考研数学-渐近线

【答案】 为第一类间断点(跳跃间断点)
例6.(03-2-10分)设函数
问 为何值时, 在 处连续; 为何值时, 是 的可去间断点.
【答案】 时, 在 处连续 时, 是 的可去间断点
练习
1.（01-2-7分）求极限 ，记此极限为 ，求函数 的间断点，并指出类型.
【答案】 ， 是第一类间断点（可去）， 是第二类间断点.
(C)既有铅直又有水平渐近线. (D)既有铅直又有斜渐近线.
练习
1.(00-2)曲线 的斜渐近线方程为 .
2.(98-2)曲线 的渐近线方程为 .
3.(04-2)曲线 的渐近线的条数为【B】
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.
题型5 函数的连续性与间断点(*)
一、基础知识
点连续的定义：
2.设 其中 可导,且 ,则 3.
3. (91-1) ,则 = .
4.(94-4)设方程 确定 是 的函数,则 = .
5.设 有任意阶导数,且 ,则 ( ).
6.设 ,求 .
【答案】
(三)几何意义
例17.(07-2)曲线 上对应于 的点处的法线斜率为
例18.(06-1234)设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处的增量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则【A】
2.(98-34)设函数 ,讨论函数 的间断点,其结论为【B】
(A)不存在间断点. (B)存在间断点 . (C)存在间断点 . (D) 存在间断点 .
题型
一、基础知识
导数的定义 ；
；
.
.
几何意义曲线 在点 处切线的斜率为 ．
可微的定义: ,
函数 在点 处可微,
可微、可导及连续之间的关系:
在点 处可导 在点 处可微 在点 处连续.
二、例题
（一）考查定义
例1.（07-1234）设函数 在 处连续，下列命题错误的是：【D】
(A)若 存在，则 . (B)若 存在，则 .
(C)若 存在，则 存在. (D)若 存在，则 存在
例2.（06-34）设函数 在 处连续,且 ,则【C】
(A) 存在. (B) 存在.
(C) 存在. (D) 存在.
二、例题
例1.(07-1234)曲线 ，渐近线的条数为【D】
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
例2.(06-2)曲线 的水平渐近线方程为 ．
例3.(05-1)曲线 的斜渐近线方程为 .
例4(05-2)曲线 的斜渐近线方程为 .
例5.(03-4)曲线 【D】
(A)仅有水平渐近线. (B)仅有铅直渐近线.
（D） 是 的第二类间断点， 是 的第一类间断点.
例3.（04-2）设 ,则 的间断点为 0.
例4.(04-34)设 在(, +)内有定义，且 ， ，则【D】(A) 必是 的第一类间断点.(B) 必是 的第二类间断点.
(C) 必是 的连续点. (D) 在点 处的连续性与a的取值有关.
例5.设 求出 ,讨论其连续性,并判断其间断点的类型.
二、例题
多是判断分段函数的分界点是否为间断点，放在分段函数处讲解。
例1.(07-2)函数 在 上的第一类间断点是 【A】
(A) 0. (B) 1. (C) . (D) .
例2.（05-2）设函数 则【D】
（A） 都是 的第一类间断点.
（B） 都是 的第二类间断点.
(C) 是 的第一类间断点， 是 的第二类间断点.
第一类间断点: 与 都存.
第二类间断点:不属于第一类的间断点
在点 处无定义
为可去间断点的特征:极限存在
判定函数 在点 处连续的方法：
先考察 是否为基本初等函数, 点是否为 的定义域内的点．如果给定函数为分段函数,且 又是分段点,则需利用连续性定义来判定．特别是在分段点两侧函数表达式不同的时候,函数在该点处的连续性应该用左连续、右连续判定．
例3.（03-3）设 为不恒等于零的奇函数，且 存在，则函数 【D】
(A)在 处左极限不存在. (B)有跳跃间断点 .
(C)在 处右极限不存在. (D)有可去间断点 .
练习
1．（02-12）设函数 在 内有界且可导，则【B】
(A)当 时，必有 .（B）当 存在时，必有 .
(C)当 时，必有 . (D)当 存在时，必有 .
（A） （B） （C） （D）
例19. (02-2-6分)已知曲线的极坐标方程是 ,求该曲线上对应于 处的切线方程与法线方程
【答案】
练习
1.(03-2)设函数 由方程 所确定，则曲线 设函数 可微,且 ,则 在点(1,2)处的全微分 .
例8.(04-4)设 ，则 .
2.对数求导法
例9.(05-2)设 ,则 .
2.参数方程确定的函数的求导法
例10.(89-2)已知 求 , .
【答案】
3.隐函数求导法
例11.(02-1)已知 由方程 确定,则 .
2.(02-2)设函数 可导, 当自变量 在 处取得增量 时,相应的函数增量 的线性主部为0.1,则 等于【D】
(A) . (B)0.1. (C)1. (D) 0.5.
3.(01-1)设 则 在点 可导的充分必要条件为【B】
(A) 存在. (B) 存在.
(C) 存在. (D) 存在.
(二)求导数与微分
或
连续的三要素：
（1）函数 在点 有定义;
（2）当 时, 有极限;
（3）极限值等于该点的函数值．
2.判定函数间断点的类型：
有极限 可去间断点
（1） 在点 处无定义, 振荡间断点
无极限. 无穷间断点
左,右极限不存在.
（2） 在点 处有定义,但 不存在,无穷间断点
跳跃间断点左,右极限存在,左 右
（3） 在点 处有定义,且 存在,但 . 可去间断点
例12.(96-3)设方程 确定 是 的函数,则 = .
例13.由方程组
确定, 是 的函数,求 .
【答案】
4.高阶导数
例14.(07-34)设函数 则 =
例15.(06-34)设函数 的某领域内可导,且 ,则 = .
例16.(91-3)设 则 .
练习
1.(93-2)设 ,其中 具有二阶导数,求 .
【答案】
题型
一、基础知识
曲线 的渐近线有三种:
(1)水平渐近线 为水平渐近线．
(2)铅直渐近线 为铅直渐近线．
此时 是 的无穷间断点.
(3)斜渐近线 为斜渐近线.
是水平渐近线.
注意:一般来说，有水平渐近线(即 )就不再考虑斜渐近线，但当 不存在时，就要分别讨论 和 两种情况，即左右两侧的渐近线,此时水平和斜渐近线可能共存.