空间向量及其运算的坐标表示
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是三维空间中的一个重要概念，可以用来表示空间中的一个点或者空间中的两个点之间的位移向量。
为了方便计算和表示，我们可以使用坐标表示来描述和计算空间向量。
一、空间向量的坐标表示在三维坐标系中，可以使用三个坐标轴（通常是x轴、y轴、z轴）来表示一个空间向量的坐标。
这三个坐标轴是相互垂直的，构成一个直角坐标系。
对于一个空间向量v，可以使用v的起点在坐标原点的坐标表示来表示该向量。
假设v的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示v在x轴、y轴、z轴上的坐标值。
例如，对于一个空间向量v，如果它的起点在坐标原点，终点的坐标分别为(3, 4, 5)，那么可以表示为v = (3, 4, 5)。
二、空间向量的计算1. 向量的加法空间向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的和向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。
+ b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法空间向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的差向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 - b1，c2 =a2 - b2，c3 = a3 - b3。
例如，对于向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，它们的差向量c = a - b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
3. 向量的数量积空间向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量（即一个数）。
空间向量数量积及坐标运算
空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。
本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。
一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。
向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。
性质：1.数量积是实数。
2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。
3.数量积满足交换律：a · b = b · a。
4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。
二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。
性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。
2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。
3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。
空间向量的运算的坐标表示
三、空间ห้องสมุดไป่ตู้量长度与夹角的坐标表示
设 = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2 ) a 根 空 向 运 的 标 示有 据 间 量 算 坐 表 , (1) | a |= a⋅ a = x + y + z ,
2 1 2 1 2 1
(2 ) cos < a, b >= (a ≠ 0, b ≠ 0)
= 2 × (−5) + 3 × (−13) + 2 × 6 = −10 − 39 + 12 = −37。
练 1 已 a = (−1 −3,2), b = (1 2,0).求: 习、 知 , , (1)2a,−5a, a + 2b,2a −b; r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a +b)。 r r 解 : (1)2a = (−2, −6, 4)，−5a = (5,15, −10)， r r r r a + 2b = (1,1, 2)， 2a − b = (−3, −8, 4)。 r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a + b) = 3。
x1x2 + y1y2 + z1z2 x + y +z ⋅ x + y +z
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
(3)a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0
练 2 判 下 向 是 平 或 直 习 断 列 量 否 行 垂 r r (1 a = (1 −2,3), b = (1 ) , ,2,1)。 r r (2)a = (0, −3,3), b = (0,1 −1). , r r 1 1 2 (3)a = (−3,2,4), b = (− , , ). 2 3 3 r 3 r 3 (4)a = ( , −3,2), b = (0,1 − ). , 2 2
空间向量及其运算的坐标表示_课件
数量积
a·
b
_____a_1_b__1＋__a__2b__2_＋_______ a3b3
已知a＝(1,-2,1)，a-b＝(-1,2,-1)，则b 等于（ ）
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
解析 依题意，得b＝a-(-1,2,-1)＝a＋(1,-2,1)＝2(1,-2,1) ＝(2,-4,245°）， ∠yOz=90°,如下图
空间直角坐标系
空间直角坐标系
坐标表示：对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z} ， 使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j ， k下的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中数x就叫做点P的横坐标，数 y就叫做点P的纵坐标，数z就叫做点P的竖坐标
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D ， B中D点的，中试点建，立点适G当在的棱坐CD标上系，，且写|C出GE|＝，F|，CDG|，，HH的坐 标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系 . 点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0
， 而过EF作为FDMD⊥1的A中D点, F故N⊥其D坐C标, 由为平面几何知识 ，
空间向量运算的坐标表示
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，
b3). 向量运算
向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b a－b λa
(_a_1_＋__b__1，___a_2_＋__b_2_，__a_3_＋___ b_(_3a)_1_-_b__1，__a__2-_b__2，___a_3_-_b_3_)_ _____(λ__a_1_，__λ_a_2_，__λ_a__3)____
1.3 空间向量及其运算的坐标表示(精讲)(解析版).
1.3空间向量及其运算的坐标表示（精讲）考点一空间向量坐标的表示【例1-1】（2022·广东）在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 是侧面11CDD C 的中心，则AM 在基底{}1,,AA AD AB 下的坐标为（）A ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题可知，M 为1DC 的中点，∴()()11111112222AM AD DM AD DD DC AD AA AB AA AD AB =+=++=++=++，∴坐标为11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D【例1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，则它在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（）．A ．15,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．51,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．151,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由于{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，可设向量()1,0,0a =，()0,1,0b =，()0,0,1c =，则向量()1,1,0a b +=，()1,1,0a b -=-，又向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，不妨设()()p x a b y a b zc =++-+，则()()3,2,1,,x y x y z =+-，即321x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得：52121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为51,,122⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.【例1-3】（2022·吉林白山）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，M是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB =uuu r uuu r ，3MG GN =，若1AG xAA yAB zAC =++uuu r uuu r uu u r uuu r，则x y z ++=（）A ．78B ．98C ．118D ．138【答案】C【解析】以1A 为坐标原点，1A A ，11A B ，11AC 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系1A xyz -.不妨令4AB =，则()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,0,0A ，()2,0,2C ，()0,0,1M ，4,4,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为3MG GN =uuu r uuuu r ，所以11,3,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11,3,4AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r ，()12,0,0AA =-uuu r ，()0,4,0AB =，()0,0,2AC =，则12,34,12,4x y z ⎧⎪-=-⎪=⎨⎪⎪=⎩解得12x =，34y =，18z =，故118x y z ++=.故选：C【一隅三反】1．（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB AB ==，若3PC PQ =，则点Q 的空间直角坐标为（）A ．()3,2,1B ．44,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,3D ．()1,2,1【答案】B【解析】由题意得()0,2,0C ，()2,2,2P ，所以()2,0,23PC PQ =--=，所以()22,0,33PQ =--，所以Q 的坐标为()()()2244,0,2,2,2,2,3333--+=．故选：B ．2．（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（）A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【解析】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =，∴()()1,2,31,2,4x y z =----，解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -.故选：B.3．（2022·河北）（多选）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 的边长为2，三棱柱的高为111,,BC B C 的中点分别为1,D D ，以D 为原点，分别以1,,DC DA DD 的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（）A ．()13,1A B ．()11,0,1C C ．()10,3,1AD =D ．)13,3,1B A =-【答案】ABC【解析】在等边ABC 中，2,1AB BD ==，所以AD =()()()111,,1,0,1,)(0,0,1A A C D ，()11,0,1B -，则()()110,,1,1AD B A ==.故选：ABC考点二空间向量坐标的运算【例2-1】（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量()2,1a =r ，()1,2b =-r ，则3a b -的坐标为（）A ．()1,5--B ．()1,7-C ．()1,5-D ．()1,7【答案】B【解析】()2,1a =r ，()1,2b =-r ，∴()()()()()32,131,22,13,61,7a b -=--=--=-．故选：B ．【例2-2】（2022·四川）已知空间向量()1,2,3a =，(),1,b m n =-，若a b ∥，则m n +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A 【解析】由1123m n -==，解得13,22m n =-=-，则m n +=2-.故选：A.【例2-3】（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知(3,2,1),(2,,0)a b m =--=，若a b ⊥，则m 的值为（）A ．3B ．4-C ．3-D ．4【答案】A【解析】由题意可得0a b ⋅=，故322(1)00m ⨯-+-⨯=，则3m =，故选：A【例2-4】（2022·全国·高二）已知空间三点()0,0,0O ，()1,1,0A -，()0,1,1B ，在直线OA 上有一点H 满足BH OA ⊥，则点H 的坐标为.A ．11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,2,0-D ．()2,2,0-【答案】B【解析】由O （0，0，0），A （﹣1，1，0），B （0，1，1），∴OA =（﹣1，1，0），且点H 在直线OA 上，可设H （﹣λ，λ，0），则BH =（﹣λ，λ﹣1，﹣1），又BH ⊥OA ，∴BH •OA =0，即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣1＝0，解得λ12=，∴点H （12-，12，0）．故选B ．【一隅三反】1．（2022·黑龙江）已知向量a ＝（3，0，1），b ＝（﹣2，4，0），则3a +2b 等于（）A ．（5，8，3）B ．（5，﹣6，4）C ．（8，16，4）D ．（16，0，4）【答案】A 【解析】32(9,0,3)(4,8,0)(5,8,3)a b +=+-=，故选：A2．（2022·山东淄博·高二期末）已知向量()2,0,1a =，()3,1,4b =，则2a b -=（）A ．()4,2,7-B ．()4,2,7---C ．()4,2,7-D ．()4,2,7-【答案】B【解析】因为()2,0,1a =，()3,1,4b =，所以()()()2,0,16,2,8,724,2a b -=-=---故选：B 3．（2022·全国·高二课时练习）已知()2,3,1a =--，()4,0,8b =，()4,6,2c =--，则下列结论正确的是（）A ．a c ∥，b c ∥B ．a b ∥，a c ⊥C ．a c ∥，a b ⊥D ．以上都不对【答案】C【解析】由题意知：2c a =，24180b a ⋅=-⨯+⨯=，故a c ∥，a b ⊥.故选：C.4．（2022·全国·高二课时练习）已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（）A ．6-B ．a-C ．322-D ．34-b【答案】C【解析】由题意知：a 在b 的方向上的数量投影为()2222322a b b⋅=+--.故选：C.5．（2022·四川省蒲江县蒲江中学）设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-r且a c ⊥，//b c ，则a b +=（）A ．22B ．23C ．4D ．3【答案】D【解析】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =，因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，3a b +=.故选：D.考点三空间向量在几何中运用【例3】（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=o ，棱12AA =，M 、N 分别为11A B 、1A A 的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：(1)求BN 的模；(2)求11cos ,A B B C <>的值；(3)求证：BN ⊥平面1C MN .【答案】10(3)证明见解析【解析】(1)解：因为1CC ⊥平面ABC ，90BCA ∠=o ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B ，()1,0,1N ，所以，()1,1,1BN =-，则BN =(2)解：依题意得()11,0,2A 、()0,0,0C 、()10,1,2B 、()0,1,0B ，所以，()11,1,2A B =--uuu r，()10,1,2B C =--，110143A B B C ∴⋅=-+=，又1A B ==，1B C =所以，111111cos ,10A B B C A B B C A B B C⋅<>==⋅.(3)证明：依题意得()11,0,2A 、()10,0,2C 、()0,1,0B 、()1,0,1N 、11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，则111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuuu r ，()11,0,1N C =-，()1,1,1BN =-，所以，()1111101022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯=，()()11101110C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，则1C M BN ⊥，1C BN N ⊥，即1BN C M ⊥，1BN C N ⊥，又因为111=C MC N C ，所以，BN ⊥平面1C MN .【一隅三反】1．（2022·福建宁德·高二期中）已知空间三点()1,1,1A --，()1,2,2B --，()2,4,1C -，则AB 与AC 的夹角θ的大小是______．【答案】3π【解析】因为()2,1,3AB =--，()1,3,2AC =-，所以2367A AB C ⋅=-++=所以AB ==AC ==1cos 2AB AB AC ACθ⋅===⋅因为[]0,θπ∈，所以3πθ=故答案为：3π2．（2022·辽宁）（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，M 为1CC 的中点，P 为侧面11BCC B 上的动点，且满足//AM 平面1A BP ，则下列结论正确的是（）A ．1AMB M ⊥B ．1//CD 平面1A BPC．动点P D ．AM 与11A B 【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()0,0,2A ，()10,2,2A ，()0,0,0B ，()2,1,0M ，(),,0P x y ，所以()10,2,2A B =--，(),,0BP x y =，()2,1,2AM =-，由//AM 平面1A BP ，得1AM a A B bBP =+，即022122bx a by a +=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩，化简可得320x y -=，所以动点P 在直线320x y -=上，A 选项：()2,1,2AM =-，()12,1,0B M =-，()()122112030AM B M ⋅=⨯+⨯-+-⨯=≠，所以AM 与1B M 不垂直，所以A 选项错误；B 选项：11//CD A B ，1A B ⊂平面1A BP ，1CD ⊄平面1A BP ，所以1//CD 平面1A BP ，B 选项正确；C 选项：动点P 在直线320x y -=上，且P 为侧面11BCC B 上的动点，则P 在线段1PB 上，14,2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以13PB ==，C 选项正确；D 选项：()110,0,2A B =-，112cos ,3AM A B ==，D 选项错误；故选：BC.3．（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =．(1)在AB 上是否存在点D ，使得1AC CD ⊥(2)在AB 上是否存在点D ，使得1AC ∥平面1CDB ？【答案】(1)存在(2)存在【解析】(1)直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，则AC 、BC 、1CC 两两垂直如图，以C 为坐标原点，射线CA 、CB 、1CC 分别为,,x y z 轴的正向建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()3,0,0A ，()10,0,4C ，()0,4,0B ，()10,4,4B ．（1）假设在AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，则()3,4,0AD AB λλλ==-，其中01λ≤≤，则()33,4,0D λλ-，于是()33,4,0CD λλ=-，由于()13,0,4AC =-，且1AC CD ⊥，所以1990AC CD λ⋅=-+=，得1λ=，所以在AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，且这时点D 与点B 重合．(2)假设在AB 上存在点D ，使得1AC ∥平面1CDB ，则()3,4,0AD AB λλλ==-，其中01λ≤≤，则()33,4,0D λλ-，()133,44,4B D λλ=---．又()10,4,4B C =--，()13,0,4AC =-，1AC ∥平面1CDB ，所以存在实数,m n ，使111AC mB D nB C =+成立，∴()333m λ-=-，()4440m n λ--=，444m n --=．所以12λ=，所以在AB 上存在点D 使得1AC ∥平面1CDB ，且D 是AB 的中点．考点四空间向量数量积取值范围【例4】（2021·浙江·绍兴一中高二期中）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（）A ．1[1,]4--B ．11[,]24--C ．[1,0]-D ．1[,0]2-【答案】D【解析】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点1(1,0,0),(0,1,1)A C 设点P 的坐标为(,,)x y z ，由题意可得01,01,1x y z ≤≤≤≤=，1(1,,1),(,1,0)PA x y PC x y ∴=---=--22221111(1)(1)0222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----+=-+-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当12x y ==时1PA PC ⋅取得最小值为12-；当0x =或1，且0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值为0，则1PA PC ⋅的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选D ．【一隅三反】1．（2022·江苏南通）已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面边长为1，P 是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，且1AB BC CD DE EF AF ======，由正六边形的性质可得，()()130,0,0,1,0,0,,0,,022A B F C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，设(),,P x y z ，其中1322x -<<，所以()=1,0,0AB ，(),,AP x y z =，所以AB AP x ⋅=，所以AB AP ⋅的取值范围13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2022·全国·高二课时练习）已知O 为坐标原点，OA ＝(1,2,3)，OB ＝(2,1,2)，OP ＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．123,,234⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设OQ OP λ=，则QA ＝OA －OQ ＝OA －λOP ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB ＝OB －OQ ＝OB －λOP ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA QB ⋅＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2412333λ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以当λ＝43时，QA QB ⋅取得最小值，此时OQ ＝43OP ＝448,,333⎛⎫⎪⎝⎭，即点Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B （含边界）内，若1D M CP ⊥.则△BCM 面积的最小值为（）A ．8B ．4CD 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()402P ，，，()040C ，，，()1004D ，，，()440B ，，，设()[]()404M a b a b ∈，，，，，则()144D M a b =-，，，()442CP =-，，，因为1D M CP ⊥，所以1164280D M CP a b ⋅=-+-=，得24b a =-，所以()424M a a -，，，所以BM当125a =时，BM ∣∣取最小值5，易知4BC =，且BC ⊥平面11AA B B ，BM ⊂平面11AA B B 故BC BM ⊥，故12BCM BC BM S =⨯△所以BCM S △的最小值为451854525⨯⨯=．故选：D.考点五空间几何中的轨迹问题【例5-1】（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点M 为1CC 的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0A ，()6,6,0B ，()0,6,3M ，设(),,6P x y ，[][]0,6,0,6x y ∈∈，则()6,6,3AM =-，()6,6,6BP x y =--，由BP AM ⊥得()()6666360x y --+-+⨯=，即3y x =-，由于[][]0,6,0,6x y ∈∈，所以[]3,6x ∈，[]0,3y ∈，所以点P 的轨迹为面1111D C B A 上的直线：3y x =-，[]3,6x ∈，即图中的线段EF ，由图知：EF ==故选：B.【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM MP ⊥，则点S 与P 距离的最小值是___________．574【解析】如图，以O 为原点，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，(3S ，32M ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),,0P x y ，则32AM ⎛= ⎝⎭，3,,2MP x y ⎛=- ⎝⎭，∵AM MP ⊥，∴0AM MP ⋅=，解得34y =，∴SP =当0x =时，点S 与P ．．2．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM ⊥C ．当AM BP ⊥，此时点PD ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π【答案】BCD 【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ．A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥==>故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF 的一半，．故C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=故D 选项正确．故选：BCD ．3．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM ⊥C ．当AM BP ⊥，此时点PD ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π【答案】BCD【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ．A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥==>故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF 的一半，．故C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=故D 选项正确．故选：BCD ．。
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
空间向量运算的坐标表示ppt课件
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示11种常见考法归类(98题)(学生版) 24-25学年高二数学
专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示11种常见考法归类（98题）考点一 空间中点的坐标表示（一）根据向量关系求坐标（二）建坐标系求坐标考点二 空间点的对称问题考点三 空间向量的坐标表示考点四 空间向量的坐标运算考点五 空间向量的平行问题考点六 利用坐标运算解决数量积问题考点七 利用坐标运算求空间向量数量积的最值范围问题考点八 利用坐标运算解决垂直问题考点九 利用坐标运算解决夹角问题（一）求空间向量的夹角（二）根据空间向量的夹角求参数（三）求空间向量的夹角的最值考点十 利用坐标运算解决距离问题（一）利用坐标求空间向量的模（二）利用坐标求空间向量的模的最值（三）根据空间向量的模求参数考点十一 利用坐标运算求投影向量(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O -xyz .②相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2、空间向量的坐标表示（1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，,,ij k为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA ，且点A 的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi y j zk =++ .在单位正交基底{,,}i j k 下与向量OA对应的有序实数组(,,)x y z 叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)A x y z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．（2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA a =.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使a xi y j zk =++ .有序实数组(,,)x y z 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作(,,)a x y z =.3、几类特殊位置的点的坐标（1）x 轴上的点的坐标为(),0,0x （2）y 轴上的点的坐标为()0,,0y （3）z 轴上的点的坐标为()0,0,z （4）Oxy 平面内的点的坐标为(),,0x y （5）Ozx 平面内的点的坐标为(),0,x z （6）Oyz 平面内的点的坐标为()0,,y z 考点一 空间中点的坐标表示解题策略：1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性．注：同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同．但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造．2.确定空间中一点的坐标的一般步骤第一步：观察空间直角坐标系（若没有空间直角坐标系，应建立合适的空间直角坐标系，使所求点尽可能多地在坐标轴上或坐标平面内）的特点，确定所求点的坐标的位置，即判断点是在坐标轴上、坐标轴内，还是在空间中的其他位置；第二步：根据几何图形求出所需要的相关线段的长度；第三步：写出点的坐标．3.求某点M 的坐标的方法作MM ′垂直于平面Oxy ，垂足为M ′，求M ′的横坐标x ，纵坐标y ，即点M 的横坐标x ，纵坐标y ，再求M 点在z 轴上射影的竖坐标z ，即为M 点的竖坐标z ，于是得到M 点的坐标(x ，y ，z )．（一）根据向量关系求坐标1．（2024·北京西城·高二北师大二附中校考期中）已知点 ()4,1,2A -，()2,3,0B -，点 C 满足AC CB =，则点C 的坐标是______．2．（2024·全国·高二专题练习）已知点()1,0,2M ，()1,1,0N -，2MN MP =，则点P 的坐标为______．3．（2024·高二课时练习）若△ABC 顶点()2,5,3A -，且()4,1,2AB = ，()3,2,5BC =-，则点C 坐标是___________.4．（2024·高二课时练习）若()3,2,4A ､()1,2,8B -，点C 在线段AB 上，且23AC AB =，则点C 的坐标是___________.5．（2024·高三课时练习）若ABCD 为平行四边形，且已知点()4,1,3A 、()2,5,1B -、()3,7,5C --，则顶点D 的坐标为______．（二）建坐标系求坐标6.（2024·高三课时练习）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的顶点坐标分别为(0A ，0，0)，(2B ，0，)O ，(0D ，2，0)，1(0A ，0，5)，则1C 的坐标为 ．7.（2024·高三课时练习）在如图所示的坐标系中，已知P ABCD -是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体．其中2AB =，PA =P 的坐标为 ．8.（2024·高三课时练习）如图点(0A ，0，)a ，在四面体ABCD 中，AB ^平面BCD ，BC CD =，90BCD Ð=°，30ADB Ð=°，E ，F 分别是AC ，AD 的中点，求D ，C ，E ，F 这四点的坐标．考点二 空间点的对称问题解题策略：空间中点的对称点的坐标：设点(,,)P x y z 为空间直角坐标系中的点，则（1）与点P 关于原点对称的点是1(,,)P x y z ---（2）与点P 关于x 轴对称的点是2(,,)P x y z --（3）与点P 关于y 轴对称的点是3(,,)P x y z --（4）与点P 关于z 轴对称的点是4(,,)P x y z --（5）与点P 关于Oxy 平面对称的点是5(,,)P x y z -（6）与点P 关于Ozx 平面对称的点是6(,,)P x y z -（7）与点P 关于Oyz 平面对称的点是7(,,)P x y z -【注意】对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论．（1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数；（2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数；（3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数．简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反．9．（2024·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴对称的点坐标是（ ）A ．(2,1,4)--B ．(2,1,4)-C ．(2,1,4)---D ．(2,1,4)-10．（2024·全国·高二专题练习）已知点1M ，2M 分别与点(1,2,3)M -关于x 轴和z 轴对称，则12M M =（ ）A ．(2,0,6)-B ．(2,0,6)-C ．(0,4,6)-D ．(0,4,6)-11.（23-24高二上·浙江宁波·期末）在空间直角坐标系O-xyz 中，点()2,3,4P --关于平面yOz 对称的点的坐标为（ ）A ．()2,3,4---B ．()2,3,4-C ．()2,3,4-D ．()2,3,412．（2024·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点()1,2,3A 关于Oxy 平面的对称点为B ，而点B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =（ ）A ．B ．C ．D ．8考点三 空间向量的坐标表示解题策略：1.空间向量的坐标与其起点、终点坐标的关系向量的坐标即终点坐标减去起点坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．2.向量坐标的求法（1）点A 的坐标和向量OA →的坐标形式完全相同．（2）起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．13．（2024·高二课时练习）已知点()3,8,5A -，()2,0,8B -，则向量AB的坐标为________．14．（2024·高二课时练习）已知{},,i j k 是空间的一个单位正交基底，向量52b i k =-+用坐标形式可表示为________．15．（2024·广东广州·高二校联考期末）如图，正方体1111OABC O A B C -的棱长为2，1E B B Î，且12EB EB =，则OE =（ ）A ．(2,2,1)B ．(2,2,2)C ．22,2,3æöç÷èøD ．42,2,3æöç÷èø16.（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，111114B E A B =，则1BE 等于A ．10,,14æö-ç÷èøB ．1,0,14æö-ç÷èøC ．10,,14æö-ç÷èøD ．1,0,14æö-ç÷èø17.（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE的坐标为 ，向量AF 的坐标为 ，向量1AC 的坐标为 .18．（2024·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，点()1,1,2A -，()3,0,4B -，若6c = ，c 与AB同向，则向量c的坐标为______.19．【多选】（2024·黑龙江大庆·高二大庆二中校考阶段练习）已知四边形ABCD 的顶点分别是()3,1,2A -，()1,2,1B -，()1,1,3C --，()3,5,3D -，那么以下说话中正确的是（ ）A ．()2,3,3AB =--B ．()4,6,6CD =--C ．AC 的中点坐标为()2,0,1--D ．四边形ABCD 是一个梯形20.（2024·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)O A B -，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能是（ ）A ．(1,1,3)--B ．(3,0,1)C ．(1,1,2)D ．(1,1,2)-21.【多选】（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC V 的边长为2，三棱柱的高为111,,BC B C 的中点分别为1,D D ，以D 为原点，分别以1,,DC DA DD的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）A ．()1A B ．()11,0,1CC ．()10,AD =D ．)11B A =-设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a ＋b a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)减法a －b a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数乘λa λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，λ∈R 数量积a ·ba ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3考点四 空间向量的坐标运算解题策略：1.空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．已知空间点的坐标、A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)向量AB ―→ 的坐标等于终点坐标减起点坐标．即AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．2.空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法(1)根据已知向量的坐标，代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算．(2)熟练应用有关的公式①(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；②(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；③(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆．计算(2a )·(－b )，既可以利用运算律把它化成－2(a ·b )，也可先求出2a ，－b ，再求数量积．3.空间向量坐标运算的规律及注意点（1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；（2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．（3）由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．22．（2024·北京丰台·高二统考期末）已知(1,0,1)a =- ，b =(2，1，1)，则2a b -= ________．23.（23-24高二·全国·课堂例题）已知(2,3,5),(3,3,2)a b =-=-，求下列向量的坐标：(1)a b - ；(2)2a b + ；(3)5b - ．24．（2024·全国·高二专题练习）向量()1,1,0a = ，()0,1,1b = ，()1,0,1c =，()1,0,1d =- 中，共面的三个向量是（ ）A ．,，a b cB ．,,b c dC ．,,c d aD ．,,d a b25．（2024·湖北·高二统考期末）已知向量()2,0,2a = ，()0,2,1b =- ，()3,4,c m = ，若向量a ，b ，c共面，则实数m 的值为________．26．（2024·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)O A B -，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能是（ ）A ．(1,1,3)--B ．(3,0,1)C ．(1,1,2)D ．(1,1,2)-27．【多选】（2024·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，且(1,0,2),(1,1,1),(3,1,2)A B C -，则下列结论正确的是（ ）A ．||3AB = B ．()1AB AC BC +×=-C ．AB AC^ D ．若111236OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面28．（2024·重庆·高一重庆一中校考期中）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（ ）A ．()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B ．()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C ．()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D ．()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===29．（2024·高二课时练习）在ABC V 中，若(2,2,0)AB =-，(4,2,1)AC =- ，则ABC V 是（ ）A ．顶角为锐角的等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．顶角为钝角的等腰三角形30.（2023春·高二课时练习）如图，在长方体OABC D A B C ¢¢¢¢-中，3OA =，4OC =，2OD ¢=，以111,,342OA OC OD ìüíýîþ¢为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ．(1)写出D ¢，C ，A ¢，B ¢四点的坐标；(2)写出向量A B ¢¢ ，B B ¢ ，A C ¢¢ ，AC ¢的坐标．()()a a a ab b b b 123123=，，,=，，平行（a b ）(0)a b b ≠ ()112233a b a b a b R a bλλλλλ=ì⎪⇔=⇔=Îí⎪=î 垂直（a b ^）a b ^⇔11223300a b a b a b a b ×=⇔++= （,a b 均非零向量）特别提醒：在(0)a b b ≠ ()112233a b a b R a bλλλλ=ì⎪⇔=Îí⎪=î中，应特别注意，只有在b与三个坐标平面都不平行时，才能写成312123a a a b b b ==.例如，若b与坐标平面xOy 平行，则30b =，这样33a b 就没有意义了.2、向量平行与垂直问题的三种题型题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断．题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．题型3：利用向量的坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解．3、向量长度的坐标计算公式若()a a a a 123 =，，，则||a === ||a = 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度4、两个向量夹角的坐标计算公式设()()a a a a b b b b 123123 =，，,=，，，则cos ,a b <>=a b |a ||b |×=【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中θ的范围是（2）（3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(同步课件)-【优选组合】2021-2022学年高二(人教A版20
∴ || =
22 + 12 + (−3)2 = 14, || =
32 + (−2)2 + (−1)2 = 14, ⋅
= 2 × 3 + 1 × (−2) + (−3) × (−1) = 7,
∴ cos = cos＜, ＞ =
=
−4
3×2 5
=
2 5
−
15
.
12 + 22 + (−2)2 = 3, || =
探究点三 空间向量坐标运算的运用
例 [2021山东师大附中高二月考] 已知在空间直角坐标系中
,(0,2,3),(−2,1,6),(1, −1,5).
（1） 若点在直线上,且 ⊥ ,求点的坐标;
= (4,2,0), = (−1,2, −1),所以 ⋅ = −4 + 4 + 0 = 0,所以 ⊥ ,
即 ⊥ ,故B中结论正确;
易知 = − = (2,3,4) ,若 // ,则存在实数 ,使得 =
−1 = 2,
,即 ቐ 2 = 3, 此方程组无解,故 不平行于 ,故C中结论错误;
读 式.
标运算解决立体几何问题.
3.能用空间向量的坐标运算解决
平行、垂直、夹角、长度等问题.
要点一 空间向量运算的坐标表示
设 = (1 , 2 , 3 ), = (1 , 2 , 3 )，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
加法
减法
数乘
数量积
坐标表示
1 1 + 2 2 + 3 3
2. 已知 = (1,1,0), = (0,1,1), = (1,0,1), = − , = + 2 − ,则 ⋅
1.3.1-2空间向量及其运算的坐标表示(课件)
要点二 空间向量的坐标表示 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原 点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立 三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们叫做坐标轴．这时我们就建立了 一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k叫做_坐__标__向__量_，通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．在空间直角坐标系中，让
变式训练 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)， 设 a＝A→B，b＝A→C.
(1)设|c|＝3，c∥B→C，求 c； (2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k.
解析：(1)因为B→C＝(－2，－1,2)，且c∥B→C 所以设c＝λB→C＝(－2λ，－λ，2λ) 得|c|＝ －2λ2＋－λ2＋2λ2 ＝3|λ|＝3 解得λ＝±1，即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
解析：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原 点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，
z轴的正方向建立空间直角坐标系C－xyz，如图所示． 则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1) ∴B→N＝(1，－1,1)，B→A1＝(1，－1,2)，A→1B＝(－1,1，－2)．
变式训练 3 在长方体 OABC－O1A1B1C1 中，OA＝2，AB＝3， AA1＝2，E 是 BC 的中点，
(1)求异面直线 AO1 与 B1E 所成角的余弦值； (2)过点 O1 作 O1D⊥AC 于点 D，求点 O1 到点 D 的距离．
解析：
由题意，以O为原点，分别以 O→A ， O→C ， O→O1 的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
1.3空间向量及其运算的坐标表示(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
所以点 D 的坐标是(0,0,2) ．同理，点 C 的坐标是 (0,4,0) ．
点 A 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 A，O， D ， 它们在坐标轴上的坐标分别为 3，0，2， 所以点 A 的坐标是 (3, 0, 2) ． 点 B 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 A，C， D ， 它们在坐标轴上的坐标分别为 3，4，2， 所以点 B 的坐标是 (3,4,2) ．
AB b1 a1,b2 a2 .
新课探究
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设i, j, k为空间的一个单位正交基底，
则
a i
a1i
a2
j
a3k，b
b1i
b2
j
b3k，
i
所以 a b a1i a2 j a3k b1i b2 j b3k
a1b1i i a1b2i j a1b3i k a2b1 j i a2b2 j j a2b3 j k a3b1k i a3b2k j a3b3k k. y
方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
z
z
k
O
y
ij
x
k
O
y
i
x
新课探究
问题2
在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数 （即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向 量,是否也有类似的表示呢?
y
j
A
a
O
i
x
z
A
O
y
x
新课探究
追问1：在空间直角坐标系中如何定义 OA的坐标呢？
a a a a12 a22 . cos a, b a b
高中数学选择性必修一课件：1.3.2空间向量运算的坐标表示
课后提能训练
2．在空间直角坐标系中，已知 A(2,3,5)，B(3,1,4)，则 A，B 两点间
的距离为
()
A．6
B． 6
C． 30
【答案】B
D． 42
【解析】|AB|＝ 3－22＋1－32＋4－52＝ 6.
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
3．若点 A(1,2，a)到原点的距离为 11，则 a 的值为________． 【答案】± 6 【解析】由已知得 12＋22＋a2＝ 11，所以 a2＝6，解得 a＝± 6.
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
|课堂互动|
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
题型1 空间向量的坐标运算
已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)．
素养点睛：考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
【答案】解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)，
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
1．向量夹角的计算步骤 (1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上． (2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标． (3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角． 2．求空间两点间的距离的关键及步骤 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出 点的坐标是关键．
－x1，y2－y1，z2－z1)，|P→1P2|＝_____x2_－__x_1_2_＋___y2_－__y_1_2_＋___z2_－__z_1_2____.
空间向量及其运算的坐标表示
（3）中点坐标公式: ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
Z
x轴: 横坐标 y轴: 纵坐标 z轴: 竖坐标
坐标平面: xoy,yoz,zox
O
Y
X
3. 空间中点的直角坐标表示
在空间直角坐标系O--xyz中, 对空间任一点A,对应 一个向量OA, 于是存在唯一的有序实数组x,y,z, 使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对 应的有序实数组(x,y,z), 叫做点A在此 空间直角坐标系中的坐标, 记作 A(x,y,z), 其中x叫做点A的横坐标, y叫 做点A的纵坐标, z叫做点A的竖坐标.
共线向量定理: b 0,则a // b 存在 共面向量定理: a、b不共线，p与a,b
实数,使a b.
共面 存在实数x、y,使p xa yb
对比表1
练习一:
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ; (2) a (1, 1,1) , b (1, 0 ,1) ;
对比表4
平面向量
空间向量
平面向量基本定理：
如果e1
,
e
是同一平面内的两个不共线
2
的向量，那么对于这个平面内的任一
向量a，有且仅有一对实数x, y，使a
xe1 ye2.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件(共45张PPT)
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标 系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标为0，0，12.
由 F 作 FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为 M，N， 由平面几何知识知 FM＝12，FN＝12， 故 F 点坐标为12，12，0. 点 G 在 y 轴上，其 x、z 轴坐标均为 0，
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路 (1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如， 设向量 a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
利用坐标运算解决夹角、距离问题
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的 坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
2．已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向 量―A→B 的坐标等于终点坐标减起点坐标．即―A→B ＝(x2－x1， y2－y1，z2－z1)．
[跟踪训练] 1．(2019·福建三明高二期末质量检测)已知 A(1，－2,0)和向量
空间向量的坐标表示
[ 例 1] ( 链 接 教 材 P18 例 1) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出 E，F，G，H 的坐标； (2)写出向量―E→F ，―G→H 的坐标．
又 GD＝34，故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点． 故 HK＝12，CK＝18，∴DK＝78， 故 H 点坐标为0，78，12. (2)―E→F ＝―O→F －―O→E ＝12，12，－12， ―G→H ＝―O→H －―O→G ＝0，18，12.
高中数学-空间向量及其运算的坐标表示
第3讲 空间向量及其运算的坐标表示知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则： (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )； (4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； (6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0； (7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则： (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)； (2)d AB ＝|AB→|＝ (a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2 .考点1 空间直角坐标系【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是( ) A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为( ) A ．(1-，2-，4)- B ．(1-，2-，4) C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)考点2 空间向量的坐标运算【例2-1】（钦州期末）已知(1a =，2，1)，(2b =，4-，1)，则2a b +等于( ) A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值； (3)设|c |＝3，c ∥BC→，求c .【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ； (2)2a －3b ； (3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )A.66 B ．－66C ．±66D ．±6考点3 空间两点间的距离【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为 ，||OM = ．A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(( ) A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为( ) A ．(3-，2-，1)- B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为( ) A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =--及(4,2,0)b =-则a b +等于( ) A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a x b y c z a b c xyz =-==+=则的值为 ) A ．2±B ．2-C ．2D ．06．（丰台区期末）已知(2AB =，3，1)，(4AC =，5，3)，那么向量(BC = ) A ．(2-，2-，2)- B ．(2，2，2)C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3) D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b += ．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是 ；||OM = ．11．（兴庆区校级期末）已知(2a =，3-，1)，(2b =，0，3)，(1c =，0，2)，则68a b c +-= ． 12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，则a b += ．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，若2AB a =，则点B 的坐标是 ． 14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，则||a b +=15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''=，1，5)，求点B 的坐标．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2) （1）求向量AB AC 与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，求：()a b c -+、68a b c +-． （Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a 同向，且．1.（襄阳期中）已知向量a ，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b +，a b -，c 下的坐标为( )A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,)22D ．51(,,1)222. （安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标； (2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．。
空间向量运算的坐标表示精选全文完整版
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i , j, k } 以点O为原
点，分别以 i , j, k 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，
这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫
做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量i , j, k都叫做坐标向量.通过
每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
练习 3⑵.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，
O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
证明：设 OD OD1
C1B1 c
a，C1D1 1（b a） 2
b，C1C c ,则 c ,若存在实数 x,
B1C c y ,使得
a ，C1O B1C xOD
1（a b）, 2 yOC1成立，
Eb p A
对向量 p 进行分解,
作 AB // b, BD // a, BC // c
O
D c p OB BA OC OD OE
C
B
xa yb zc
a
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a, b, c 3
例1 课本94页例4
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则 对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、 y、z使OP xOA yOB zOC
22
学习小结:
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
23
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底
第一章 空间向量运算的坐标表示
问题 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公 式吗？
提示 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， P—1→P2＝O→P2－O→P1＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|P—1→P2|＝
—→ —→ P1P2·P1P2
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明 因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相
互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.
则 C(0,0,0)，A(
2， 2，0)，B(0， 2，0)，D(
2，0,0)，E(0,0,1)，F
22，
22，1.
所以C→F＝
x1－6＝3， 所以y1＋4＝－2，
z1－5＝5，
x1＝9， 解得y1＝－6，
z1＝10，
所以点C的坐标为(9，－6,10).
②求C→A·B→C； 解 因为C→A＝(－7,1，－7)，B→C＝(3，－2,5)， 所以C→A·B→C＝－21－2－35＝－58.
③若点 P 在 AC 上，且A→P＝12P→C，求点 P 的坐标.
且GH∥BD1，
所以m－－112＝－n1＝－112， 解得 m＝1，n＝12. 所以点 H 的坐标为1，12，0，
所以点H为线段AB的中点.
反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直 的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的 充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐 标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。