分类加法计数原理与分步乘法计数原理例题

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

【基础知识】

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．

3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

[难点正本疑点清源]

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相

互独立，多步完成”．

【题型讲解】

题型一分类加法计数原理的应用

分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．

例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．

(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？

(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多

少种不同的选法？

思维启迪：用分类加法计数原理．

解 (1)完成这件事有三类方法

第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；

第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；

第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，

根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法．

(2)完成这件事有三类方法

第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；

第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；

第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．

综上知，共有30＋30＋20＝80种选法．

例2 王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？

[解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：

第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；

第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．

根据分类加法计数原理，所以从口袋中任取一张英语单词卡片的方法种类为30＋20＝50(种). 例3 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．

[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．

由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 解法二：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．

例4 方程x 2m ＋y 2n

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？

解 以m 的值为标准分类，分为五类．

第一类：m ＝1时，使n >m ，n 有6种选择；

第二类：m ＝2时，使n >m ，n 有5种选择；

第三类：m ＝3时，使n >m ，n 有4种选择；

第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；

第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．

∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法，

即有20个符合题意的椭圆．

题型二分步乘法计数原理的应用

探究提高利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

例1已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有多少个？

[解析]圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种，4种，2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．

例1有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？

(不一定六名同学都能参加)

(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；

(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．

思维启迪：可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．

解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，

第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．

(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步

乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．

例1已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：

(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；

(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图像开口向上的二次函数．

解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx ＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．

(2)y＝ax2＋bx＋c图像的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此