【数学】超几何分布与二项分布的区别与联系

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。在实际应用中，如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢？本文笔者就此问题予以阐述。

一、超几何分布与二项分布的定义

1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为

P (X=k)=

C M k C n－m n－k

C N

n

，k=0，1，2，…，m

其中m=min {M,n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N*。其分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。

2.一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次

独立重复试验。在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为

P (X=k)=C n k P k

（1-p ）

n-k

，k=0，1，2，…，n 。此时

称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p)，并称p 为成功概率。

二、超几何分布与二项分布的区别

从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果（不研究试验中先后取的顺序），并且是无放回的抽取；二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果，并且是有放回的抽取。超几何分布是无放回的抽取，即每做一次试验，下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化，即每次发生的概率都不相等。实质上，超几何分布是古典概型的一种特例。二项分布是有放回的抽取，每做一次试验，发生同一事件A 的概率都相同。这就是二者之间的区别。本文笔者举例说明：

例1：在装有4个黑球6个白球的袋子中，任取2个，试求：(1)不放回地抽取，取到黑球数X 的分布列；(2)有放回地抽取，取到黑球数的分布列。

解：（1）是不放回地抽取，X 服从超几何分布。从10个球中任取2球的结果数为C 102

，从10个球中任取2

个，其中恰有k 个黑球的结果数为C 4k C 62-k

，那么从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的概率为

P （X=k ）=

C 4k C 62－k

C 10

2

，k=0，1，2。

所以随机变量X 的分布列是

（2）是有放回地抽取，每次抽到黑球的概率相同，X ～B (2,0.4)。那么从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的概率为

P （X=k ）=C 2K

·0．4K ·0．62－K ，k=0，1，2。所以随机变量X 的分布列是

三、超几何分布与二项分布的联系

例2某批n 件产品的次品率为2%，现从中任意地抽出3件进行检验。问：当n=500，5000，50000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？

解：（1）当有放回地抽取时，次品数X ～B (3,0.02)

P （X=1）=C 31

·0．02

·（1－0．02）2≈0．057624（2）无放回地抽取时，X 服从超几何分布

n=500时，P （X=1）=

C 101C 4902

C 500

3

≈0．057853n=5000时，P （X=1）=

C 1001

C 49002C 5000

3≈0．057647n=50000时，P （X=1）=

C 10001

C 49000

2

C 50000

3

≈0．057626

说明：当产品总数很大而抽出的产品较少时，每次抽出产品后，次品率近似不变，这样就可以近似看成每次抽样的结果是相互独立的，抽出产品中的次品件数近似服从二项分布。

总之，在教学过程中，教师要让学生深刻体会超几何分布与二项分布的区别与联系，引导学生发掘题中所给的隐含条件，抓住实质，从而能够正确解题，并能利用所学知识解决一些实际问题。

超几何分布与二项分布的区别与联系

X 012P

0．36

0．48

0．16