空间向量及其运算的坐标表示
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1.3 空间向量及其运算的坐标表示
【学习目标】
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以O为原点,分别以i,j,k方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立,O叫做,i,j,k都叫做。
对于空间任意一个向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=x e1+y e2+z e3,则把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作。
2.空间向量的坐标运算
空间向量a,b,其坐标形式为a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
3.
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
夹角
cos 〈a ,b 〉=a ·b
|a ||b |
cos 〈a ,b 〉=
a 1
b 1+a 2b 2+a 3b 3
a 21+a 22+a 2
3
b 21+b 22+b 2
3
1.已知i ,j ,k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴,y 轴,z 轴的正方向上的单位向量,且AB →
=-i +j -k ,则点B 的坐标是( )
A .(-1,1,-1)
B .(-i ,j ,-k )
C .(1,-1,-1)
D .不确定 2、判断对错。
(1)空间直角坐标系中,向量AB →
的坐标与终点B 的坐标相同.( ) (2)设a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2)且b ≠0,则a ∥b ∥x 1x 2
=y 1y 2
=z 1
z 2
.( )
(3)四边形ABCD 是平行四边形,则向量AB →与DC →
的坐标相同.( ) (4)设A (0,1,-1),O 为坐标原点,则OA →
=(0,1,-1).( )
【经典例题】
题型一 空间直角坐标系
注意:建系时要充分利用图形的线面垂直关系,选择合适的基底,在写向量的坐标时,考虑图形的性质,充分利用向量的线性运算,将向量用基底表示.
例1已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M 、N 分别是AB 、PC 的中点,并且P A =AD =1,建立适当坐标系,求向量MN →
的坐标.
[跟踪训练] 1 如图在边长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,取D 点为原点建立空间直角坐标系,O ,M 分别是AC ,DD 1的中点,写出下列向量的坐标.AM →=________,OB 1→
=________.
题型二 空间向量的坐标运算
例2 (1)设a =(1,-1,3),b =(-2,1,2),则a +2b =________. (2)设a =(1,-1,1),b =(-2,0,1),则cos 〈a ,b 〉=________. (3)已知点A (-1,2,0),B (-1,0,2),则|AB →
|=________.
[跟踪训练] 2 若向量a =(1,1,x ),b =(1,2,1),c =(1,1,1),且满足条件(c -a )·(2b )=-2,则x =________.
题型三 空间向量坐标运算的运用
例3 设a =(1,5,-1),b =(-2,3,5). (1)若(k a +b )∥(a -3b ),求k ; (2)若(k a +b )∥(a -3b ),求k .
[跟踪训练] 3 已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1,底面边长AB =2,AB 1∥BC 1,点O ,O 1分别是棱AC ,A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求三棱柱的侧棱长;
(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值.
【当堂达标】
1.已知向量a =(0,2,1),b =(-1,1,-2),则a 与b 的夹角为( ) A.0°
B.45°
C.90°
D.180°
2.设O 为坐标原点,M (5,-1,2),A (4,2,-1),若OM →=AB →
,则点B 应为( ) A.(-1,3,-3) B.(9,1,1) C.(1,-3,3)
D.(-9,-1,-1)
3.若∥ABC 的三个顶点坐标分别为A (1,-2,1),B (4,2,3),C (6,-1,4),则∥ABC 的形状是
( )
A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .等边三角形 4.已知a =(2,-3,1),则下列向量中与a 平行的是( ) A .(1,1,1) B .(-4,6,-2) C .(2,-3,5)
D .(-2,-3,5) 5.已知向量a =(1,1,0),b =(-1,0,2),且k a +b 与2a -b 互相垂直,则k 的值是( ) A .1 B.15 C.35 D.7
5
6.已知a =(1-t ,1-t ,t ),b =(2,t ,t ),则|a -b |的最小值为( )
A.55
B.555
C.355
D.115
7.已知A (-2,3,1),B (2,-5,3),C (8,1,8),D (4,9,6),求证:四边形ABCD 为平行四边形.
8.设O 为坐标原点,向量OA →=(1,2,3),OB →=(2,1,2),OP →
=(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA →·QB →
取得最小值时,求点Q 的坐标.