6-2衡量点估计量好坏的标准

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如果样本观测值为 x1 , x2 ,, xn ,则称 ˆ(x1 , x2 ,, xn ) 是的无偏估计值.
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§6.2 衡量点估计量好坏的标准
[例1] 设总体X 的均值 E(X ) , 方差 D(X ) 2,证明:
（1）样本均值 X

D(1 n
n i1
Xi)

2

1 n2
n i1
D(Xi )
2

1 n2

n
2

2
2 2.
n
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§6.2 衡量点估计量好坏的标准
由此得
[ ] E(S2) E
1( n 1
n i1
X
2 i

nX
2)
1 [n( 2 2 ) n( 2 2 )]

1 n
n i1
Xi
是总体均值

的无偏估计量；
（2）样本方差S 2
无偏估计量.

1 n 1
n i1
(Xi

X
)2
是总体方差
2
的
Fra Baidu bibliotek
证：因为样本 X1 , X 2 , , X n 相互独立，且与总体 X 服从相同分布，所以有
E( Xi ) , D( Xi ) 2 , i 1,2 ,,n.
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§6.2 衡量点估计量好坏的标准
由数学期望与方差的性质可知
E(X
)

E(1 n
n i1
Xi)

1 n
E(
n i1
Xi)

1 n
n i1
E(Xi
)

1 n

n

.
所以， X 是的无偏估计量:
ˆ X .
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n 1
n
2.
所以，S 2 是 2的无偏估计量:
ˆ 2 S 2 .
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§6.2 衡量点估计量好坏的标准
2.有效性
设 ˆ1 ˆ1( X1, X2,, Xn )与ˆ2 ˆ2( X1, X 2,, X n )都是参数的无偏估计量,如果
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§6.2 衡量点估计量好坏的标准
（2）
S2

1 n 1
n i1
(Xi

X
)2
1( n 1
n i1
X
2 i

nX
2).
而
E(
X
2 i
)

D(
Xi
) [E( Xi )]2 2 2 ,
i 1,2 ,,n.
E( X 2) D( X ) [E( X )]2
评价估计量,不能从一个估计量的某次具体表现上去衡量好坏,而应看其整体性质. 由于一致性是在极限意义下引入的,而在实际中往往难以增大样本容量, 而且证明估计量的一致性并非容易, 在实际中常使用无偏性和有效性这两个标准.
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第六章
参数估计
§6.2 衡量点估计量好坏的标准
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§6.2 衡量点估计量好坏的标准
1.无偏性
设参数的估计量 ˆ ˆ( X1, X2,, Xn ) 的数学期望存在且等于 ,即
E(ˆ) , 则称 ˆ 是的无偏估计量.
D(ˆ1) D(ˆ2), 则称 ˆ1 比ˆ2 有效.
如果对于给定的样本容量n , ˆ的方差 D(ˆ)最小, 则称ˆ 是的有效估计量.
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§6.2 衡量点估计量好坏的标准
小结
未知参数的估计量的三个评选标准:无偏性,有效性和一致性.