三次函数的单调区间和极值ppt课件

图象
减区间: (-∞, +∞)
△<0
减区间: (-∞, +∞)
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11
热身训练：已知函数 f (x) x3 3x2 ax 2 （1）函数 f(x)在 R 上单调函数，求实数 a 的取值范围
（2）函数 f（x）有极值，求实数 a 的取
值范围
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解：f ' (x) 3x2 6x a
令f ' (x) 0
-6 -6
-8 -8
5
10
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结论:
1. 三次函数没有极值或极大值小于零或 极小值大于零时图象与x轴交点只有一个；
2. 三次函数极大值等于零或极小值等于 零时图象与x轴交点有二个；
3. 三次函数极大值大于零且极小值小于 零时图象与x轴交点有三个.
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.
个不同的交点，求 m 的取值范围；
函数与方程， 数形结合
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f(x)与g(x)的
图象有交点
f(x)=g(x) 有实数根
F(x)=f(x)g(x)有零点
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课堂小结
知识技能
思想方法
成功体验
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知识技能： 1、会利用导数求三次函数单调区间和极值 注：含参数三次函数单调性分类标准其导函数 二次函数对应的方程的实根是否存在，若存在 判断两根的大小
2、通过三次函数图象研究函数零点个数 思想方法： 数形结合，函数与方程，分类整合， 转化与化归等数学思想
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1、设 a>0，函数 f(x)＝axx2＋＋1b(b 为常数)． (1)证明：函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个； (2)若 b=0，函数 f(x)的极大值为 1, 试求 a 的值．此 时 f(x)=2 有几个根？
小结：利用导数求函数单调性步骤
2
f (x) 2x3 3x2
f '(x) 6x2 6x
3
f (x) 3x3 6x2 4x 5
f '(x) 9x2 12 x 4
4
f (x) x3 2x2 2x 7
f '(x) 3x2 4x 2
5
f (x) x3 3x2 9x
分类整合， 转化与化归
数学思想
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax. （1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）若 a<0,讨论函数 f(x)图象与 x 轴的交 点个数；
（3）当 a 取何值时,函数 f(x)图象与 x 轴 有且只有一个交点；
数形结合数 学思想
变式：当 a=-2 时, （1）若曲线 y=f(x)与 直线 y=m 有三个不同 的交点，求 m 的取值
范围；
f (x) 2x3 3x2 12 x
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.
当 a=-2 时, (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=-12x+m 有两
f '(x) 3x2 6x 9
6
三次函数与其导函数图象之间的关系 ？
d
系数 a 和导函数（二次函数）判别式 决定图像特征变化
7
三次函数与其导函数图象之间的关系
a>0
f′(x)= 3ax2+2bx+c
判别 式
图象
△>0
△=0
f(x)= ax3+bx2+cx+d
增区间:(-∞, x1),
单调 性
2. 方程 exx2=m 有且只有一根，求 m 的取值范围． 若 x<2 呢？
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26
第4章 4.3.3 三次函数的性质： 单调区间和极值
1
引例：指出下列函数的单调区间和极值点, 并画出函数及对应导函数的草图 (1) f (x) 2x3 3x2; (2) f (x) 3x3 6x2 4x 5; (3) f (x) x3 2x2 2x 7; (4) f (x) x3 3x2 9x
(1) 36 12a 0
解得 : a 3
(2) 36 12a 0
解得 : a 3
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax. （1）求函数 f (x) 的单调区间；
解：f '(x) 6x2 6x 12
f ' (x) 6(x a)(x 1) 令f ' (x) 0解得x1 a或x2 1 (1)当a 1时，f '(x) 0 f (x)单调增区间为（- ， ） (2)当a 1时，x (,1) (a,), f '(x) 0 x (1, a) f ' (x) 0 f (x)单调增区间(,1)和(a,)，f (x)单调减区间(1, a)
(x2, +∞) 减区间:(x1, x2)
图象
增区间: (-∞, +∞)
△<0
增区间: (-∞, +∞)
8
9
三次函数与其导函数图象之间的关系
a<0
f′(x)= 3ax2+2bx+c
判别 式
图象
△>0
△=0
f(x)= ax3+bx2+cx+d
单调 减区间:(-∞, x1),
性
(x2, +∞)
增区间:(x1, x2)
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(3)当a 1时，x (, a) (1,), f ' (x) 0 x (a,1) f ' (x) 0 f (x)单调增区间(, a)和(1,)，f (x)单调减区间(a,1)
注意：含参数三次函数单调区间分类的讨论标准 其导函数二次函数对应的方程是否有实根， 若有实根比较两实根的大小
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6 4 2
-15
-10
-5
-2
-4
-6
-8
Baidu Nhomakorabea
5
10
15
6 4 2
-15
-10
-5
C -2
-4
-6
-8
5
10
15
6
4
2 C
-15
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-5 -2
-4
-6
-8
5
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15
6 4 2
-15
-10
-5
C
-2
-4
-6
-8
5
10
15
17
6 6
4 4
2 2
-15
-10
-5
5
10
15
-15
-10
-5
-2
-2
-4 -4