待定系数法求特殊数列的通项公式

靖州一中蒋利

在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届高考常以这类问题作为一道重大的试题。因此，在教学中，针对这类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面掌握这类问题及求解的一般方法。

求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数。其基本原理是递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列。具体的求解过程详见示例。第一类别：a n=Aa n-i+B

例1设x1=2,且x n=5x n 1+7.求数列的通项公式

解：所给的递推公式可变形为

x n+m=5x n 1+7+m=5(x n 1 + -m ),令m=7 m.贝U m=?

5 5 5 5 4

于是x n+ 7 =5(x n 1+ 7) ，｛ x n +—｝是等比数列，其首项为

4 4 4

7 X1 + _

= 15 ,公比为q=5. 于是x n7

+ —= 15 5n1

4 4 4 4

所以X n 15匚n 1

=—・ 5 - 7

4 4

例2 设

X1=1,且x n =

3x

n 1

(n=2 ，3，4，…)

2x

n 1

5

求数列{ X n ｝的通项公式

解：所给的递推公式可变为： 1 5 2

X n 3x

n 1

3

1

m 5, 1 2 3m

( ),令m=2

3m

,则m=1

X n 3 x

n 1

5 5 5 5

于是丄1 5

（丄1） o ｛丄1｝是等比数列，

x n 3 x

于是 X n -2x n-1 = 3 • 11n-2 , X n -11x n-1=-6 • 2^2 o 由此消去 X n-1 可得 X n = (11 n-1

+2n

)/3

例 4:设 X 1=1,X 2=2 o 且 X n =7x n-1+18x n-2 ( n=3,4,…) 求数列｛ X n ｝的通项公式 解：所给的递推公式可变为

X n +mX n-1=(m + 7)X n-l +18x n-2=(m + 7)(x

18

令 m=

，贝U m=2,或 m=-9

m 7

X n +2X n-1=9(X n-1+2X n-2),X n -9X n-1=-2(X n- 1-9X n-2)

｛X n +2X n-1 ｝与｛ X n -9X n-1 ｝都是等比数列，其首项与公比分别为

其首项是丄 X 1 1=2,公比是

5 q=—

3

于是丄1=2

X n 所求的 X n

3n1 2?5n 1

3n 1

第二类别：a =Aa n- 1 +Ba n-2

例3设x i =1 ,

X 2=5,X n =13X n-1-22X

n-2

. (n=3,4,…)

求数列｛ X n ｝ 的通项公式 解：所给的递推公式可变为

X n +mX n-1= ( m+13) X n-1-22X n-2= ( m+13) ( X n-1-

旦 X n-2 ) m 13

令 m=——22 ,贝U m=— 2,或 m=— 11 m 13 于是 X n -2X n-1 =11

(X n-1-X n-2 ) ,X n -11x n-1=2(X n- 1-X n-2)

{ X n -2X n-1 } , { X -11X n-1 ｝都是等比数列，其首项与公比分别为

X 2-2X 1=3,q=11 o

X 2-11x 1 =-6,q=2 o

X n

18 、 n- 1+ X n -

)

X2+2X i=4, q=9 o X2-9X 1=-7 , q=-2

X n+2X n-1=4 • 9n-2, X n-9x n-1=-7(-2)n-2

由此消去 X n-1 可得 X n = ( 4 • 9n-1+7 • (-2) n-1

) /11 第三类别：a n =Aa n-i +f （n ）

例 5 设 X 1=1 ,且 x n =3x n-1 + 5n + 1 ( n=2,3,…)

求数列｛ x n ｝的通项公式

解：X 2=14，于是（1）把n 改成n-1得

X n- 1=3x n-2 + 5(n-1)

+ 1

(2)

两式相减得 X n -X n- 1=3(X n-1 -X n-2)+ 5

5

X n -X n- 1+m = 3(X n-1-X n-2)+ 5 + m = 3(X n-1-X n-2 + 3 5 — -1+

=3(

x

2

m

5 m M 5

令 m= ,贝U m=—。于疋 X n -X n

3 3 2 { X n -X n- 1 + 5 }是等比数列，

2 5、

n- 1

-X n- 2+

—)

2

其首项为X 2-X 1 + - = ^1,其公比

2 2

5 31

n-2

于 ^疋 X n -X n - 1 + = •

3 …

2 2 由(1 )与(

3 )消去X n-1得

q=3。

(3)

X n=(31 • 3n-1

-10 n-17)/4 例 6:设 X 1 =4,且 x n =5x n-1 + 7n — 3 ( n=2,3,

(1 )

求数列｛ X n ｝的通项公式

方法1解：X 2=31,于是（1）把n 改成n-1得

X n-1=5X n-2 + 7(n-1) —

3 两式相减得 X n -X n- 1=5(X n-1-X n- 2)+

7

X n -X n-1 + m = 5(x n-1-X n-2)+ 7 + m = 5(X n-1-X n-2 + -一 )

5

,贝U m = 7。 X n -x n-1 + 7

=5(x n- 1-X n-2 + - 4 4 人 7 m 令m= ----- 5 f 7) X n -X n-1+ }

4 是等比数列，其首项为X 2-X

4 7 1 + 4

115 其公比q=5。 7 115 n-2

于是 X n -X n- 1+ = • 5

4 4

4

(3)