矩阵位移法

i1
EI1 l1
0.3125106 kN
m
i2
EI2 l2
0.25106 kN
m
一般平面杆件的单元
例1 试求图所示刚架中杆①和杆②在局
部坐标系中的单元刚度矩阵。已知各杆
的几何物理参数分别为：
3.75
0
[k
](1)
106
0 -3.75
0
0
0 0.234 0.469
0 -0.234 0.469
v2
4EI
l
2
1 1
e
2 2
u1 0
u2 0
X1 e
Y1
M1
X
2
EA l 0
0 - EA
l
Y2
M 2
0 0
v1 0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI - l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI - l2 2EI
1e 2e
(5) (6)
-12EI -6EI
0
l3
l2
6EI 2EI
0
l2
l
12EI
0
l3
-6EI
0
l2
EA
l
[k11 ]e
0
0
0
12i l2 6i l
e
0
6i
l
[k22 ]e
EA
l
0
4i
0
0
12i l2 - 6i
l
e
0
-
6i l
4i
[k12 ]e
[k21 ]e
0.3 0
1.0 0
0 3.0
-0.3 0.5
0
0
0 -0.12 -0.3 0 0 0.3 0.5 0
0.12 -0.3
-0.3 1.0
EA1 3.75106 kN / m l1
EA2 3106 kN / m l2
i1
EI1 l1
0.3125106 kN
m
i2
EI2 l2
0.25106 kN
EA
(1) l
0
0
l
0
{F}e [k]e{}e
(2)
通过单元刚度方程可由单元杆
端位移求单元杆端力。
(3)
k e
刚度矩阵的分块表达
(4)
12EI 6EI
0
l3
l2
6EI 4EI
0
l2
l
-EA
l
0
0
EI
0
l3
6EI
0
l2
EA
l
0
F1e F2e
[[kk1211]]ee
[k12 [k22
]e ]e
对于杆件繁多的复杂杆系结 构，需要借助于现代结构分析 程序完成结构计算，其基本理 论就是基于矩阵位移法的思想
9.1 引 言
矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代
数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。
矩阵位移法的基本思路
矩阵位移法的基本步骤是
（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，
l
2
4i
l
l
{F}e [k]e{}e
9.2 单元分析
9.2.2 平面弯曲杆件单元
单元刚度矩阵的性质
12i
l2
6i l
12i - l2
6i
l
6i
[k ]e
l
-
12i
4i - 6i
- 6i l
12i
2i
-
6i
只与杆件 本身性质 有关, 与外
单元刚度系数的物理意义
l2
l l2
l 荷载无关
9.2 单元分析
9.2.3一般平面杆件单元
杆端力向量与杆端位移向量
{F}e [FN1 FQ1 M1 FN2 FQ2 M2 ]T {}e [u1 v1 1 u2 v2 2 ]T
由小变形线弹性理论，忽略轴向、弯曲受力之间的耦联关系，其刚度方程可
由轴力单元与平面弯曲单元组装而成：
{F}e [k]e{}e
符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部坐标，局部坐标的 x
坐标与杆轴重合；图(b)表示的杆端位移均为正方向。
1
EAI
2
x 单元编号
(a)
e
杆端编号
l
y
局部坐标
(b)
1 1
u1
v1
2 2
u2
v2
杆端位移编号
(c) X1
1 M1 Y1
2 M2
X2
Y2
杆端力编号
（1）单元杆端位移向量
（2）单元杆端力向量
第9章 矩阵位移法
矩阵代数复习
1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵
的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。
2、方阵
a11 a12 L a1n
A=
a21 M
a22
L
a2n
OM
am1 am2
L
amn
一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n 时，称为 n 阶方阵。
任务
意义
单元分 析
建立杆端力与杆端位移间 的刚度方程，形成单元刚 度矩阵
用矩阵形式表示杆件 的转角位移方程
整体 分析
由变形条件和平衡条件建 立结点力与结点位移间的 刚度方程，形成整体刚度 矩阵
用矩阵形式表示位移 法基本方程
二、杆端位移、杆端力的正负号规定
一般单元： 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量， 这是平面结构杆件单元的一般情况。
EA l
T
0
0
0
-
12i l2
- 6i l
(6)
2 1
0
6EI l2
2EI l
0
-6EI l2
4EI l
e
0
6i
l
4i
例1 试求图所示刚架中杆①和杆②在局 部坐标系中的单元刚度矩阵。已知各杆 的几何物理参数分别为：
EA1 3.75106 kN / m l1
EA2 3106 kN / m l2
0 0.469 1.25
0 -0.469 0.625
-3.75 0 0
3.75 0 0
0 -0.234 -0.469
0 0.234 -0.469
0
0.469
0.625
0
-0.469
1.25
3.0 0 0 -3.0 0 0
0
0.12 0.3
0
-0.12
0.3
[k
](2)
106
0 -3.0
l
v2 0
- EA l 0
0 EA l 0
0
0
-
12E l3
I
-
6E l2
I
0
12EI
l3
-
6E l2
I
0
6EI l2 2EI l
e
u1 v1 1
e
0
-
6EI l2
9.2 单元分析
任务
意义
单元分 析
建立杆端力与杆端位移间 的刚度方程，形成单元刚 度矩阵
用矩阵形式表示杆件 的转角位移方程
单元分析：对杆件轴线上无直接荷载作用、仅在端部受力的杆件进 行力学分析，找出两端所有杆端力和所有杆端位移之间的线性变换关 系，并以矩阵形式表达出来。
这种物理性质的方程，通称单元刚度方程，而其变换矩阵则成为单 元刚度矩阵。
1 1
u1
v1
2 2
u2
v2
(1) (e)
(2)
u1
(e
)
v1
(e)
(3) (4)
u12
(
5)
v2
(6) 2
1 M1
X1
Y1
2 M2
X2
Y2
(e)
F(1)
F(
2)
X1 (e)
Y1
F
(e)
F(3)
F(
4)
M1 X2
F(5)
F(6)
Y2
M 2
凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部坐标系而言的。
IA =A
10、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB =C
则
此处A-1 称为矩阵 A 的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：
B=A-1 C
A A -1 = A -1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件：
（1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩 阵称为奇异矩阵）。
11、正交矩阵 若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而
所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交
矩阵，则
A
=
cosa -sin a
sin a
cos
a
正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A -1 = AT
为什么要学习矩阵位移法?
7
现代的建筑结构日益复杂，杆件数目庞大，传统的以 手算为基础的力法和位移法不可能有效解决大型复杂结构 的受力分析问题，因此需要借助于计算机来完成电算工作 ，也即需要通过结构分析程序来进行结构受力分析。
m
一般平面杆件的单元
特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称
为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。
以连续
e
梁为例：
1 1
e
u1 0
X1 e
Y1
M1
X
2
EA l 0
0 - EA
l
Y2
M 2
0 0
v1 0
0
12EI
l3 6EI
kij代表单元杆端第j个位移分量等
6i l
2i
- 6i l
4i
于1时所引起的第i个杆端力分量。
根据反力互等定理，单元刚度矩阵[k]e恒为对称矩阵
用直接展开方法不难从数学上证明，单元刚度矩阵[k]e的行列式为0， 因此[k]e是奇异矩阵，不存在逆矩阵。即已知杆端位移向量可以求得对 应的杆端力向量，但如果给定力向量，则不能求出杆端位移向量的唯一 解。这是因为，无支承约束的自由杆件，除去弹性变形外，还存在刚体 位移，后者单凭静力平衡条件是无法确定的。
v2
FQ1
- FQ2
6i l
1
6i l
2
12i l2
v1
-
12i l2
v2
12i
FQ1 M1 FQ2
-
l2 6i l 12i
6i l 4i
- 6i
12i - l2 - 6i
l 12i
6i
l 2i - 6i
v1 v21
矩阵 表达
M 2
l2
6i
l l2 2i - 6i
6i l
-
12i l2
6i
l
6i
[k ]e
l
-
12i l2
4i - 6i
l
- 6i l
12i l2
2i
-
6i
l
6i l
2i
- 6i l
4i
9.2 单元分析
9.2.3一般平面杆件单元
(1) (2) (3) (4) (5) u1 1 v1 1 1 1 u2 1 v2 1
EA
EA
l
0
0
0
12i l2 6i
0 6i l 4i
- EA l 0
0
0 - 12i
l2 - 6i
0
6i
l
2i
[k ]e
-
EA l
l 0
l
0 EA l
0
0
12i 6i
12i 6i
0 0
--
l2
l
6i
2i
0 0
l2 6i -
-
l
4i
l
l
[k ]e
EA l
1 -1
-1
1
12i
l2
l2
0
-
12E l3
I
6EI
l2
0
6EI l2 4EI
l
0
-
6EI l2
2EI
l
2 2
u2 0
v2 0
- EA l 0
0 EA l 0
0
0
-
12E l3
I
-
6E l2
I
0
12EI
l3
-
6E l2
I
0
6EI l2 2EI l
e
u1 v1 1
e
0
-
6EI l2
u2
3、行矩阵和列矩阵 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：
[ ] A= a11 a12 a13 · · · a1n
由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：
a11
A
a21 M
an1
4、纯量 仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。
5、矩阵乘法
两个规则：
（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即
Am ´ p Bl ´n = Cm ´n
当p = l时才能相乘
A B= a11 a21
a12 b11
a22
b21
2 × 2 2 ×1
B
A=
b11 b21
a11
a21
a12
a22
2×1 2 ×2
共形 非 共形
（2）不具有交换律，即
AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为 原矩阵的转置矩阵，如：
9.2 单元分析
9.2.1 轴力杆单元
虎克 定律：
FN1
EA l
(u1
- u2 )
FN 2
-
EA l
(u1
-
u2
)
单元 刚度 方程
EA
FN1 FN 2
-
l EA l
- EA l
EA
uu12
l
矩阵 表达
引入
{F}e [FN1 FN2 ]T {}e [u1 u2 ]T
8、对角矩阵 对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如：
a11
0
0
0
D=
0
0
a22
0
0O
0
0
0
0
0
a
mm
9、单位矩阵 单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如
1 0 0 0
I
=
0 0
1 0
0 O
0
0
0
0
0
1
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即
AI =A
a11 A= a21
a31
a12
a22
a32
其转置矩阵为
AT
a11 a12
a21 a22
a31
a32
当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。若