应力波基础第三章

第三章 弹性波的相互作用
3-3 已知两种材质的弹性杆A 和B 的弹性模量、密度和屈服极限分别为：
E A ＝60GPa ， ρA =2.4g/cm 3，Y A =120MPa ，E 1A =E A /5； E B ＝180GPa ，ρB =7.2g/cm 3，Y B =240MPa ，E 1B =E B /5。

试对Ⅵ－10所示四种情况分别画出X －t 及σ—v 图，并确定撞击结束时间、两杆脱开时间以及分离之后各自的整体飞行速度。

解：两种材料的参数计算如下：
s m E C A
A
A /500010104.210606
39
0=⨯⨯⨯=
=
-ρ
s m C C A A /10005/01==，s m C v A yA yA
/105000
10004.210120)(6
00-=⨯⨯⨯-=-=ρσ
s m E C B
B
B /500010102.7101806
39
0=⨯⨯⨯=
=
-ρ
s m C C B B /10005/01==，s m C v B yB yB
/667.65000
10002.710240)(6
00-=⨯⨯⨯-=-=ρσ
A C )(00ρ＝2.4×10-3×106×5000＝12×106kg/（sm ）
B
C )(00ρ＝7.2×10-3×106×5000＝36×106kg/（sm ）
（1）：
A B v
.
撞击结束时间：0.02μs 。

两杆脱开时间即接触到脱开时间：0.02μs 。

短杆整体飞行速度：－4 m/s （3区）。

长杆整体飞行速度：2m/s （5区速度）。

（2）
撞击结束时间：0.04μs。

两杆脱开时间即接触到脱开时间：0.04μs。

短杆整体飞行速度：2 m/s（7区）。

长杆整体飞行速度：9m/s（6，10区）。

（3）
v
撞击结束时间：A点：0.02μs；B点：0.04μs。

左短杆整体飞行速度：3区速度，－4 m/s。

右短杆整体飞行速度：7区速度，6 m/s。

中长杆整体飞行速度：6，10区速度：1m/s。

(4)
V3=8m/s V2=01
撞击结束应在A 点。

撞击结束时间：0.07μs 。

左短杆整体飞行速度：12区速度：－2 m/s 。

右两杆整体飞行速度：10区速度：6 m/s ，应力为0。

3－4 两根材质相同的弹性杆用环氧树脂轴向粘接如图Ⅳ－11所示。

假定环氧树脂层的厚度远小于杆中应力脉冲长度和杆长，而其声抗为杆材声抗的1/2，树脂的粘性暂时忽略不计（即按弹性材料考虑）。

当强度σ0的应力波由A 杆传人时，试说明透射到B 杆中的透射波呈台阶状波形，并求其第三个台阶上应力值和第n 个台阶上的应力值。

图Ⅳ－11 用环氧树脂粘接的两根材质相同的弹性杆
解：
2
环氧树脂
由图中可看到，传入B 杆的应力分别为3，5，7区，各区应力数值不同，说明投射到B 杆透射波呈台阶状波形，波形长度为2倍环氧树脂长度，波应力为3，5，7，…区应力。

其值为： 计算反射与投射系数：1代表A ，B 杆（2杆一样）。

2代表环氧树脂。

计算系数：
321212=+=
n T ，34/11212=+=n T ，3
1/11/1112=+-=n n F 。

3区应力：02112σσT T =Ⅰ；
5，3区应力之差：02
122112σσσF T T =-ⅠⅡ
同理：04
12
2112σσσF T T =-ⅡⅢ
所以：
0330420
41221221127297289
19313113432)1(σσσσσ＝－＝）（＝Ⅲ++⋅++=F F T T 对于n 个台阶有：
0n 9
19σσn －Ⅲ
=
3－5 设如图Ⅳ－12所示，入射弹性压杆与透射弹性压杆之间没有贴紧，存在0.1mm 的空气间隙。

若两压杆长度均为600mm ，杆中弹性波速为5km/s ，打击杆长度为200mm ，打击速度为10m/s 。

（1） 分别画出应变片1，2的弹性波波形； （2） 讨论空气间隙对波形传播的影响；
（3） 提出减少空气间隙对波传播影响的简便办法。

图Ⅳ－12 入射弹性压杆与透射弹性压杆之间存在间隙
解：杆相互撞击图解如下：
(6)σ－v 图
（1）t －x 图（3）应变片2波形图 σ－t 图
（2）应变片1波形图 σ－t 图
σ
σ
(5)t 2时刻透射杆波σ－x 图(4)t 1时刻入射杆波σ－x 图
σ
X
X
σ
10m/s
（1） 应变片1，2处的弹性波形如图（1），（2）。

应变片1，见图（2）。

入射杆波形，波形最大应力为σ，2区见v -σ图（6）。

波形宽度为2倍打击杆长，即2×200＝400mm ，见图（4）。

在2区，波应行走的时间为：
s s mm mm
μμ80)
10/(50000004006=
在6区, 波最大应力为σ，见v -σ图（6）。

波应行走的时间为波在3区末，入射杆走完空闲的时间：
s s mm mm
μμ10)
10(100001.036
==区入射杆速度空隙间距 应变片2，见图（3）。

透射杆波形，波形最大应力为σ，4区见v -σ图（6）。

波形宽度为2倍打击杆长－入射杆走完空隙时间×波速。

即2×200mm －10μs ×106×5000m/s ＝350mm ，见图（4）。

在2区，波应行走的时间为：
s s mm mm
μμ70)
10/(50000003506=
（2） 由图看出，空气间隙越大，入射杆行走空隙时间越长，在透射杆中，波宽损失越大。

当空隙间隙
为0.8mm 时，波形损失到0。

当间隙>0.8mm 时，入射杆前进0.8mm 时，由打击杆反射的波已到入射杆端，即入射杆全部处于5区状态，波速，应力全部为0，杆停止前进。

所以，当间隙≥0.8mm 时，透射杆中没有波。

（3） 最简便的方法就是用材料将间隙塞紧，如象3－4题所示，用环氧树脂将空隙塞紧。

3－6假定图Ⅳ－13中的杆A 、B 均为线性硬化材料，并已知其材料常数分别为：
E A ＝60GPa ， ρA =2.4g/cm 3，Y A =100MPa ，E 1A =E A /25； E A ＝180GPa ，ρB =7.2g/cm 3，Y B =240MPa ，E 1B =E B /25。

对于图Ⅳ－13所示杆2（有关量以下标2表示），撞击杆1（有关量以下标1表示）的4中情况，试确定： （1） 为使图中被撞击杆1屈服，撞击杆2的最低打击速度2v 为多大？
（2） 在图（a ）和（b ）两种情况下，为使撞击界面处产生撞击应力MPa 300-=σ，需要打击速度2v 为多大？
解：两种材料的参数计算如下：
s m E C A
A
A /500010
/104.210606
39
0=⨯⨯=
=
--ρ s m C C A A /10005/01==，s m C v A yA yA
/33.85000
10004.210100)(6
00-=⨯⨯⨯-=-=ρσ
s m E C B
B
B /500010102.7101806
39
0=⨯⨯⨯==
ρ
s m C C B B /10005/01==，s m C v B yB yB
/667.65000
10002.710240)(6
00-=⨯⨯⨯-=-=ρσ
A C )(00ρ＝2.4×10-3×106×5000＝12×106kg/（sm ）
B
C )(00ρ＝7.2×10-3×106×5000＝36×106kg/（sm ）
A Y C )(00ρ＝2.4×10-3×106×1000＝2.4×106kg/（sm ）
B Y
C )(00ρ＝7.2×10-3×106×1000＝7.2×106kg/（sm ）
(1) 图解如下：
L2
L2
L2
L2
（a ）（b ）
（a ） 3区刚到屈服，需要的屈服速度为6.67m/s ，所以左杆最小打击速度为2区速度，
即6.67×2＝3.33m/s 。

（b ） 杆2即A 杆刚好屈服的速度为8.33m/s ，2区为杆1的最小打击速度，即 s m C C B A /11.113/33.833.8)/()(33.80000=+=+ρρ
（c ） 3区刚到屈服，需要的屈服速度为8.33m/s ，所以左杆最小打击速度为2区速度，
即8.33×2＝16.67m/s 。

（d ） B 杆刚屈服时，打击杆A 肯定屈服，A 经历了从弹性，刚屈服到在屈服中发展的过程。

2区为
A 杆刚屈服区，3区为
B 杆刚屈服区。

所以由其v -σ图得，A 的最小打击速度为：
s m Y Y Y Y Y B A B A B /37.73)3240
100
152401401(67.667.6367.6)15(
67.6=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯-+ (2) 图解如下：
撞出300MPa 的应力，两杆都屈服。

(a) ：s m Y Y v B
B
/30)25.11(333.13)53001(67.622=+⨯=⨯-+
⨯⨯= （b ）：s m Y Y Y Y Y Y v A B A B A A /67.106)8.01101(33.8)3
1
3530053001(33.82=+++⨯=⨯+⨯-+⨯-+⨯=
L1
（a ）
2
L1
3－7 已知某种材料的30/8cm g =ρ，GPa E 200=，MPa
Y 240=。

试对图Ⅳ－14所示两种不同截面杆共轴撞击的两种情况分别画出X －t 图及σ－v 图，并计算撞击结束时间、分离后各杆的整体飞行速度。

解：材料的参数计算如下：
s m E
C /500010/10810200639
00=⨯⨯==
--ρ s m C v y y /65000
)10/10(810240636
00-=⨯⨯⨯-=-=--ρσ
00C ρ＝8×(10-3/10-6)×5000＝40×106kg/（sm 2）
弹性波行走50cm 所需时间：
s s μ1001015000
105042
=⨯=⨯-- (a) 图解如下：
A 0
（a ）
2
撞击结束在A 点。

结束时间为200μs ，分离后左杆以－2m/s 后退，3区速度。

右杆以4m/s （6区速度）整体右行。

（b ） 图解如下：
（b ）
A 0
2A 0
50cm
v1=0
v2=6m/s
撞击结束在A 点。

结束时间为400μs ，分离后左杆静止不动（7区，应力、速度皆为0）； 右杆以5.33m/s （6、10、13区速度）整体右行。

3－8 已知杆材的30/8cm g =ρ，GPa E 200=，MPa Y 240=。

试对图Ⅳ－15中所示两种情况的X －t 图及σ－v 图，并确定其撞击结束时间、分离时间及分离后两杆的整体飞行速度。

解：材料的参数计算同上题。

（a ）图解如下：
v2=6m/s 50cm
v1=0
A 0
2A 0
4
撞击结束时间A 点，所用时间200μs 。

分离后左杆以4区速度，－2m/s 左行，右杆以2.667m/s （3、7、10区速度）整体右行。

（b ）图解如下：
2A0
A0
v2=6m/s
（b）
撞击结束时间A点，所用时间400μs。

分离后左杆以
8区速度，－1.111m/s左行，右杆以4.741m/s（7、11、14区速度）整体右行。

3－9设以短杆撞击一弹性长杆，如果要求在长杆中产生一个给定的
阶梯形压力脉冲，如图Ⅳ－16所示，试设计短杆的几何尺寸及其材
料的选择。

设定长杆的密度
ρ、弹性波速
C和截面积
A均为已知。

解：设计撞击短杆及碰撞后图解如下图：
，速度为负，所以在A点，左杆退回，因此，端部为自由端，应力为0（6区），右杆端部也成为自由端，应力为0（6’区）。

这样右杆应力只有2，3区，其σ－t如上图。

有P－V图可知：
设杆A左端（细端）的广义波阻抗为：A
C
ρ，则粗端和右杆的
广义波阻抗为：A
C
n
ρ，二者之比为n，反映在P－V图上特征线
的斜率之比为1：n。

所以有：1
2
1
0=
-v
v
A
σ
，n
v
A
=
2σ
，n
v
A
=
1
σ
2σ0
σ
A
σ
σ0/3
σ0
解之得，2/01v v =，3=n ，00
0034
2σρC v =
所以，设计的打击杆长为l 0，分其为粗，细段长各为为l 0/2，粗段截面积与右杆同，细段截面积为右杆的1/3，两杆材料相同。

3－10 为在截面积为A 的直杆中产生如图Ⅳ－17所示的阶梯形波，可采用如图Ⅳ－18所示的阶梯形打击杆，试确定打击杆各端面的截面积。

解：图解如下：
A
A 2
分析：6区速度为正，9区应力正（拉），速度为负，所以在A 点，左杆退回(12速度)，因此，端部为自由端，应力为0（12区），右杆端部也成为自由端，应力为0（12’区）。

这样右杆应力只有2，3，6区，其P －t 如上图。

有P －V 图可知：
设打击杆各段截面积之比为A 1：A 2：A=k 3：k 2：k ，反映在P －V 图上特征线的斜率之比为k 3：k 2：k 。

令：A C k 00ρ= 由图知：
∵ 00v k A ⋅=σ；302/v k A ⋅=σ；603/v k A ⋅=σ ∴ 2/03v v =； 3/06v v = 又：2300)2(2/k v v A -=σ
∴ 2/2/2/3)2/2(0020200kv A k v k v v ===-σ
∴ 3/12k k = （1） 又：246324624300)2()()()3
2(
k v v v k v v k v v A
A -+=-+-=-σσ
∴
)26
5(316640
00v v k k v A
-==σ
解之得：6
4v v =
又由图：2430340)(2/)2(k v v A k v v --=-σ
∴
k v k v k v k v 0003018
7
)31(622611=-= ∴ k k 33
7
3=
（2） 由（1）、（2）得：33:11:71:3
1
:337::23==k k k 。

因为斜率比即为各杆截面积比。

∴ 33:11:71:3
1
:337::23==
A A A 所以，设计的打击杆长为3l 0/2，分其为粗、中细、细段长各为为l 0/2，粗段截面积为A ，中A/3，细段截面积为右杆的7A/33，两杆材料相同。

按各杆截面积的比例绘出的图解如下：
6正，A
v
A
3－11 长1m 的石膏杆，其密度为3
0/2cm g =ρ，动态断裂遵循瞬时断裂准则，动态抗拉强度
MPa b 10=σ；设其左端通过爆炸施加一突加载荷，随后又按指数形式衰减，即t m e ⋅-=ασσ，式中MPa m 50=σ，ms /31=α。

假定爆炸在石膏杆中以弹性波传播，波速s km C /10=，试确定各裂片的
厚度及其飞行速度。

解：第一片厚度δ1，计反射开始时刻t ＝0。

所以第一片层裂时刻为t1。

有：)1(1
2t m b e
⋅--=ασσ，解得：2ασσ/)/1ln(1m b t --=，得：t1＝0.0036ms ＝3.6μs 。

层裂片厚度：mm C t 6.31000000106.3016
1=⨯⨯=⋅=-δ
层裂片速度：dt e v C t m f ⎰
⋅-=
0120
1
01
δασδρ
因为量刚：ρδ＝ (g/cm -3)(mm)=10-3kg/(10-6m 3)(10-3m)=1kg/m 2。

0/C δ＝mm/km/s=10-6/s.
s m t dt e v e t f /8.44)2.0(31
2.710503110/312.71050)(2.710503
0072
.00
3
60072.00316==-⨯⨯⨯-=-⨯⨯-=⨯=--⎰
第n 层裂片厚度δn 。

第一片层裂时刻为t n 。

引起n 层裂的峰值应力为：1
2-⋅-=n t m mn e ασσ，有：)(2221n n n
t t m t m mn b e e e
ααασσσσ--⋅--=-=-，
解得：ασσα/)/ln((5.01
2m b t n n e t --=--。

层裂厚度：011C t ⋅=δ，10--⋅=n n n C t δδ。

层裂片速度：
s m e e t dt e v n n n
n n n t t n
t t n t t t n fn e /)(451
.8063110/3121050)(2105011
16262223
622316--------⨯=
-⨯⨯⨯-=⨯⨯=⎰δδδ。