第五章 图论

deg(v)
vV
=2e，e=E。
证明： 因为在计算节点的次数时，每条边均要用到两 次，故上式成立。
例2 一个具有10个顶点并且每个顶点都度为6的图，有多 少条边？ 解 因为定点的度是6*10=60，所以2e=60。因此e=30。
定理2 握手定理 无向图有偶数个奇数度的顶点。 证明：在无向图G=(V,E)里，设V1 和 V2 分别是偶数 度顶点和奇数度顶点的集合。于是 2e =
定义3 顶点u邻接到v（v从u邻接）：有从u到v的有向边 起点：有向边的尾，终点：有向边的头
定义4 入度deg+：进入顶点的边的数目 出度deg-：从顶点发出的边的数目 度deg：入度+出度
例3 求出图7-11所示带有向边的图G里每个顶点的入度和出 度。
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（接上页） 解： G里的入度是：deg-(a)=2, deg-(b)=2, deg- -(c)=3, deg-(d)=2， deg-(e)=3, deg-(f)=0。 出度是：deg+(a)=2, deg+(b)=2, deg+(c)=3, deg+(d)=2， deg+ (e)=3, deg+(f)=0 定理3
例16. 在任何聚会中，与奇数个人握过手的人必定有偶数 个。 证明： 我们用点来表示聚会中的人，若两个人有握手， 则我们用一条边把表示这两个人的点连接起来。与奇数个 人握过手的那个人，在图上表示为他的度为奇数。由握手 定理，则可知这样的点应该有偶数个，所以与奇数个人握 过手的人必定有偶数个。
（2）有向图
证明： 用6个点v1，v2，v3，v4，v5，v6来表示六个 人，互相认识的两个人用实现相连，否则用虚线相连。这 就产生了一个任何两个顶点间必有连线的图，称为完全图。 因此，问题就归结为：在一个具有六个顶点的完全图中， 至少存在一个实线三角形或虚线三角形。 任取一个顶点vi，则vi与其他五点的连线中，至少有三条 是实线或三条是虚线。不妨设为实线，其相应的顶点为vj， vk，vl，这三个顶点形成的三角形，若是实线或虚线三角 形，则问题得解；否则，至少有一条边是实线的，不妨设 为vj vk，那么三角形vjvivk便是实线三角形了。 定理1 握手定理：
一个重要类型的互联网络是超立方体。对这样的网络来 说，处理器数是2的幂， n=2m。n个处理器标记成P0, P1,…, Pn-1。每个处理器都有到m个其他处理器的双向连 接。处理器Pi与下标的二进制表示与i的二进制表示恰恰相 差1位的处理器相连接。超立方体网络在每个顶点的直接连 接数与保证处理器通信的中间连接数之间取得了平衡。已 经用超立方体网络建造了许多计算机，而且用超立方体网 络设计了许多算法。n立方体图Qn表示带n个处理器的超立 方体网络。图7-22显示8个处理器的超立方体网络。
第五章 图论
5.2图的术语 图的术语是图论的基础 5.2.1 基本术语 （1）无向图 定义1 （顶点）u和v邻接（相邻）：顶点之间有边 边与顶点的关联 边的端点 定义2 （顶点的）度deg：与顶点关联的边的数目 孤立顶点：度为0
例1 图7-10所示图G和H的顶点的度是什么？
解：在G里，deg(a)=2，deg(b)=deg(c)=deg(f)=4， deg(d)=1，deg(e)=3，deg(g)=0。在H里，deg(a)=4， deg(b)= deg(e)=6，deg(c)=1, deg(d)=5。 例17 Ramsey问题：在任何6个人以上的聚会中，必有3 个是相互都认识或相互都不认识。 （接下页）
另一方面，互联n个处理器的最简单方式或许是使用 称为线性阵列的排列方式。除P1和Pn外的每个处理器Pi 都通过双向连接来连接到相邻处理器Pi-1和Pi+1。P1只连 接P2，Pn只连接Pn-1。缺点是为了让处理器共享信息， 有时需要使用大量的称为hop的中间连接。 栅格网络（或二维阵列）是通用的互联网络。在这样 的网络里，处理器个数是一个完全平方数，比方说n=m2。 n个处理器标记成P( i ,j )，0≤i≤m-1, 0≤j≤m-1。双向连接把 处理器P（ i，j）连接到它的4个相邻处理器P（ i+1或i-1,j） 和P（ i, j+1或j-1），只要这些处理器是在栅格里。（注意 栅格角上的4个处理器只有2个相邻处理器，边界上其他处 理器只有3个相邻处理器；有时也用每个处理器恰有4个连 接的变种的栅格网络；）栅格网络限制每个处理器的连接 数。图7-21显示表示16个处理器的栅格网络的图。 （接下页）
deg ( v ) deg (v) e ，e=E。 vV vV
证明： 由定理1的握手定理，可知入度和出度之和为 2e。对于任意一条边vivj来说，它若是vi入度边的话，也必 是vj出度边，反之亦成立，故一个图中入度和出度边数相 同，等于2e/2=e。 底无向图：把有向图看作无向图，即去掉边上的方向
例10 图7-17所示的图G和H是否为偶图？
解 图G是偶图，因为它的顶点集是两个不相交集合 ｛a,b,d｝和｛c,e,f,g｝的并，每条边都连接一个子集里的 一个顶点与另一个子集里的一个顶点。（注意对G作为偶 图来说，不必让｛a,b,d｝里每一个顶点与｛c,e,f,g｝里每 一个顶点都相邻。例如b与g就不相邻。） 图H不是偶图，因为它的顶点集合不能分成两个子集， 使得边都不连接同一个子集的两个顶点。（读者应当通过 考虑顶点a, b, f 验证它。）
5.2.3 图的运算 旧图→新图 定义6 子图：（G1G2）原图的一部分 定义7 并图：（G1∪G2）两个图的综合 定义8 补图： 对于完全图的边集的补 例14 图7-23所示的图G是K5的子图。
例15 求图a)所示的图G1和G2的并图。
习题 1.对哪些n值来说下列图是偶图？ a) Kn b) Cn c) Wn d) Qn 2.至少带有一个顶点的W3 的子图有多少个？ 3.证明：若G是有v个顶点和e条边的简单偶图，则ev2/4 。
完全偶图Km,n：两个子集之间的每对顶点之间都有边 例12 LAN的几种拓扑结构
例13 （P439）平行计算机的CPU互联
解： 采用并行处理时，一个处理器需要另一个处理器 产生的输出。因此处理器需要互联。用适当类型的图来表 示带有多重处理器的计算机里处理器的互联网络。在以下 讨论里将要描述最常用类型的并行处理器互联网络。用来 实现具体并行算法的互联网络的类型，依赖于处理器之间 交换数据的需求量和所需要的速度，当然还有可用的硬件 等。 最简单而且最昂贵的网络互联处理器，包含每对处理 器之间的双向连接。当有n个处理器时，这样的网络表示 成n个顶点上完全图Kn。不过，这种类型的互联网络有严 重的问题，因为需要的连接数太大。在现实里，处理器可 以直接连接的数目是有限的，所以当处理器数目很大时， 处理器不能直接连接到所有其他处理器。 （接下页）
deg(v)
vV
=
vV1
deg(v ) + deg(v )
vV2
因为对v V1 来说deg(v)是偶数，所以上面等式右端 的第一项是偶数。另外，上面等式右端的两项之和是偶数， 因为和是2e。因此，和里的第二项也是偶数。因为在第二 项的和里，所有的项都是奇数，所以必然有偶数个这样的 项。因此，有偶数个奇数度顶点。
5.2.2 特殊的简单图 完全图Kn：每对顶点间都有边
பைடு நூலகம்
例4 n个顶点上的完全图（表示成Kn ）是在每对不同顶 点之间都恰有一条边的简单图。对n=1,2,3,4,5,6来说，图 7-12显示图Kn。
圈图Cn：整个图就是一个回路（n≥3）
例5 圈图C3 , C4 , C5, C6 .
轮图Wn：圈图加一个中心顶点（n≥3） 例6 轮图W3 , W4 , W5, W6 .
立方体Qn：有2n个顶点，用n位0-1串编码 若2个顶点的编码仅差一位，则它们之间有边
例7 立方体图Q1 , Q2 , Q3。
定义5 偶图： 顶点可划分为两个子集，边都在这两个子集之间 例 人群中的婚姻关系 例8 图7-16所示的C6 是偶图，因为把它的顶点集分成两个 集合V1={ v1 , v3 , v5}和V2={ v2 , v4 , v6}, C6 的每一条边都 连接V1 里的一个顶点与V2里的一个顶点。 例9 K3 不是偶图。为了看明白这一点，注意若把K3的顶点 集合分成两个不相交的集合，则这两个集合之一必然包含 两个顶点。假如这个图是偶图，那么这两个顶点就不能用 边连接，但是在K3里每一个顶点都用边连接着到其他每个 顶点。