零点对二阶系统阶跃响应的影响

闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响作者：

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摘要

在工程上电路中出现两个储能元件时便构成了二阶系统。由于欠阻尼二阶系统最具有实际意义，并且二阶系统往往需要满足工程最佳参数的要求，然而仅仅通过改变开环放大系数从而满足工程要求则可能会出现系统稳态误差增大的现象，设置具有闭环零点的二阶系统既可以达到满足工程所需的阻尼比，又可保证系统稳态精度。

在全面的分析了二阶系统之后，得出二阶系统的动态变化，由此引入带有零点的二阶系统，并分析了在欠阻尼状态下二阶系统的单位阶跃响应，并分析了其上升时间、峰值时间、调节时间、最大超调量，与没有零点的二阶系统进行了动态特性的对比。在此基础上分析了零点位置变化对二阶系统的影响。得到了重要结论。

关键字：二阶系统上升时间峰值时间调节时间最大超调量

0 引言

在已经知道了二阶系统的动态特性的基础之上，进一步研究具有闭环零点的二阶系统。并通过对比二阶系统和具有闭环零点的二阶系统，得出一定的结论。讨论当零点移动时对动态特性的影响。对满足工程所需的阻尼比，保证系统稳态精度具有重要作用。

1 二阶系统

用二阶微分方程描述的系统成为二阶系统。

等效开环传递函数方框图：

其闭环传递函数方框图：

其中n ω无阻尼自然振荡角频率，ξ为阻尼比。

W B （s ）=2

n 22

n 2n

s s ＋ωξω＋ω （1-1） 二阶系统的特征方程为：

2

n 22n s s ＋ωξω＋=0

两根为S 1,2=12n n －

ξω－ξω 二阶系统极点分布图：

2n 22n 2n s s ＋ωξω＋ω X r (s) X c (s)

1、当ξ>1时，（过阻尼）

2、当0<ξ<1时，（欠阻尼）

3、当ξ=1时，（临界阻尼）

4、当ξ=0时，（无阻尼）

5、当ξ<0时，（发散振荡）

在不同的阻尼比时，二阶系统的动态响应有很大的差别，因此阻尼比ξ是二阶系统的重要参数，当ξ<0时系统不可以正常工作，而在ξ>1时，系统动态响应进行得太慢，所以对二阶系统来说欠阻尼是最有实际意义的。

2 具有零点的二阶系统

W k （s ）=s

s n 22n 2)1s (ξωτω++ W B （s ）=s s s n

n 22n 22n 2)1s (τωωξωτω++++ = 22n 22n 2)1s (n

n s s ω）τωξω（τω++++ =2

n 22n 2)1s (n

s s ωξωτω+++ =2

n 22

n 2)1s (n

s s ωξωττω+++ =)2(1)1s (2

n 22n n s s ωξωττ

ω+++ （2-1） 令τ

1=z （τ为时间常数） 则W B （s ）=)2()s (2n 22

n n

s s z z ωξωω+++ （2-2） 上式系统的闭环传递函数为具有零点-z 的二阶系统。

其结构图如下：

X c (s)

3 带零点二阶系统的单位阶跃响应

当输入信号为Xr(s)=s

1 Xc(s)= )2(s )s (2n 22

n n

s s z z ωξωω+++ =(1+z s )()

2(s 2n 22

n n s s ωξωω++) =(1+z

s )[X c1(s)] X c1(s)= )

2(s 2n 22

n n s s ωξωω++ 则X c （s ）= X c1(s)+ z

s X c1(s) X c (t)=L -1[X c （s ）]

= L -1[X c （s ）]+z

1 L -1[sX c （s ）] = X c1(t)+ z 1t

d t )(dX c1 X c1(t)=1-)1(sin 1

e 22n θωξξξω+---t n t

z 1t d t )(dX c1=)]1(c 1)1(sin [z 11e 222n 2n θωξωξθωξξωξ

ξω+---+---t os t n n n t 则得

X c (t)=1- )1(sin z l 1e 22n φθωξξ

ξω++---t n t （3-1） 式中 θ=arctan ξ

ξ21- φ==arctan n n ξωωξ--z 2

1

z l =2

222z z n n z ωξω+- 具有零点的二阶系统零极点分布图：

4 带零点二阶系统的动态特性

4.1 上升时间tr

在动态过程中，系统的输出第一次达到稳定值的时间称为上升时间tr ，根据这一定义，在式中t=tr 时

X c (t)=1得

)sin(z l 1e 2n φθωξ

ξω++--t d t =0 得 ＋θ＋φωt d =π

n r t ωξφ

θπ21---= (4-1)

4.2 峰值时间

峰值时间为第一个峰值对应的时间 令dt

dXc(t)=0 )cos(1e l -)sin(1e l 22n n n φθωξφθωξ

ξωξωξω++-++---t z t z d t

d t =0 )

t cos()t sin(φθωφθω++++m d m d =ξξ21- 得)t tan(φθω++m d =ξ

ξ21- φθω++m d t =n π+ξ

ξ21arctan - ∴φω+m d t = n π

当n=1时

m t = d ωφπ-=n ωξφπ21-- (4-2)

4.3 最大超调量

超调量=%100*)

()()(c ∞∞x x m x c c －