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线性规划模型
分派问题
设有n件工作B1, B2, … Bn,分派给n人A1, A2, … An去
做完成,每B人j的只工做时一为件c工ij,问作应且如每何件分工派作才只能派完一成个全人部去工做变作,设量的故Axii只建取立0和1,
总工时最少.
的模型也称0-1
解
:
设xij

1 0
n
工 作B j 分 派 给Ai 去 做 否则
线性规划模型
一般运输问题
m个产地A1,…,Am联合供应n个销地B1,…,Bn,各产
地至各销地单位运价(单位:元/吨)为cij，问如何调运使
总运费最少?
解 : 设从产地Ai到销地Bj的运输量为xij .
mn
min f
cij xij
总运价
i1 j1
n
xij ai , j1
i1 j1
n
xij ai , j1
s.t. m xij bj i1 xij 0
i 1,..., m
j 1,..., n i 1,..., m; j 1,..., n
在很多实际问题中,解题思想和运输问题同出一辙, 也就是说我们可以用运输模型解决其他问题.
原单材位料消耗 产品
Ⅰ
Ⅱ
现有原 材料
A1
21 8
A2
10 3
A3
01 4
线性规划模型
解 : 设生产,两种产品分别为x1, x2吨,
max f= 5x1 +2x2
求最大利润
2x1 + x2 8
s.t .
x1 3
三种材料量的限制
x2 4
x1，x2 0
生产量非负
线性规划模型
运输问题
解:
xi

1, 0,
选择Ai 否则
7

bi xi b
7
max f ci xi i 1
x1
i 1
x2

x3

2
s.t .
x4 x5 1
x6 x7 1

xi 0或1
i 1,2,...,7
线性规划模型
下料问题 现要做100套钢架,用长为2.9m、2.1m和1.5m的元 钢各一根,已知原料长7.4m,问如何下料,使用的原材料 最省?
不同方 法截得 每种根 长的总 数至少
100
线性规划模型
经典优化方法及其应用
唐青松 来自百度文库_qsong@sina.com
经典优化方法
一 线性规划模型 二 非线性规划模型 三 动态规划
线性规划模型
生产计划问题
某工厂计划用三种原材料A1，A2和A3生产， 两种产品，已知生产， 每吨所需原材料及现有
原材料（单位：吨）如下表,且, 的利润分别为5, 2万元 /吨.问如何安排计划, 可使利润最大?
min f 12x1 24x2 8x3 30x4 12x5 24x6
x1 x2 x3 4

x4 x5 x6 8
s.t .
x1 x4 2 x2 x5 4

x3 x6 5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
n
规划.
min f
cij xij
每件工作只派1人
i1 j1
n
xij 1
（j 1,2,..., n）

s.t .
i 1 n
xij
1
j1
（i 1,2,..., n）
每个人只派做1件
xij 0或1 （i, j 1,2,..., n）
分析: 下料方式：
最省： 1.所用刚架根数最少； 2.余料最少
线性规划模型
原料截成所
下料方法
需长度的根
数
ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ
所 2.9m 2 1 1 1 0 0 0 0 需 根 2.1m 0 2 1 0 3 2 1 0 长
1.5m 1 0 1 3 0 2 3 4
剩余料头 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
.
x1
2x2 3x3 3x5 2x6 x7 x3 3x4 2x6 3x7 4
x8
100 100
x j 0, j 1,2,3,4,5,6,7,8; x j取整
例3,4中的此例的变量xi只取正整数, 故建立的模型也称整数规划. 0-1规划是整数规划的特殊情形.
线性规划模型
选址问题
某公司拟定在在武昌, 汉口, 汉阳建立专卖店, 拟议中
有7个地址，武昌：中商( A1), 亚贸( A2 ),司门口( A3 ), 汉口 武广( A4 ), 步行街( A5 ), 汉阳：二十一世纪( A6 ), 汉商( A7 ), 并规定 : 武昌至多2个, 汉口汉阳至少1个, 若选Ai , 投资bi元, 每年可获利ci 元, 总投资不超过b元,问如何选择地址使公 司的年利润最大 ?
有两个粮库A1 , A2向三个粮站B1 , B2 , B3调运大米, 两个粮库现存大米分别为4吨,8吨, 三个粮站至少需要 大 米 分 别 为2,4,5吨, 两 个 粮 库 到 三 个 粮 站 的距 离(单 位 : 公里)如下,问如何调运使运费最低。
距离 粮站
粮库
B1 B2 B3
A1
12 24 8
A2
设xi 表 示 按 第i种 办 法 下 料 的 原 材 料 的根 数, 则问题的线性规划模型为 :
线性规划模型
min f 0.1x1 0.3x2 0.9x3 0x4 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8

2 x1 x2 x3 x4 100
s.t
30 12 24
线性规划模型
解：设A1,A2调运到三个粮站的大米分别为x1，
x2， x3， x4， x5， x6吨。 题设量可总到下表：
粮距库离及运量粮站 B1
B2
B3
库 存 量
A1
12
24
8
x1 x2 x3 4
A2
30
12
24
x4 x5 x6 8
需要量
245
线性规划模型
结合存量限制和需量限制得数学模型：
s.t. m xij bj i1 xij 0
i 1,..., m
j 1,..., n i 1,..., m; j 1,..., n
产量限制
需量限制 运量非负
线性规划模型
假设产销平衡:
m
n
ai bj
i 1
j 1
mn
min f
cij xij