n阶行列式的定义——线性代数

0001 0020 0300 4000
解 展开式中项的一般形式是 a a a a 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4
若 p1 4 a1 p1 0, 从而这项为零，
所以 p1只能等于 4 , 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
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a11 a12
a1n
记作 D a21 a22
a2n
aij
an1 an2
ann
数 aij 称为行列式D的元素
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44
第一章 行列式
其中 p1 p2 pn 为自然数 1,2, , n 的一个排列，
t为这个排列的逆序数.
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例3 计算上三角行列式
a11 a12
a1n
0 a22
a2n
00
ann
第一章 行列式
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1010
第一章 行列式
解 展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . 要使此项不为零，则
pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
所以三阶行列式也可写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(1)t a p11a p2 2a p3 3
a31 a32 a33
t为排列 p1p2 p3 的逆序数
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对于n阶行列式，它的任一项为
第一章 行列式
(1)t a a a a
1 p1 ipi
jp j
npn
其中 1 i j n为自然排列，t为排列 p1 pi p j pn
的逆系数.
交换元素
a ipi
与
a jp j成为
(1)t a1 p1 a jp j aipi anpn
这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列
同时作了一次相应的对换。
第一章 行列式
三、n阶行列式的等价定义
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11a22a33 a31a12a23 a21a32a13 a31a22a13 a11a32a23 a21a12a33
所以有 (1)t a1p1 aipi a jp j anpn (1)rt1a1p1 a jp j aipi anpn
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第一章 行列式
于是，经过若干次对换， 使列标排列 p1 p2 pn 变为自然排列（逆序数为0）； 行标排列则相应 地从自然排列变为某个新的排列， 设此排列为 q1q2 qn , 逆序数为s， 则有
66
例1.证明行列式
a1 a2 a1 a1 b1 b2 b3 b4 c1 c2 0 0 d1 d2 0 0 e1 e2 0 0
a1 b5 0 0 0 0
第一章 行列式
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第一章 行列式
例2 计算行列式
a31 a32 a33
t为排列 p1p2 p3 的逆系数
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33
二、n阶行列式的定义
第一章 行列式
定义 由 n2 个数组成的n阶行列式等于所有取自
不同行不同列的n个元素的乘积的代数和
(1)t a1p1a2 p2 anpn
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第一章 行列式
新的行标排列 1 j i n 的逆序数设为r，
则r为奇数， 新的列标排列 p1 pj pi pn
逆序数设为t1， 则
(1)t1 (1)t
故
(1)t (1)rt1,
1919
Βιβλιοθήκη Baidu
a1 p1a2 p2a3 p3
其中 p1p2 p3 是1，2，3的一个排列， 可以看出，
当 p1p2 p3 是偶排列时，对应的项在中带有正号，
当 p1p2 p3 是奇排列时带有负号。 所以三阶行列式
a11 a12 a13
可以写成 a21 a22 a23 (1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3
88
第一章 行列式
即行列式中不为零的项为 a14a23a32a41 所以
0001
0 0
0 3
2 0
0 0
1t43211 2 3 4
24.
4000
一般的
2

1
nn1
1 2 12 n .
n
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1 t1243 a11a22a34a43
1 t a11a22a33a44 x3 ,
1 t1243 a11a22a34a43 2x3
故 x3 的系数为 1.
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1414
a11 0 0
0
a21 a22 0
0
a31 a32 a33
0
an1 an2 an3
ann
a11a22 ann .
第一章 行列式
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1212
例4
x1 1 2
已知
f x 1 x
32
1 x
1 1
1 1 2x 1
2. n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列的n个
元素的乘积;
3. a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1t .
a11 a12
4. 行列式 a21 a22
a1n
a2n 常简记为 det(aij ) 或 aij .
an1 an2
ann
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说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
（3）每项的正负号都取决于列标排列的逆序数。
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22
第一章 行列式
在三阶行列式的展开式中，项的一般形式可以写成
所以不为零的项只有a11a22 ann . 即
a11 a12 0 a22
a1n
a2n
1
a a a t 12n

11 22
nn
a11a22 ann .
00
ann
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同理可得下三角行列式
第四节 n阶行列式的定义
一、概念的引入 二、n阶行列式的定义
1
一、概念的引入 三阶行列式
第一章 行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
1818
第一章 行列式
由此可得n级行列式的等价定义：
a11 a12 a1n
a21
a22

a2n


p1 p2
pn (1)t a p11a p22a pnn
an1 an2 ann
其中t为排列 p1 p2 pn 的逆系数.
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a11 a12
a1n
即
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann

1
a a t 1 p1 2 p2
anpn
p1 p2 pn
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第一章 行列式
说明
1. n阶行列式是一种特定的算式，它是 n! 项的代数和。
(1)t a1p1a2 p2 anpn (1)saq11aq22 aqnn
又，若 pi j, 由于 aipi aij aqj j , 则 q j i,
可见排列 q1q2 qn 由排列 p1 p2 pn 所唯一确定。
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求 x3 的系数.
第一章 行列式
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1313
第一章 行列式
解 含 x3 的项有两项,即 x1 1 2
f x 1 x 1 1
32 x 1
1 1 2x 1
即 1
a a a a t(1234) 11 22 33 44