最新《数学分析》第十二章数项级数2
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u n n
二、1、发散；
2、发散.
三、1、发散；
2、收敛.
四、1、收敛；
2、收敛.
五、1、发散；
2、收敛；
a 1,收敛; 3、0 a 1,发散;
a 1,发散.
结束语
谢谢大家聆听！！！
24
1
(1) ;
n1n!
n!
(2) n11n 0; 1
1
(3)
.
n1(2n1)2n
解
(1)
u n1 ( n 1)!
un
1
1 0(n ), n1
n!
故级数 1收敛 .
n1n!
(2)
un1 un
(1n0n11)!1n0!n
n 1 (n ), 10
故级n数 11n0!n 发散 .
如果有p1, 使得nl im npun存在,
则级数 un收敛.
n1
例 3 判 定 下 列 级 数 的 敛 散 性 :
(1) si1 n;
n1 n
1
(2)n13nn1 ;
解
(1)
limnsin1
n
n
lim
n
sin 1
n
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim 3 n n n 1 3n
lim n 1
1、
1；
n 1 [ln( n 1)] n
2、 (
n
)2n1 .
n1 3n 1
五 、判 别下 列级 数的 收敛性:
1、 2 3 2
2、 2n
n1
sin
3n
；
n1 ； n
3、 ln( n 2 )
n1 (a 1 )n n
(a 0).
练习题答案
一、1、 p 1, p 1；
2、 1, 1(或 lim un1 ), 1.
《数学分析》第十二章数项级 数2
正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级un中 数各项 un 均 0， 有
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{ sn }为单调增加数列.
定理
正项级 数 部收 分敛 和所 sn有 成 .界 的数
证明 (1)由limun l v n
n
对于 l 0,
2
N, 当nN时, l l un l l
2 vn
2
即 2 lvnun3 2 lvn (nN )
由比较审敛法的推论, 得证.
5 . 极 限 审 敛 法 ：
设un为 正 项 级 数 ,
n1
如果n l i m nu n l 0 (或n l i m nu n ),
则级数 un发散;
n1
证明 当为有限数,时对 0, N, 当nN时, 有 un1 ,
un
即 un1 (nN )
un
当1时, 取 1, 使 r1,
uN 2rN u 1, u N 3 rN u 2 r 2 u N 1 , ,
u N mrm 1u N 1,
而级数 rm1uN1收敛 ,
m1
uNm uu收敛 , 收敛
n1
n1
lim
n
un2 un
ln imun 0
由比较审敛法知 u n 2 收敛.
反之不成立.
n1 1
源自文库
1
例如：
n
1
n
2
收敛,
n 1 n 发散.
练习题
一、填空题: 1、 p 级 数 当 _______时 收 敛 ,当 _______时 发 散 ；
2 、 若 正 项 级 数 u n 的 后 项 与 前 项 之 比 值 的 根 等于 , n1 则 当 ________时 级 数 收 敛 ； ________时 级 数 发 散 ； ____________时 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
(为数 或 ),则 1 时 级 数 收 敛 ;
1 时 级 数 发 散 ; 1 时 失 效 .
例如 , 设级数 1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0(n ) 级数收敛.
思考题
设正项级数un 收敛, 能否推得un2收敛?
n1
n1
反之是否成立?
思考题解答
由 正 项 级 数 un收 敛 ， 可 以 推 得 un2收 敛 ,
( 3 ) liu m n 1lim (2n1 )2n 1, n u n n (2n1 )(2n2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n11)2nn12,
级数
1
n2
n1
收敛 ,
故级 n 1数 2n(21n1)收.敛
7.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un是 正 项 级 数 ,如 果 ln i m nun n1
m1
nN1
当1时, 取 1, 使 r1,
当nN时, u n 1 rn u u n , ln im un0. 发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1 . 当 1 时 比 值 审 敛 法 失 效 ;
例
级数
1发散 ,
n1n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条 件 是 充 分 的 ,而 非 必 要 .
例 u n22 ( n1)n2 3 nvn,
级n数 1unn 122 ( n1)n收,敛
但 uu nn 122(2 ( ( 1)1n)n 1)an,
lnima2n
1, 6
ln im a2n1
3, 2
limun1 u n
n
ln im an不存. 在
例 4 判 别 下 列 级 数 的 收 敛 性 :
1
n 3n
1,
n1
1收 3n
敛,
故原级数收敛.
6.比 值 审 敛 法 (达 朗 贝 尔 D’Alembert判 别 法 )：
设 n 1u n是 正 项 级 数 , 如 果 n l i u m u n n 1 ( 数 或 )
则 1时 级 数 收 敛 ;1时 级 数 发 散 ; 1时 失 效 .
二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛
性:
1、1 12 13 1n ；
122 132
1n2
2、
1
n11an
(a0) .
三 、用 比值 审敛 法判 别下列 级数 的收 敛性:
1、 3
12
32 2 22
33 3 23
3n n 2n
；2、
n1
2 n n! . nn
四 、用 根值 审敛 法判 别下列 级数 的收 敛性:
二、1、发散；
2、发散.
三、1、发散；
2、收敛.
四、1、收敛；
2、收敛.
五、1、发散；
2、收敛；
a 1,收敛; 3、0 a 1,发散;
a 1,发散.
结束语
谢谢大家聆听！！！
24
1
(1) ;
n1n!
n!
(2) n11n 0; 1
1
(3)
.
n1(2n1)2n
解
(1)
u n1 ( n 1)!
un
1
1 0(n ), n1
n!
故级数 1收敛 .
n1n!
(2)
un1 un
(1n0n11)!1n0!n
n 1 (n ), 10
故级n数 11n0!n 发散 .
如果有p1, 使得nl im npun存在,
则级数 un收敛.
n1
例 3 判 定 下 列 级 数 的 敛 散 性 :
(1) si1 n;
n1 n
1
(2)n13nn1 ;
解
(1)
limnsin1
n
n
lim
n
sin 1
n
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim 3 n n n 1 3n
lim n 1
1、
1；
n 1 [ln( n 1)] n
2、 (
n
)2n1 .
n1 3n 1
五 、判 别下 列级 数的 收敛性:
1、 2 3 2
2、 2n
n1
sin
3n
；
n1 ； n
3、 ln( n 2 )
n1 (a 1 )n n
(a 0).
练习题答案
一、1、 p 1, p 1；
2、 1, 1(或 lim un1 ), 1.
《数学分析》第十二章数项级 数2
正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级un中 数各项 un 均 0， 有
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{ sn }为单调增加数列.
定理
正项级 数 部收 分敛 和所 sn有 成 .界 的数
证明 (1)由limun l v n
n
对于 l 0,
2
N, 当nN时, l l un l l
2 vn
2
即 2 lvnun3 2 lvn (nN )
由比较审敛法的推论, 得证.
5 . 极 限 审 敛 法 ：
设un为 正 项 级 数 ,
n1
如果n l i m nu n l 0 (或n l i m nu n ),
则级数 un发散;
n1
证明 当为有限数,时对 0, N, 当nN时, 有 un1 ,
un
即 un1 (nN )
un
当1时, 取 1, 使 r1,
uN 2rN u 1, u N 3 rN u 2 r 2 u N 1 , ,
u N mrm 1u N 1,
而级数 rm1uN1收敛 ,
m1
uNm uu收敛 , 收敛
n1
n1
lim
n
un2 un
ln imun 0
由比较审敛法知 u n 2 收敛.
反之不成立.
n1 1
源自文库
1
例如：
n
1
n
2
收敛,
n 1 n 发散.
练习题
一、填空题: 1、 p 级 数 当 _______时 收 敛 ,当 _______时 发 散 ；
2 、 若 正 项 级 数 u n 的 后 项 与 前 项 之 比 值 的 根 等于 , n1 则 当 ________时 级 数 收 敛 ； ________时 级 数 发 散 ； ____________时 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
(为数 或 ),则 1 时 级 数 收 敛 ;
1 时 级 数 发 散 ; 1 时 失 效 .
例如 , 设级数 1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0(n ) 级数收敛.
思考题
设正项级数un 收敛, 能否推得un2收敛?
n1
n1
反之是否成立?
思考题解答
由 正 项 级 数 un收 敛 ， 可 以 推 得 un2收 敛 ,
( 3 ) liu m n 1lim (2n1 )2n 1, n u n n (2n1 )(2n2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n11)2nn12,
级数
1
n2
n1
收敛 ,
故级 n 1数 2n(21n1)收.敛
7.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un是 正 项 级 数 ,如 果 ln i m nun n1
m1
nN1
当1时, 取 1, 使 r1,
当nN时, u n 1 rn u u n , ln im un0. 发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1 . 当 1 时 比 值 审 敛 法 失 效 ;
例
级数
1发散 ,
n1n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条 件 是 充 分 的 ,而 非 必 要 .
例 u n22 ( n1)n2 3 nvn,
级n数 1unn 122 ( n1)n收,敛
但 uu nn 122(2 ( ( 1)1n)n 1)an,
lnima2n
1, 6
ln im a2n1
3, 2
limun1 u n
n
ln im an不存. 在
例 4 判 别 下 列 级 数 的 收 敛 性 :
1
n 3n
1,
n1
1收 3n
敛,
故原级数收敛.
6.比 值 审 敛 法 (达 朗 贝 尔 D’Alembert判 别 法 )：
设 n 1u n是 正 项 级 数 , 如 果 n l i u m u n n 1 ( 数 或 )
则 1时 级 数 收 敛 ;1时 级 数 发 散 ; 1时 失 效 .
二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛
性:
1、1 12 13 1n ；
122 132
1n2
2、
1
n11an
(a0) .
三 、用 比值 审敛 法判 别下列 级数 的收 敛性:
1、 3
12
32 2 22
33 3 23
3n n 2n
；2、
n1
2 n n! . nn
四 、用 根值 审敛 法判 别下列 级数 的收 敛性: