角动量算符角动量平均值
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能量算符
i (r , t ) E (r , t ) (r , t ) E (r )e iEt / t ˆ (r ) E (r ) H E E
被称为能量本征函数， E被称
17
方程被称之为定态方程。因为本征值E具有能量的
E (r ) 量纲，故此，
为能量本征值。
* 3
5
二、力学量的平均值(2)
再如，动量 p
* 3 p ( p ) p ( p ) d p, 的平均值为：
其中，( p)是以 p为自变量的波函数,d 3 p dpx dpy dpz 3 3 * * 对比 x (r ) x (r )d r 和 V (r )V (r ) (r )d r
x y z
作用到平面波波函数 b (r ) e 有 i
b (r ) p b (r )
ipr /
上，
i b (r ) p b (r )
ˆ i 算符：p
7
三、力学量用算符表示(2)
i b (r ) p b (r )
b (r ) e
14
四、薛定谔方程（2）
连续性方程 － 薛定谔方程的推论 2 薛定格方程 * * ( 1 ) ( 1 ) 由 ，得
2 i (r , t ) [ V (r , t )] (r , t )（1） t 2m
2 2 * * 2 2 * i ( ) ( ) ( * * ) t 2m 2m 令 i (r , t ) * | |2 j (r , t ) ( * * )
E 2 mv V
对这个波函数关于时间做偏微商，有
i (r , t ) E (r , t ) i (r , t ) E (r , t ) t t
ˆ E i E 因此， t
能量算符
利用能量算符，可以从形式上给出量子力 学中的基本方程：薛定谔方程 13
3
不确定度关系与力学量的平均值
通过举例得到，xp 由此得知一般情 况下x和p不能完全确定。这样可以提出一 个问题: x和p的平均值可否确定？
由此引申出：力学量的平均值
4
二、力学量的平均值(1)
既然 | (r , t) |2 | ( x, y, z, t) |2 表示（时刻t 粒子出现在 点 r ( x, y, z ) 附 近的概率，那么粒子坐标的 平均值，例如 x 的平均值 x ，由概率论，有
V (r ) ，其平均值由 又如，势能V是 r 的函数：
x (t ) | ( r , t ) | xd r * ( r , t ) x ( r , t )d 3r,
2 3
概率论，可表示为
V (t ) (r , t )V (r ) (r , t )d r
提出两个问题： 3 * 1、为什么不能写成 p (r ) p(r ) (r )d r 2、能否用以坐标为自变量的波函数计算动 量的平均值？
由此引申出量子力学中特有的概念： 力学量的算符
6
三、力学量用算符表示(1) 当算符 i j k
量子力学
第一章 力学量算符与 薛定谔方程
1
III.
第三讲目录
一、 简短的回顾 二、力学量的平均值 三、力学量用算符表示 四、薛定格方程 五、量子力学的基本假设
2
一、简短的回顾 为了解释微观世界粒子的运动规律， 人们提出了以下观点
能量量子化，基于此，推出了Planck公式， 解释了黑体辐射现象； 波粒二象性: 认为任何粒子都具有粒子和波 动二重性。其中的波动，称为物质波，满足 德布罗意公式： υ=E/h，λ= h /p 测不准原理（不确定度关系）: 认为微观粒 子的坐标和动量不可能同时完全确定。
18
四、薛定谔方程（1）
量子力学的基本假设之一：波函数的 时空演化满足薛定谔方程 粒子的能量 E T V (r ),
T p /(2m)
2
2 ˆ T T 2 2m
对应关系
ˆ E E i , t
2
薛定谔方程
i (r , t ) [ 2 V (r , t )] (r , t ) t 2m
3 ˆ p (r ) p (r )d r
*
即：动量算符
9
三、力学量用算符表示(4)
动能 T p 2 / 2m ，动能算符
ˆ T
动能平均值 势能算符与平均势能 哈密顿算符
2
2m
,
2
ˆ 3 T (r )T (r )d r
*
2
1 v2 2 1 2 2 m0 1 2 c V m0c m0v V 2 2c
非相对论量子力学，
1 E E m0c m0v 2 V 2
2
12
三、力学量用算符表示 (6)
势场中粒子，波函数通常表示为 (r , t ) (r )eiEt / 这里 1 2
s
ds
d d j ds dt s
s
左边表示在闭区域 中找到粒子的总数目在单位时 间内的增量。 的封闭表面 s 而流入 右边表示单位时间内通过 内的粒子数。所以， j 表示粒子流密度。
16
本征方程
ˆ af 的方程，称为 数学中，形如 Af 本征方程。其中 ˆ 算符, f 本征函数, a 本征值 A
2 2 2 2 2 2 2 x y z
V * (r )V (r ) (r )d 3r
ˆ T ˆ V H
ˆ ˆ 角动量 l r p，角动量算符 l rp
角动量平均值
2m
2 V (r )
ˆ 3 l (r )l (r )d r
五、量子力学的基本假设
(r , t ) 描写。 1、微观粒子的状态由波函数 2 2、波函数的模方| (r , t ) | 表示 t 时刻粒子出现 在空间点(x,y,z)的概率。 3、力学量用算符表示。 4、波函数的运动满足薛定谔方程。 5、态叠加原理。
由此构成量子力学的公理体系
概率密度
概率(粒子)流密度
2m
j 0 得到连续性方程 t
15
四、薛定谔方程（3）
概率守恒定律Baidu Nhomakorabea
j 0 有 由 t
| ( x, y, z) |
2
高斯定理 ( f ) d f ds
有
( )d ( j )d 0 t
ipr /
以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为
(r )
1 (2 )
*
32
( p )e
ipr /
d p, ( p )
3
ip 1 r / 3 ( r ) e d r 32 (2)
1 ip r / pe ( p) p 3 2 (2) 1 3 3 * ipr / d pd r (r ) (i)e ( p) 32 (2) 3 3 * (r ˆ * (r )(i) (r )d r ) p (r )d r
动量的平均值
3 ( p) p ( p)d p
d pd r (r )
3 3 *
8
三、力学量用算符表示(3)
动量的平均值， 用以动量为自变量的波函数表示 用以坐标为自变量的波函数表示
p
3 ( p) p ( p)d p
*
ˆ i 为动量 p 的算符， 其中，p
*
10
三、力学量用算符表示(5)
ˆ 3 力学量 A 的平均值为 A * (r ) A (r )d r
ˆ 为力学量 A 的算符。 其中， A 3 * r 问题：坐标 的平均值 r (r )r (r )d r
可否表示为 可以，其中
3 ˆ r ( p)r ( p)d p
*
ˆ r i p
11
三、力学量用算符表示 (6)
描述势场中粒子，一般波函数可表示为 (r , t ) (r )eiEt / 低速运动粒子
E mc V
2
m0 v2 1 2 c
c2 V
i (r , t ) E (r , t ) (r , t ) E (r )e iEt / t ˆ (r ) E (r ) H E E
被称为能量本征函数， E被称
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方程被称之为定态方程。因为本征值E具有能量的
E (r ) 量纲，故此，
为能量本征值。
* 3
5
二、力学量的平均值(2)
再如，动量 p
* 3 p ( p ) p ( p ) d p, 的平均值为：
其中，( p)是以 p为自变量的波函数,d 3 p dpx dpy dpz 3 3 * * 对比 x (r ) x (r )d r 和 V (r )V (r ) (r )d r
x y z
作用到平面波波函数 b (r ) e 有 i
b (r ) p b (r )
ipr /
上，
i b (r ) p b (r )
ˆ i 算符：p
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三、力学量用算符表示(2)
i b (r ) p b (r )
b (r ) e
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四、薛定谔方程（2）
连续性方程 － 薛定谔方程的推论 2 薛定格方程 * * ( 1 ) ( 1 ) 由 ，得
2 i (r , t ) [ V (r , t )] (r , t )（1） t 2m
2 2 * * 2 2 * i ( ) ( ) ( * * ) t 2m 2m 令 i (r , t ) * | |2 j (r , t ) ( * * )
E 2 mv V
对这个波函数关于时间做偏微商，有
i (r , t ) E (r , t ) i (r , t ) E (r , t ) t t
ˆ E i E 因此， t
能量算符
利用能量算符，可以从形式上给出量子力 学中的基本方程：薛定谔方程 13
3
不确定度关系与力学量的平均值
通过举例得到，xp 由此得知一般情 况下x和p不能完全确定。这样可以提出一 个问题: x和p的平均值可否确定？
由此引申出：力学量的平均值
4
二、力学量的平均值(1)
既然 | (r , t) |2 | ( x, y, z, t) |2 表示（时刻t 粒子出现在 点 r ( x, y, z ) 附 近的概率，那么粒子坐标的 平均值，例如 x 的平均值 x ，由概率论，有
V (r ) ，其平均值由 又如，势能V是 r 的函数：
x (t ) | ( r , t ) | xd r * ( r , t ) x ( r , t )d 3r,
2 3
概率论，可表示为
V (t ) (r , t )V (r ) (r , t )d r
提出两个问题： 3 * 1、为什么不能写成 p (r ) p(r ) (r )d r 2、能否用以坐标为自变量的波函数计算动 量的平均值？
由此引申出量子力学中特有的概念： 力学量的算符
6
三、力学量用算符表示(1) 当算符 i j k
量子力学
第一章 力学量算符与 薛定谔方程
1
III.
第三讲目录
一、 简短的回顾 二、力学量的平均值 三、力学量用算符表示 四、薛定格方程 五、量子力学的基本假设
2
一、简短的回顾 为了解释微观世界粒子的运动规律， 人们提出了以下观点
能量量子化，基于此，推出了Planck公式， 解释了黑体辐射现象； 波粒二象性: 认为任何粒子都具有粒子和波 动二重性。其中的波动，称为物质波，满足 德布罗意公式： υ=E/h，λ= h /p 测不准原理（不确定度关系）: 认为微观粒 子的坐标和动量不可能同时完全确定。
18
四、薛定谔方程（1）
量子力学的基本假设之一：波函数的 时空演化满足薛定谔方程 粒子的能量 E T V (r ),
T p /(2m)
2
2 ˆ T T 2 2m
对应关系
ˆ E E i , t
2
薛定谔方程
i (r , t ) [ 2 V (r , t )] (r , t ) t 2m
3 ˆ p (r ) p (r )d r
*
即：动量算符
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三、力学量用算符表示(4)
动能 T p 2 / 2m ，动能算符
ˆ T
动能平均值 势能算符与平均势能 哈密顿算符
2
2m
,
2
ˆ 3 T (r )T (r )d r
*
2
1 v2 2 1 2 2 m0 1 2 c V m0c m0v V 2 2c
非相对论量子力学，
1 E E m0c m0v 2 V 2
2
12
三、力学量用算符表示 (6)
势场中粒子，波函数通常表示为 (r , t ) (r )eiEt / 这里 1 2
s
ds
d d j ds dt s
s
左边表示在闭区域 中找到粒子的总数目在单位时 间内的增量。 的封闭表面 s 而流入 右边表示单位时间内通过 内的粒子数。所以， j 表示粒子流密度。
16
本征方程
ˆ af 的方程，称为 数学中，形如 Af 本征方程。其中 ˆ 算符, f 本征函数, a 本征值 A
2 2 2 2 2 2 2 x y z
V * (r )V (r ) (r )d 3r
ˆ T ˆ V H
ˆ ˆ 角动量 l r p，角动量算符 l rp
角动量平均值
2m
2 V (r )
ˆ 3 l (r )l (r )d r
五、量子力学的基本假设
(r , t ) 描写。 1、微观粒子的状态由波函数 2 2、波函数的模方| (r , t ) | 表示 t 时刻粒子出现 在空间点(x,y,z)的概率。 3、力学量用算符表示。 4、波函数的运动满足薛定谔方程。 5、态叠加原理。
由此构成量子力学的公理体系
概率密度
概率(粒子)流密度
2m
j 0 得到连续性方程 t
15
四、薛定谔方程（3）
概率守恒定律Baidu Nhomakorabea
j 0 有 由 t
| ( x, y, z) |
2
高斯定理 ( f ) d f ds
有
( )d ( j )d 0 t
ipr /
以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为
(r )
1 (2 )
*
32
( p )e
ipr /
d p, ( p )
3
ip 1 r / 3 ( r ) e d r 32 (2)
1 ip r / pe ( p) p 3 2 (2) 1 3 3 * ipr / d pd r (r ) (i)e ( p) 32 (2) 3 3 * (r ˆ * (r )(i) (r )d r ) p (r )d r
动量的平均值
3 ( p) p ( p)d p
d pd r (r )
3 3 *
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三、力学量用算符表示(3)
动量的平均值， 用以动量为自变量的波函数表示 用以坐标为自变量的波函数表示
p
3 ( p) p ( p)d p
*
ˆ i 为动量 p 的算符， 其中，p
*
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三、力学量用算符表示(5)
ˆ 3 力学量 A 的平均值为 A * (r ) A (r )d r
ˆ 为力学量 A 的算符。 其中， A 3 * r 问题：坐标 的平均值 r (r )r (r )d r
可否表示为 可以，其中
3 ˆ r ( p)r ( p)d p
*
ˆ r i p
11
三、力学量用算符表示 (6)
描述势场中粒子，一般波函数可表示为 (r , t ) (r )eiEt / 低速运动粒子
E mc V
2
m0 v2 1 2 c
c2 V