积分形式的基本方程

B4.1 流体系统的随体导数 有限控制体分析，输运公式
在流场中取一固定不变形的有限控制体 CV （图中虚线包围的区域）
控制体表面为CS，一流体系统sys（实线包围区域）在 t 时刻刚好与控制体重合，以后流体系统可以与控制体形状 不同。右图为控制体形状变化示意图：
B4.1 流体系统的随体导数
控制体
已知：下图为洒水器示意图。臂长R=150mm，喷水管面积 A=40mm2，喷口偏转角 30 水从中心转轴底部流入， 总流量Q=120mL/s，从两喷口流出。喷管角速度为
=500转/分
求：（1）管内水流的相对速度Vr。 （2）管口水流的绝对速度V。
解：取包围喷管，并与喷管一起旋转的控制体，如图中虚线所示。对站在 控制体上的观察者而言，水以速度Vr沿两支喷管做定常直线流动。由 下式：
上式的物理意义是：对可压缩流体定常流动，从任何固定 不变形的控制面净流出的质流量恒为零。
对一维流管流动，设出入口的质量流量大小分别为 mout 和 min，从质量流量公式可得
mout min
(VA)out (VA)in
B4.2.1 固定控制体 对有多个出入口的控制面上的定常流动，由前面的 公式可得
DNsys d (vr nr )dA
Dt t CV
CS
DN sys Dt
表示系统与控制体重合时系统广延量对时间的随体导数，又称 系统导数；
d
t CV
(vr nr )dA
CS
表示控制体广延量随时间的变化率，又称当地变化率，反映流 场的不定常性（定常时为零）；
表示通过控制面净流出控制体的广延量流量，又称为迁移变化 率，反映流场的不均匀性（均匀时为零）。
B4.3 伯努利方程及其应用 伯努利方程由伯努利（D.Bernouli，
1738）首先提出，后来由欧拉（L.Euler）完 善其理论推导过程。
伯努利方程首次以动能与压强势能相互 转换的形式确定了流体运动中速度与压强之 间的关系。
B4.3.1 沿流线的伯努利方程 沿流线的欧拉运动方程
在无粘性流体的重力流场中沿流线S取一圆柱形体积元控 制体（如图）,控制元长δs, 端面面积为δA; 两端面上的压
s
将流体元的加速度表达为欧拉形式
代回原式得：
dv(s,t) v v v dt t s
Dt t CV
CS
是对固定控制体导出的，若控制体作匀速运动
时，下面哪个结论是对的：
（A）仍然适用；
（B）不再适用；
（C）形式不变，但需将迁移项中v改为相对速度vr。
B4.2 积分形式的连续性方程
设 (rr,t) ，系统质量为
msys
d
sys
根据质量守恒定律：
dmsys d d 0
dt dt sys
(t t) 1 4 5 CV ( 2 3 ) 4 5
控制面
CS A2 A3 A4 A5
t 时刻物理量的空间分布函数（单位体积之值），在系统上的积分
Nsys (t)
(rr , t )d
sys
由时间导数的定义，系统广延量的时间导数可表示为
dNsys lim 1 dt t0 t
为相对于控制体的相对速度，即可得运动控制体形式的连续
性方程：
t
d
CV
CS (vr n)dA 0
对具有多个一维出入口的定常流动为
(Vr A)out (Vr A)in
上两式常在旋转控制体（如流体机械）中运用。
B4.2.2 运动控制体 思考题： 所谓非惯性系是仅指：
（A） 做加速运动的控制体；
（B） 做匀角速度旋转的控制体；
（C） 做非匀角速度旋转的控制体；
（D） 包括以上三个答案。
相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动的参 考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地 球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力 学问题。
例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程
d (v n)dAindt
II lim 1 d d
t t0
2
3
t t
II
lim
t 0
1
t
(v n)dA t
A2
A3
(
v
n)dA
t
t
t
(v n)dA (v n)dA
A2
A3
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右端第三项代表单位时间内通过控制面流出控制体的广延量（正值）
d (v n)dAoutdt
III lim 1 d d
B4 积分形式的基本方程
B4.1 流体系统的随体导数 B4.2 积分形式的连续性方程 B4.3 伯努利方程及其应用 B4.4 积分形式的动量方程及其应用 B4.5 积分形式的动量矩方程 B4.6 积分形式的能量方程
B4 积分形式的基本方程
积分形式的流体力学基本方程描述空间有限体积域上的流体运动 规律，主要涉及流体质量、动量 、动量矩和能量等物理量在有限体积 域上的积分值（广延量）随时间和位置的变化规律，它在工程上有广 泛应用。
(Vr A) out (Vr A) in
可得
1Vr1A1 2Vr2 A2 Q
例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程
水为不可压缩流体 1 2 ，且 A1 A2 A，由两臂对称方程
Vr1 Vr2 Vr ，上式化为：
2Vr A Q
管内相对速度为： Q 1200106 m3 / s
N(t t) N(t)
lim
t 0
1
t
d
t t
d
t
由于控制体积分区域 (t t)可分割成数块， (t) CV
B4.1 流体系统的随体导数
dNsys dt
lim 1
t0 t
d
CV
t t
d d
2
3
t t
d d
4
5
t t
d
CV
t
强分别为p和p + δp,重力为gδAδs, 在流线切线方向（即速
度方向）运用牛顿第二定律可得
gδAδs cos pδA ( p p δs)δA δAδs dv(a,t)
s
dt
整理后取极限可得：
g cos 1 p dv(s,t) s dt
B4.3.1 沿流线的伯努利方程
由几何关系
cos z
t t0
4
5
t t
III
lim
t 0
1
t
(v n)dA t
A4
A5
(
v
n)dA
t
t
t
(v n)dA (v n)dA
A4
A5
B4.1 流体系统的随体导数
将II与III相加可得
II+III
(v n)dA (v n)dA
A2 A3 A4 A5
CS
上式代表单位时间内通过控制面净流出控制体的广延量。
mout min
(VA)out (VA)in
例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
已知：下图是人主动脉弓模型示意图。血液从升主动 脉1经主动脉弓流向降主动脉5，方向改变约 180°，主动脉弓上分支出头臂干动脉2，左 颈总动脉3和左锁骨下动脉4。设所有管截面 均为圆形，管直径分别为d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量 分别为Q1=6 L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。
由于
(r ,
t)为流体系统内物理量的空间分布函数，在系统
（system）上积分：
Nsys (t)
(rr , t )d
sys
称为系统广延量。当 取密度、动量、动量矩和能量函数 时，分别可得系统质量、系统动量、系统动量矩和系统能
量等。
控制体广延量
NCV (t)
(x, y, z,t)d
CV
B4.2.1 固定控制体
思考题： 对于连续性方程： (v n)dA 0
CS
的说法，下列哪个是对的（ ）
（A）仅适用于不可压缩流体的定常流动的；
（B）也适用于不可压缩流体的不定常流动；
（C）适用于任何流体的定常流动。
B4.2.1 固定控制体 可压缩流体定常运动
对密度可变流体的定常流动，可得
(vr nr)dA 0 CS
令截面1,2上的流量大小分别为Q1, Q2，由流量公式可得
Q1 Q2
由平均速度公式可得
V2 A2 V1 A1
早在16世纪初，达.芬奇就发现了这一规律。
B4.2.1 固定控制体 若控制面上有多个出入口，设出入口的流量大小为 Qout, Qin，由前面的公式可得
Qout Qin
(VA)out (VA)in
B4.1 流体系统的随体导数 定常流场输运公式
DNsys (vr nr )dA Dt CS
上式表明在定常流场中，当系统与控制体重合时，系统 广延量的变化只取决于控制面上的流动，与控制体内的 流动无关（见下图）。
B4.1 流体系统的随体导数
思考题： 运输公式：
DNsys d (vr nr )dA
lim
t 0
1
t
d
CV
t t
d
CV
t
lim 1 d d lim 1 d d
t t0
2
3
t t t t0
4
5
t t
右端第一项代表控制体广延量对时间的导数
I
lim
t0
1
t
d
CV
t t
d
CV
t
t
d
CV
B4.1 流体系统的随体导数
右端第二项代表单位时间内通过控制面流入控制体的广延量（负值）
将I，II，III式代入原系统广延量的时间导数公式，并用 D/DT代替d/dt
DNsys
d
(vr
r n)dA
DT t CV
CS
上式被称为雷诺输运公式，简称输运公式。
B4.1 流体系统的随体导数
类似于流体质点的随体导数（质点导数）概念，用控制 体上的欧拉坐标表示流体系统的随体导数，关系式为：
（2）各管的平均速度为
V1
4Q1
d12
46 l/min 1000 cm3/l 2.5 cm260 s/min
20.4cm/s
V2
4Q2
d
2 2
40.66 l/min1000cm3/l 1.1cm260 s/min
11.6c m/s
V3
4Q3
d32
40.076 l/min1000cm3/l 0.7 cm260 s/min
18.2c m/s
V4
4Q4
d
2 4
40.04 6 l/min 1000 cm3/l 0.8cm260 s/min
8.0cm/s
V5
4Q5 d52
4
0.78 6 l/min 1000 cm3/l 2.0 cm260 s/min
24.8cm/s
B4.2.2 运动控制体
无论是惯性系还是非惯性系，只要将迁移项中的速度改
Vr 2A 2(40106 m2 ) 15m / s 喷口的牵连速度为：
U R (500 r / min)2 (0.15m) 7.85m / s
60s / min
由喷口的速度矢量合成，绝对速度为： V [Vr2 U 2 2VrU cos ]1/ 2 [(15m / s)2 (7.85m / s)2 2(15m / s)(7.85m / s) cos 30o]1/ 2 9.1m / s
主要内容：流体系统的随体导数；积分形式的连续性方程、动量
方程、动量矩方程和能量方程及其应用，伯努利方程及其应用等。
重点：（1）有限控制体分析，输运公式；
（2）有多个一维出入口的控制体上的连续性方程；
（3）伯努利方程；
（4）有多个一维出入口的控制体上的定常动量方程等。
B4.1 流体系统的随体导数
系统广延量
CV
t
d
CS
v
ndA
0
不可压缩流体
当密度为常数时，式中当地项为零，迁移项中密度项可消去，
得
(v n)dA 0
CS
上式的物理意义是：对不可压缩流体的流动，从任何固定 不变形的控制面净流出的体积流量恒为零。
B4.2.1 固定控制体
对不可压缩流体一维流管流动
out (vr nr )dAout in (vr nr )dAin 0
由输运公式可得： d (vr nr )dA 0
t CV
CS
上式称为积分形式的连续性方程，适用于任何流体的 定常和不定常流动。
上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流 体质量随时间的减少率。
B4.2.1 固定控制体
实际上，对固定不变形的控制体，上面式子中的当地项中
微分和积分运算可变换，迁移项中 v为绝对速度。
试求：(1)管2的平均流量Q2； (2)各管的平均速度（用cm/s表示）。
解：由取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按 不可压缩流体处理，由式
∑Qout=∑Qin
Q1 = Q2 + Q3 + Q4 + Q5
例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
（1）管2的流量为
Q2 = Q1－(Q3 + Q4 + Q5) = Q1－(0.07+0.04+0.78)Q1 = 0.11Q1= 0.66 L/min