Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用

Banach空间压缩映像原理和不动点原理及
其应用
——摘要
本文进一步揭示了Banach空间压缩映像原理与完备性的关系,对压缩映像原理与不动点的相关理论做了详细地阐述，并对Banach 空间中压缩映像原理与不动点原理的应用做了详细的举例说明。

——关键词
Banach空间压缩原理完备性不动点
——引言
泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。

在泛函分析中，Banach空间理论在隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理等等中，否起到了关键的作用，且都归结为一个定理——不动点定理。

这正是抽像的结果。

=的求解问题，是分析学的各不动点定理实际上是算子方程Tx x
个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。

——正文
⒈Banach空间压缩映像定理及其应用
随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。

几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。

但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。

而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映像）的不动点。

例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach空间压缩映像定理。

定义（压缩映像）
设T是度量空间X到X中的映像，如果对都有（是常数）则称T 是X上的一个压缩映像。

从几何上说：压缩映像即点x和y经过映像T后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍）
定理1（Banach压缩映像原理）1922年（Banach 1892-1945 波兰数学家）设（X,d）是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映像，则丅有唯一的不动点。

即存在x属于X，使得Tx=x。

（证明存略）对于压缩映像原理的应用，最典型的有以下几个定理可说明问题。

定理2（隐函数存在定理）
设)
,
u=在带状区域}
f
(y
x
b
=y
x
x
D上处处连
≤
y
a
<
:)
,
,
{(+∞
-∞
<
≤
续，处处有关于y 的偏导数
),('y x f y ,且如果存在常数
m,M ，适合
M y x f m y ≤≤<),(0'.则方程0),(=y x f 在闭区间[]b a ,上有唯一的连续函
数)(x y ϕ=,使0))(,(=x x f ϕ。

证：（在[
]
C b a
中考虑映像
()()x x f M
T ϕϕϕ,1
-
=，若其为压缩映像，
则有不动点()()x x f T ϕϕϕ,⇒=0≡）
在完备度量空间[
]
C b a
中作映像
()()x x f M
T ϕϕϕ,1
-
=,显然,对
[]
C b a
∈∀
ϕ由连续函数的运算性质有
[]
C b a
T ∈ϕ。

T ∴是[]
C b a
到自身的一个映像
下证是压缩的. 即证
()()[]
1
0,,,,,212121<<∈∀≤αϕϕϕϕαϕϕC b a
d T T d ,任取
[]
C b a
∈21,ϕϕ由微分中值定理,存在10<<θ,使
()()()()x x f M x x f M T T 112212,1,1ϕϕϕϕϕϕ---=-
()()()()()[]()12121'
12,1ϕϕϕϕθϕϕϕ--+-
-=x x x x f M y
()()⎪⎭⎫
⎝⎛
-
-≤M
m x x 112ϕϕ
令
M
m -
=1α 则 10<<α,故 1
212
ϕϕαϕϕ
-≤-T T
取最大值 ()()10,,,1212<<≤⇒αϕϕαϕϕd T T d
∴映像T 是压缩的.由Banach 压缩映像定理
在[
]
C b a
上有唯一的不动点()x ϕ使 ϕϕ=T
显然这个不动点适合()()0,≡x x f ϕ
注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映像（这是
难点）,然后证明此映像是压缩的，最后利用定理即得。

注意到这是利用Banach 压缩映像定理解题的一般方法。

② 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数ϕ=y ()x .
下面我们介绍Banach 不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用--Picard 定理.
定理3：（Picard 定理 Cauchy--Peano 微分方程解的存在唯一性定理）
设
()
x t f ,在矩形
(){
}b x x a t t x t R ≤-≤-=00,:,上连续,设
()()R
x t M x t f ∈≤,,,又()x t f ,在R 上关于x 満足Lipschitz （德国人
1832--1903）条件,即存在常数k 使对()()R x t x t ∈∀21,,,有
()()2
121,,x x k x t f x t f -≤-,那么方程
()x t f dt dx
,=在区间[]
ββ+-=00,t t J
上
有唯一的满足初始条件()0
x t x =的连续函数解.其中
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<k M b a 1,,
min β
证：设[]
ββ
+-00
t t C 表示在区间[]ββ+-=00,t t J 上的连续函数全体。

对
()()()
t y t x J
t y x d -∈=
max ,成完备度量空间。

又令~
C 表示[]
ββ
+-00
t t C 中
满足条件
()()()
J t M t x t x ∈≤-β0的连续函数全体所成的子空间。

显然~
C
闭,因而~
C 也是完备度量空间.
令
()()()τ
ττd x f x t Tx t
t ⎰+=0
,0
b M ≤β 如果 ()~
C t x ∈当 J t ∈时,()()R t x t ∈,
而 ()x t f ,是R 上的二元连续函数,∴映像中积分有意义。

又对一切
()()()b
M t t M d x f x t Tx J
t t
t ≤≤-≤=
-∈⎰βτ
ττ000
,
()~
C t Tx ∈∴ 故T 是~
C 到~
C 的一个映像
下证是压缩的。

由Lipschitz 条件,对~
C 中的任意两点 ()()t v t x , 有
()()()()[]τττττd v f x f Tv Tx t
t ⎰-=
0,,,
()()()()⎰-≤t t d v f x f 0
,,τττττ
()()()
v x d k t v t x J
t k t t ,max 0⋅≤-∈⋅
⋅-≤β
令 βαk =,则由 ⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧<k M b a 1,,
min β有 10<<α.
则
()()
v x d Tv Tx J
t Tv Tx d ,max ,α≤-∈=
故T 是压缩的。

由Banach 压缩映像定理,T 在~
C 中有唯一的不动点. 即 ()~
C t x ∈∃ 使 ()()t x t Tx = 即
()()()τ
ττd x f x t x t
t ⎰+=0
,0 且 ()00x t x =
()x t f dt dx
,=∴
即 ()t x 是满足初值条件的连续解。

再证唯一性。

如果 ()t x x ~
~
= 也是 ()x t f dt dx
,= 满足 ()00x t x =的连续解.
那么
()()τ
τd x f x t x t
t ⎰
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+
=0
~0~
, 因而 ~
~C x ∈
而且也是T 的不动点.而T 的不动点是唯一的. 故 ()()t x t x ≡~
()x t f dt dx
,=∴
有唯一解。

注：题设条件中Lipschitz 条件的要求是十分强的，它保证了解的唯一性。

实际上満足Lipschtz 条件即为一致收敛。

因而可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广义解，即只要求满足积分方程
()()()τ
ττd x f x t x t
t ⎰+=0,0则题设条件可大大放宽：只要 ()
x t f ,有界,即可利用Lebesgue 控制收敛定理得到广义解。

注意到Banach 压缩映像定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取 ,0X x ∈令
x T x n n = 则解
n
x n x ∞
→=
lim .且在Banach 不动点定理的证明中,有
()()
01,1,x x d x x d n
n αα-≤.即此式给出了用n x 逼近解x 的误差估计式。

⒉不动点定理的应用 不动点证明数列极限定理
对于数列{}n x
，设01x =，
1+2
+1n n n x x x +=。

求证：lim 2n n x
=。

证明：由
01
x =，
1+21
1+1+1+1n n n n x x x x +=
= 。

令
()()2
,11
x f x x x +=
+，则
()()
()
2
1
1
,12
1f x x x ¢=-３+。

那么{}n x
一定存在极限，设其为x 。

那么
2
1x x x +=
+，可得()22x x ==-或舍
，故lim 2
n
n x
=。

不动点定理在图论中的证明
把一张小比例尺的地图，放在一张同地区的大比例尺地图内，则有且仅有一个地名重合( 有一个坐标相同的点相重合)。

证明: 把大地图中所有的地名( 包括未写出来的) 看作定理1中的X( 距离按通常定义)；把小地图所覆盖的区域看作大地图到自身的映像, 显然这是一个完备度量空间中的压缩映像问题, 故结论成立。

此外不动点原理还可以应用在数列通项公式中，求方程解中。

此处不做一一说明了。

参考文献
⒈王声望、郑维行．实变函数与泛函分析概要．第二版．高等教育出版社．2010
⒉程其襄、张奠宇.实变函数与泛函分析基础.第二版.高等教育出版社.2003
⒊张石生.不动点理论及其应用.重庆大学出版社.1984。