积分形式的基本方程
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s
将流体元的加速度表达为欧拉形式
代回原式得：
dv(s,t) v v v dt t s
DNsys d (vr nr )dA
Dt t CV
CS
DN sys Dt
表示系统与控制体重合时系统广延量对时间的随体导数，又称 系统导数；
d
t CV
(vr nr )dA
CS
表示控制体广延量随时间的变化率，又称当地变化率，反映流 场的不定常性（定常时为零）；
表示通过控制面净流出控制体的广延量流量，又称为迁移变化 率，反映流场的不均匀性（均匀时为零）。
(t t) 1 4 5 CV ( 2 3 ) 4 5
控制面
CS A2 A3 A4 A5
t 时刻物理量的空间分布函数（单位体积之值），在系统上的积分
Nsys (t)
(rr , t )d
sys
由时间导数的定义，系统广延量的时间导数可表示为
dNsys lim 1 dt t0 t
Dt t CV
CS
是对固定控制体导出的，若控制体作匀速运动
时，下面哪个结论是对的：
（A）仍然适用；
（B）不再适用；
（C）形式不变，但需将迁移项中v改为相对速度vr。
B4.2 积分形式的连续性方程
设 (rr,t) ，系统质量为
msys
d
sys
根据质量守恒定律：
dmsys d d 0
dt dt sys
CV
t
d
CS
v
ndA
0
不可压缩流体
当密度为常数时，式中当地项为零，迁移项中密度项可消去，
得
(v n)dA 0
CS
上式的物理意义是：对不可压缩流体的流动，从任何固定 不变形的控制面净流出的体积流量恒为零。
B4.2.1 固定控制体
对不可压缩流体一维流管流动
out (vr nr )dAout in (vr nr )dAin 0
由输运公式可得： d (vr nr )dA 0
t CV
CS
上式称为积分形式的连续性方程，适用于任何流体的 定常和不定常流动。
上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流 体质量随时间的减少率。
B4.2.1 固定控制体
实际上，对固定不变形的控制体，上面式子中的当地项中
微分和积分运算可变换，迁移项中 v为绝对速度。
B4 积分形式的基本方程
B4.1 流体系统的随体导数 B4.2 积分形式的连续性方程 B4.3 伯努利方程及其应用 B4.4 积分形式的动量方程及其应用 B4.5 积分形式的动量矩方程 B4.6 积分形式的能量方程
B4 积分形式的基本方程
积分形式的流体力学基本方程描述空间有限体积域上的流体运动 规律，主要涉及流体质量、动量 、动量矩和能量等物理量在有限体积 域上的积分值（广延量）随时间和位置的变化规律，它在工程上有广 泛应用。
t t0
4
5
t t
III
lim
t 0
1
t
(v n)dA t
A4
A5
(
v
n)dA
t
t
t
(v n)dA (v n)dA
A4
A5
B4.1 流体系统的随体导数
将II与III相加可得
II+III
(v n)dA (v n)dA
A2 A3 A4 A5
CS
上式代表单位时间内通过控制面净流出控制体的广延量。
Vr 2A 2(40106 m2 ) 15m / s 喷口的牵连速度为：
U R (500 r / min)2 (0.15m) 7.85m / s
60s / min
由喷口的速度矢量合成，绝对速度为： V [Vr2 U 2 2VrU cos ]1/ 2 [(15m / s)2 (7.85m / s)2 2(15m / s)(7.85m / s) cos 30o]1/ 2 9.1m / s
已知：下图为洒水器示意图。臂长R=150mm，喷水管面积 A=40mm2，喷口偏转角 30 水从中心转轴底部流入， 总流量Q=120mL/s，从两喷口流出。喷管角速度为
=500转/分
求：（1）管内水流的相对速度Vr。 （2）管口水流的绝对速度V。
解：取包围喷管，并与喷管一起旋转的控制体，如图中虚线所示。对站在 控制体上的观察者而言，水以速度Vr沿两支喷管做定常直线流动。由 下式：
mout min
(VA)out (VA)in
例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
已知：下图是人主动脉弓模型示意图。血液从升主动 脉1经主动脉弓流向降主动脉5，方向改变约 180°，主动脉弓上分支出头臂干动脉2，左 颈总动脉3和左锁骨下动脉4。设所有管截面 均为圆形，管直径分别为d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量 分别为Q1=6 L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。
上式的物理意义是：对可压缩流体定常流动，从任何固定 不变形的控制面净流出的质流量恒为零。
对一维流管流动，设出入口的质量流量大小分别为 mout 和 min，从质量流量公式可得
mout min
(VA)out (VA)in
B4.2.1 固定控制体 对有多个出入口的控制面上的定常流动，由前面的 公式可得
B4.2.1 固定控制体
思考题： 对于连续性方程： (v n)dA 0
CS
的说法，下列哪个是对的（ ）
（A）仅适用于不可压缩流体的定常流动的；
（B）也适用于不可压缩流体的不定常流动；
（C）适用于任何流体的定常流动。
B4.2.1 固定控制体 可压缩流体定常运动
对密度可变流体的定常流动，可得
(vr nr)dA 0 CS
B4.1 流体系统的随体导数 有限控制体分析，输运公式
在流场中取一固定不变形的有限控制体 CV （图中虚线包围的区域）
控制体表面为CS，一流体系统sys（实线包围区域）在 t 时刻刚好与控制体重合，以后流体系统可以与控制体形状 不同。右图为控制体形状变化示意图：
B4.1 流体系统的随体导数
控制体
B4.1 流体系统的随体导数 定常流场输运公式
DNsys (vr nr )dA Dt CS
上式表明在定常流场中，当系统与控制体重合时，系统 广延量的变化只取决于控制面上的流动，与控制体内的 流动无关（见下图）。
B4.1 流体系统的随体导数
思考题： 运输公式：
DNsys d (vr nr )dA
（B） 做匀角速度旋转的控制体；
（C） 做非匀角速度旋转的控制体；
（D） 包括以上三个答案。
相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动的参 考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地 球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力 学问题。
例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程
lim
t 0
1
t
d
CV
t t
d
CV
t
lim 1 d d lim 1 d d
t t0
2
3
t t t t0
4
5
t t
右端第一项代表控制体广延量对时间的导数
I
lim
t0
1
t
d
CV
t t
d
CV
t
t
d
CV
B4.1 流体系统的随体导数
右端第二项代表单位时间内通过控制面流入控制体的广延量（负值）
为相对于控制体的相对速度，即可得运动控制体形式的连续
性方程：
t
d
CV
CS (vr n)dA 0
对具有多个一维出入口的定常流动为
(Vr A)out (Vr A)in
上两式常在旋转控制体（如流体机械）中运用。
B4.2.2 运动控制体 思考题： 所谓非惯性系是仅指：
（A） 做加速运动的控制体；
d (v n)dAindt
II lim 1 d d
t t0
2
3
t t
II
lim
t 0
1
t
(v n)dA t
A2
A3
(
v
n)dA
t
t
t
(v n)dA (v n)dA
A2
A3
右端第三项代表单位时间内通过控制面流出控制体的广延量（正值）
d (v n)dAoutdt
III lim 1 d d
(Vr A) out (Vr A) in
可得
1Vr1A1 2Vr2 A2 Q
例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程
水为不可压缩流体 1 2 ，且 A1 A2 A，由两臂对称方程
Vr1 Vr2 Vr ，上式化为：
2Vr A Q
管内相对速度为： Q 1200106 m3 / s
主要内容：流体系统的随体导数；积分形式的连续性方程、动量
方程、动量矩方程和能量方程及其应用，伯努利方程及其应用等。
重点：（1）有限控制体分析，输运公式；
（2）有多个一维出入口的控制体上的连续性方程；
（3）伯努利方程；
（4）有多个一维出入口的控制体上的定常动量方程等。
B4.1 流体系统的随体导数
系统广延量
18.2c m/s
V4
4Q4
d
2 4
40.04 6 l/min 1000 cm3/l 0.8cm260 s/min
8.0cm/s
V5
4Q5 d52
4
0.78 6 l/min 1000 cm3/l 2.0 cm260 s/min
24.8cm/s
B4.2.2 运动控制体
无论是惯性系还是非惯性系，只要将迁移项中的速度改
强分别为p和p + δp,重力为gδAδs, 在流线切线方向（即速
度方向）运用牛顿第二定律可得
gδAδs cos pδA ( p p δs)δA δAδs dv(a,t)
s
dt
整理后取极限可得：
g cos 1 p dv(s,t) s dt
B4.3.1 沿流线的伯努利方程
由几何关系
cos z
令截面1,2上的流量大小分别为Q1, Q2，由流量公式可得
Q1 Q2
由平均速度公式可得
V2 A2 V1 A1
早在16世纪初，达.芬奇就发现了这一规律。
B4.2.1 固定控制体 若控制面上有多个出入口，设出入口的流量大小为 Qout, Qin，由前面的公式可得
Qout Qin
(VA)out (VA)in
试求：(1)管2的平均流量Q2； (2)各管的平均速度（用cm/s表示）。
解：由取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按 不可压缩流体处理，由式
∑Qout=∑Qin
Q1 = Q2 + Q3 + Q4 + Q5
例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
（1）管2的流量为
Q2 = Q1－(Q3 + Q4 + Q5) = Q1－(0.07+0.04+0.78)Q1 = 0.11Q1= 0.66 L/min
N(t t) N(t)
lim
t 0
1
t
d
t t
d
t
由于控制体积分区域 (t t)可分割成数块， (t) CV
B4.1 流体系统的随体导数
dNsys dt
lim 1
t0 t
d
CV
t t
d d
2
3
t t
d d
4
5
t t
d
CV
t
由于
(r ,
t)为流体系统内物理量的空间分布函数，在系统
（system）上积分：
Nsys (t)
(rr , t )d
sys
称为系统广延量。当 取密度、动量、动量矩和能量函数 时，分别可得系统质量、系统动量、系统动量矩和系统能
量等。
控制体广延量
NCV (t)
(x, y, z,t)d
CV
B4.3 伯努利方程及其应用 伯努利方程由伯努利（D.Bernouli，
1738）首先提出，后来由欧拉（L.Euler）完 善其理论推导过程。
伯努利方程首次以动能与压强势能相互 转换的形式确定了流体运动中速度与压强之 间的关系。
B4.3.1 沿流线的伯努利方程 沿流线的欧拉运动方程
在无粘性流体的重力流场中沿流线S取一圆柱形体积元控 制体（如图）,控制元长δs, 端面面积为δA; 两端面上的压
将I，II，III式代入原系统广延量的时间导数公式，并用 D/DT代替d/dt
DNsys
d
(vr
r n)dA
DT t CV
CS
上式被称为雷诺输运公式，简称输运公式。
B4.1 流体系统的随体导数
类似于流体质点的随体导数（质点导数）概念，用控制 体上的欧拉坐标表示流体系统的随体导数，关系式为：
（2）各管的平均速度为
V1
4Q1
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
46 l/min 1000 cm3/l 2.5 cm260 s/min
20.4cm/s
V2
4Q2
d
2 2
40.66 l/min1000cm3/l 1.1cm260 s/min
11.6c m/s
V3
4Q3
d32
40.076 l/min1000cm3/l 0.7 cm260 s/min
将流体元的加速度表达为欧拉形式
代回原式得：
dv(s,t) v v v dt t s
DNsys d (vr nr )dA
Dt t CV
CS
DN sys Dt
表示系统与控制体重合时系统广延量对时间的随体导数，又称 系统导数；
d
t CV
(vr nr )dA
CS
表示控制体广延量随时间的变化率，又称当地变化率，反映流 场的不定常性（定常时为零）；
表示通过控制面净流出控制体的广延量流量，又称为迁移变化 率，反映流场的不均匀性（均匀时为零）。
(t t) 1 4 5 CV ( 2 3 ) 4 5
控制面
CS A2 A3 A4 A5
t 时刻物理量的空间分布函数（单位体积之值），在系统上的积分
Nsys (t)
(rr , t )d
sys
由时间导数的定义，系统广延量的时间导数可表示为
dNsys lim 1 dt t0 t
Dt t CV
CS
是对固定控制体导出的，若控制体作匀速运动
时，下面哪个结论是对的：
（A）仍然适用；
（B）不再适用；
（C）形式不变，但需将迁移项中v改为相对速度vr。
B4.2 积分形式的连续性方程
设 (rr,t) ，系统质量为
msys
d
sys
根据质量守恒定律：
dmsys d d 0
dt dt sys
CV
t
d
CS
v
ndA
0
不可压缩流体
当密度为常数时，式中当地项为零，迁移项中密度项可消去，
得
(v n)dA 0
CS
上式的物理意义是：对不可压缩流体的流动，从任何固定 不变形的控制面净流出的体积流量恒为零。
B4.2.1 固定控制体
对不可压缩流体一维流管流动
out (vr nr )dAout in (vr nr )dAin 0
由输运公式可得： d (vr nr )dA 0
t CV
CS
上式称为积分形式的连续性方程，适用于任何流体的 定常和不定常流动。
上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流 体质量随时间的减少率。
B4.2.1 固定控制体
实际上，对固定不变形的控制体，上面式子中的当地项中
微分和积分运算可变换，迁移项中 v为绝对速度。
B4 积分形式的基本方程
B4.1 流体系统的随体导数 B4.2 积分形式的连续性方程 B4.3 伯努利方程及其应用 B4.4 积分形式的动量方程及其应用 B4.5 积分形式的动量矩方程 B4.6 积分形式的能量方程
B4 积分形式的基本方程
积分形式的流体力学基本方程描述空间有限体积域上的流体运动 规律，主要涉及流体质量、动量 、动量矩和能量等物理量在有限体积 域上的积分值（广延量）随时间和位置的变化规律，它在工程上有广 泛应用。
t t0
4
5
t t
III
lim
t 0
1
t
(v n)dA t
A4
A5
(
v
n)dA
t
t
t
(v n)dA (v n)dA
A4
A5
B4.1 流体系统的随体导数
将II与III相加可得
II+III
(v n)dA (v n)dA
A2 A3 A4 A5
CS
上式代表单位时间内通过控制面净流出控制体的广延量。
Vr 2A 2(40106 m2 ) 15m / s 喷口的牵连速度为：
U R (500 r / min)2 (0.15m) 7.85m / s
60s / min
由喷口的速度矢量合成，绝对速度为： V [Vr2 U 2 2VrU cos ]1/ 2 [(15m / s)2 (7.85m / s)2 2(15m / s)(7.85m / s) cos 30o]1/ 2 9.1m / s
已知：下图为洒水器示意图。臂长R=150mm，喷水管面积 A=40mm2，喷口偏转角 30 水从中心转轴底部流入， 总流量Q=120mL/s，从两喷口流出。喷管角速度为
=500转/分
求：（1）管内水流的相对速度Vr。 （2）管口水流的绝对速度V。
解：取包围喷管，并与喷管一起旋转的控制体，如图中虚线所示。对站在 控制体上的观察者而言，水以速度Vr沿两支喷管做定常直线流动。由 下式：
mout min
(VA)out (VA)in
例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
已知：下图是人主动脉弓模型示意图。血液从升主动 脉1经主动脉弓流向降主动脉5，方向改变约 180°，主动脉弓上分支出头臂干动脉2，左 颈总动脉3和左锁骨下动脉4。设所有管截面 均为圆形，管直径分别为d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量 分别为Q1=6 L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。
上式的物理意义是：对可压缩流体定常流动，从任何固定 不变形的控制面净流出的质流量恒为零。
对一维流管流动，设出入口的质量流量大小分别为 mout 和 min，从质量流量公式可得
mout min
(VA)out (VA)in
B4.2.1 固定控制体 对有多个出入口的控制面上的定常流动，由前面的 公式可得
B4.2.1 固定控制体
思考题： 对于连续性方程： (v n)dA 0
CS
的说法，下列哪个是对的（ ）
（A）仅适用于不可压缩流体的定常流动的；
（B）也适用于不可压缩流体的不定常流动；
（C）适用于任何流体的定常流动。
B4.2.1 固定控制体 可压缩流体定常运动
对密度可变流体的定常流动，可得
(vr nr)dA 0 CS
B4.1 流体系统的随体导数 有限控制体分析，输运公式
在流场中取一固定不变形的有限控制体 CV （图中虚线包围的区域）
控制体表面为CS，一流体系统sys（实线包围区域）在 t 时刻刚好与控制体重合，以后流体系统可以与控制体形状 不同。右图为控制体形状变化示意图：
B4.1 流体系统的随体导数
控制体
B4.1 流体系统的随体导数 定常流场输运公式
DNsys (vr nr )dA Dt CS
上式表明在定常流场中，当系统与控制体重合时，系统 广延量的变化只取决于控制面上的流动，与控制体内的 流动无关（见下图）。
B4.1 流体系统的随体导数
思考题： 运输公式：
DNsys d (vr nr )dA
（B） 做匀角速度旋转的控制体；
（C） 做非匀角速度旋转的控制体；
（D） 包括以上三个答案。
相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动的参 考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地 球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力 学问题。
例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程
lim
t 0
1
t
d
CV
t t
d
CV
t
lim 1 d d lim 1 d d
t t0
2
3
t t t t0
4
5
t t
右端第一项代表控制体广延量对时间的导数
I
lim
t0
1
t
d
CV
t t
d
CV
t
t
d
CV
B4.1 流体系统的随体导数
右端第二项代表单位时间内通过控制面流入控制体的广延量（负值）
为相对于控制体的相对速度，即可得运动控制体形式的连续
性方程：
t
d
CV
CS (vr n)dA 0
对具有多个一维出入口的定常流动为
(Vr A)out (Vr A)in
上两式常在旋转控制体（如流体机械）中运用。
B4.2.2 运动控制体 思考题： 所谓非惯性系是仅指：
（A） 做加速运动的控制体；
d (v n)dAindt
II lim 1 d d
t t0
2
3
t t
II
lim
t 0
1
t
(v n)dA t
A2
A3
(
v
n)dA
t
t
t
(v n)dA (v n)dA
A2
A3
右端第三项代表单位时间内通过控制面流出控制体的广延量（正值）
d (v n)dAoutdt
III lim 1 d d
(Vr A) out (Vr A) in
可得
1Vr1A1 2Vr2 A2 Q
例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程
水为不可压缩流体 1 2 ，且 A1 A2 A，由两臂对称方程
Vr1 Vr2 Vr ，上式化为：
2Vr A Q
管内相对速度为： Q 1200106 m3 / s
主要内容：流体系统的随体导数；积分形式的连续性方程、动量
方程、动量矩方程和能量方程及其应用，伯努利方程及其应用等。
重点：（1）有限控制体分析，输运公式；
（2）有多个一维出入口的控制体上的连续性方程；
（3）伯努利方程；
（4）有多个一维出入口的控制体上的定常动量方程等。
B4.1 流体系统的随体导数
系统广延量
18.2c m/s
V4
4Q4
d
2 4
40.04 6 l/min 1000 cm3/l 0.8cm260 s/min
8.0cm/s
V5
4Q5 d52
4
0.78 6 l/min 1000 cm3/l 2.0 cm260 s/min
24.8cm/s
B4.2.2 运动控制体
无论是惯性系还是非惯性系，只要将迁移项中的速度改
强分别为p和p + δp,重力为gδAδs, 在流线切线方向（即速
度方向）运用牛顿第二定律可得
gδAδs cos pδA ( p p δs)δA δAδs dv(a,t)
s
dt
整理后取极限可得：
g cos 1 p dv(s,t) s dt
B4.3.1 沿流线的伯努利方程
由几何关系
cos z
令截面1,2上的流量大小分别为Q1, Q2，由流量公式可得
Q1 Q2
由平均速度公式可得
V2 A2 V1 A1
早在16世纪初，达.芬奇就发现了这一规律。
B4.2.1 固定控制体 若控制面上有多个出入口，设出入口的流量大小为 Qout, Qin，由前面的公式可得
Qout Qin
(VA)out (VA)in
试求：(1)管2的平均流量Q2； (2)各管的平均速度（用cm/s表示）。
解：由取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按 不可压缩流体处理，由式
∑Qout=∑Qin
Q1 = Q2 + Q3 + Q4 + Q5
例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程
（1）管2的流量为
Q2 = Q1－(Q3 + Q4 + Q5) = Q1－(0.07+0.04+0.78)Q1 = 0.11Q1= 0.66 L/min
N(t t) N(t)
lim
t 0
1
t
d
t t
d
t
由于控制体积分区域 (t t)可分割成数块， (t) CV
B4.1 流体系统的随体导数
dNsys dt
lim 1
t0 t
d
CV
t t
d d
2
3
t t
d d
4
5
t t
d
CV
t
由于
(r ,
t)为流体系统内物理量的空间分布函数，在系统
（system）上积分：
Nsys (t)
(rr , t )d
sys
称为系统广延量。当 取密度、动量、动量矩和能量函数 时，分别可得系统质量、系统动量、系统动量矩和系统能
量等。
控制体广延量
NCV (t)
(x, y, z,t)d
CV
B4.3 伯努利方程及其应用 伯努利方程由伯努利（D.Bernouli，
1738）首先提出，后来由欧拉（L.Euler）完 善其理论推导过程。
伯努利方程首次以动能与压强势能相互 转换的形式确定了流体运动中速度与压强之 间的关系。
B4.3.1 沿流线的伯努利方程 沿流线的欧拉运动方程
在无粘性流体的重力流场中沿流线S取一圆柱形体积元控 制体（如图）,控制元长δs, 端面面积为δA; 两端面上的压
将I，II，III式代入原系统广延量的时间导数公式，并用 D/DT代替d/dt
DNsys
d
(vr
r n)dA
DT t CV
CS
上式被称为雷诺输运公式，简称输运公式。
B4.1 流体系统的随体导数
类似于流体质点的随体导数（质点导数）概念，用控制 体上的欧拉坐标表示流体系统的随体导数，关系式为：
（2）各管的平均速度为
V1
4Q1
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
46 l/min 1000 cm3/l 2.5 cm260 s/min
20.4cm/s
V2
4Q2
d
2 2
40.66 l/min1000cm3/l 1.1cm260 s/min
11.6c m/s
V3
4Q3
d32
40.076 l/min1000cm3/l 0.7 cm260 s/min