n
n n x b a =∑∞
=0
n n n x a ∑∞
=±
n n
n x
b
幂级数的和函数的性质： 设幂级数
∑∞
=0
n n
n x
a 在),(R R -内收敛，且其和函数为)(x S ,则
（1）和函数的连续性：
)(x S 在),(R R -内连续. 若幂级数在R x =(或R x -=)也收敛, 则)(x S 在R x =处左连续
(或在R x -=处右连续).
（2）逐项求导数：
)(x S 在),(R R -内每一点都是可导的,且有逐项求导公式:
∑∑∑∞=∞
=-∞
=='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='0
110)()(n n n n n
n n n n x na x a x a x S
求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径R 。

反复应用该结论可得: 幂级数∑∞
=0
n n
n x
a 的和函数)(x S 在收敛区间内具有任意阶导数。

（3）逐项求积分：
)(x S 在),(R R -内可以积分,且有逐项积分公式:
⎰
⎰∑⎰∑∑∞=∞=+∞=+==⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x
x
n x n n n n
n n n n x n a dx x a dx x a dx x S 0
000
0101)(,
其中x 是),(R R -内任一点,积分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径R 。

注意：
经过逐项求导和求积所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径，但区间端点处的收敛性会有所不同。

若逐项求导或逐项积分后的幂级数
∑∞
=0
n n
n x
a 在R x =处收敛,则1
)(-∞
=∑=
'n n n
x
na x S 或
⎰
∑
∞
=++=x
n n n x n a dx x S 0
1
1)(对R x =处也成立，在R x -=处有类似的性质。

7.4 函数展开成幂级数
7.4.2 泰勒级数
+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00
lim )(,)()!1()
()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ
7.4.3 函数展开成幂级数
常见函数的泰勒展开式：
()01,1,11n
n x x x ∞==∈--∑ ()()0
11,1,11n n n x x x ∞==-∈-+∑
()()2101sin ,,(21)n
n n x x x n +∞
=-=∈-∞+∞+!
∑ ()()20(1)cos ,,2n n n x x x n ∞
=-=∈-∞+∞!∑
()0,,x
n n x e x n +∞
==∈-∞+∞!∑ ()()(]1
1ln 1,1,1
1n n n x x x n +∞=-+=∈-+∑
掌握了函数展开成麦克劳林级数的方法后，当要把函数展开成x-x 0的幂级数时，只需要把f (x )
转化成x-x 0的表达式，把x-x 0看成变量t ，展开成t 的幂级数，即得x-x 0的幂级数。

7.5 傅里叶级数
7.5.1 三角级数、三角函数系的正交性
三角级数：
一般地，称形如∑∞
=++=1
)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x F 的级数为三角级数。

其中n n b a a ,,0( ,2,1=n )都是常数, 称其为该三角函数的系数。

若∑∞
=++=1
)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x F 收敛, 其和函数必定是一个以π2为周期的函数
三角函数系及其正交性：
三角函数系 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 有以下性质： (1) 三角函数系具有共同的周期π2。

(2) 三角函数系在],[ππ-上具有正交性. 即三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在
],[ππ-上的积分都等于零。

⎰⎰-
-=⋅=⋅π
π
π
π
0sin 1cos 1nxdx nxdx ( ,2,1=n )
⎰-
=π
π0sin cos mxdx nx ( ,2,1,=m n )
⎰⎰-
-
==πππ
π0sin sin cos cos mxdx nx mxdx nx (n m m n ≠=,,2,1, )
7.5.2 函数展开为傅里叶级数
函数)(x f 的傅里叶系数：
设)(x f 是周期为π2的周期函数，在区间[π-,π]上可积，则
1()cos 0,1,2,1()sin 1,2,n n a f x nxdx n b f x nxdx n ππ
ππππ--⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
⎰⎰ 称为函数)(x f 的傅里叶系数。

傅里叶级数：
以)(x f 的傅里叶系数为系数的三角级数∑∞
=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，称为函数)(x f 的
傅里叶级数，表示为()f x =∑∞
=++1
0)sin cos (2n n n nx b nx a a 。

Dirichlet 定理, 收敛定理：
设)(x f 是以π2为周期的函数, 如果它满足:
(1)在一个周期内连续或只有有限多个第一类间断点;
(2)在一个周期内，至多只有有限多个极值点(即不作无限次振动) 则)(x f 的傅里叶级数在),(∞-∞上处处收敛, 并且 当x 是)(x f 的连续点时, 级数收敛于)(x f ;
当x 是)(x f 的间断点时, 级数收敛于)]()([2
1+
-+x f x f ; 非周期函数展开为傅里叶级数：
对于非周期函数,如果函数)(x f 只在区间[π-,π]上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅里叶级数。

作法:
在区间[,)ππ-或(,]ππ-外补充f (x )的定义，使它延拓成一个周期为2π的周期函数F (x ), 这种拓广函数定义域的方法称为周期延拓。

将作周期延拓后的函数F (x )展开成傅里叶级数，然后再限制x 在区间(),ππ-内，此时显然有F (x )= f (x )，这样便得到了f (x )的傅里叶级数展开式，这个级数在区间端点π=±x 处，收敛于
()()
002ππ-+-+f f
7.5.3 正弦级数与余弦级数
定理：
定义：
(1)当周期为π2的奇函数)(x f 展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为
)
,2,1(sin )(2),2,1,0(00 =π
===⎰
π
n nxdx x f b n a n n (2)当周期为π2的偶函数)(x f 展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为),2,1(0),2,1,0(cos )(20 ===π
=⎰
π
n b n nxdx x f a n n
如果)(x f 为奇函数,傅氏级数nx b n n sin 1
∑∞=称为正弦级数.如果)(x f 为偶函数, 傅氏级数nx a a n n cos 21
0∑+∞=称为余弦级数.。