第13章波动-例题及练习题

tm
练习1. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在 练习1. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时， 传播方向上媒质中某质点在负的最大位移处， 传播方向上媒质中某质点在负的最大位移处，则它的能 量是： 量是： （1）动能为零，势能最大； 动能为零，势能最大； （2）动能为零，势能为零； 动能为零，势能为零； （3）动能最大，势能最大； 动能最大，势能最大； （4）动能最大，势能为零； 动能最大，势能为零；
8 4 -1 10 s
-1
2u v ∴ ∆ν = u
汽
s
-1
第五节 波的干涉
练习1. 练习1 (1) 两列不满足相干条件的波不能叠加。 两列不满足相干条件的波不能叠加。 两列波相遇区域中P (2) 两列波相遇区域中P点，某时刻位移值恰好 等于两波振幅之和。这两列波为相干波。 等于两波振幅之和。这两列波为相干波。 两振幅相等的相干波在空间某点相遇时， (3) 两振幅相等的相干波在空间某点相遇时， 某时刻该点合振动位移既不是两波振幅之 又不是零，则该点既不是振动最强点， 和,又不是零，则该点既不是振动最强点， 又不是振动最弱点。 又不是振动最弱点。 在波的干涉现象中， (4) 在波的干涉现象中，波动相长各点或波动 相消各点的集合的形状为双曲面族。 相消各点的集合的形状为双曲面族。
λ
A O
y(m) ( )
u
λ/2
λ
π dy y 原点处：0 = 0 v0 = > 0 得ϕ = − 2 原点处： x(m) ( ) dt π u 则原点振动方程 y = A cos( 2π λ t ′ − 2 )
0
0
u π 代入, 将 t′ = t −2 代入,得 yo = Acos[2π λ (t − 2) − 2 ] = Acos(2π λ t − 4π λ − 2 ) u x u π y 波函数： 波函数： = A cos[2π ( t + ) − 4π − ] (SI) λ u λ 2 u u
Ψ '(x, t' ) = Ψ ( x , t ) = Ψ ( x , t ' + 0.05 )
= 0 ⋅ 04 cos π [4 x − 10( t ′ + 0 ⋅ 05 )] x π )+ ] = 0 ⋅ 04 cos[10π ( t ′ − 2⋅5 2 x 原函数 Ψ = 0 ⋅ 04 cos 10 π ( t − ) 2⋅5 讨 若计时起点变化 ∆t(延后或超前)求波函数。找出 延后或超前)求波函数。
y(m) ( ) u
由图知O点的振动状态：yOt = 0，vOt > 0 由图知 点的振动状态： 点的振动状态
ϕ 由旋转矢量法得t 由旋转矢量法得 =2s时O点相位为： = − 2 时 点相位为： π
ω
v A
−
π
2
x
∴ ϕ = 4π
u
x π − ] 波函数： 波函数：y = A cos[2π ( t + ) − u 2 λ λ u
练习： 练习： 公路检查站上警察用雷达测速仪测来往汽车的速度， 公路检查站上警察用雷达测速仪测来往汽车的速度，所 用雷达波的频率为 5 . 0 × 10 10 Hz .发出的雷达波被一迎面 4 开来的汽车反射回来, 开来的汽车反射回来,与入射波形成了频率为 1.1 × 10 Hz 的拍频。 的拍频。此汽车是否已超过了限定车速 100 km ⋅ h ? (不计相对论效应 不计相对论效应) 不计相对论效应 解： 设汽车速率为 u汽 , 雷达波传播速率： = 3 × 108 m ⋅ s -1 u 雷达波传播速率： 测速仪发射的雷达波频率为 ν = 5 .0 × 10 Hz 发射波与接收波形成的拍频为 ∆ ν = 1 .1 × 10 Hz 1）雷达波由测速仪 汽车： 汽车：
u+u 2u ∆γ = ν − ν = − 1 ν = ν u−u u−u
' 汽 汽 s s s 汽 汽
s
Q u >> u
汽
得汽车速率： 得汽车速率： u∆ ν 3 × 10 × 1 .1 × 10 v= = = 33 m ⋅ s = 119 km ⋅ h 2ν 2 × 5 × 10 大于限定车速 汽车超速行驶。 大于限定车速 100 km ⋅ h ，汽车超速行驶。
O
O
时刻过平衡位置向正向运动： 则:O 在 t = 0 时刻过平衡位置向正向运动：
Ψ = 0
0
dψ dt
> 0
t=0
3 ϕ = π 2
0
且波向-x方向传播 且波向 方向传播
将各特征量代入波函数公式， 将各特征量代入波函数公式，则：
x 3 Ψ = A cos[ ω ( t + ) + π ] u 2 x 3 )+ π] = 0 .2 cos[ 10 π ( t + 10 2
π
总结: 总结 若已知参考点各特征量、波速和波传播方向,将各量代 (1)若已知参考点各特征量、波速和波传播方向,将各量代 入波函数公式, 且将x 入波函数公式 且将
x− x 0 (x0为参考点坐标。如果 为参考点坐标。
参考点为坐标原点, =0，否则x 0) 可求到波函数。 参考点为坐标原点,x0=0，否则 0 ≠ ) ，可求到波函数。 若已知参考点振动方程、波速和波传播方向， (2)若已知参考点振动方程、波速和波传播方向，将振动 方程中t
0.2
Ψ(m) P
1
t=0
x(m) 2
0.2
ΨP(m)
0.1 t(s) 0.2
O
O
为参考点， 为参考点 先写P （2） 以P为参考点，先写 的振动方程
Ψ
0
= 0
dψ dt
p
< 0
t=0
P 的初相:ϕ p = 的初相:
π
2
则： = Acos(ωt + ϕ ) = 0 ⋅ 2 cos(10πt + )且波向 方向传播 Ψ 且波向-x方向传播 2 x−1 将振动方程中 t → t + u ，则： x −1 π x π Ψ = 0 ⋅ 2cos[10π (t + ) + ] = 0 ⋅ 2 cos[10π ( t + ) − ] 10 2 10 2
代入上式， 将 x B = −13 代入上式，得：
8 − 13 + 5 Ψ B = A cos[ω ( t − ) + ϕ ] = A cos[ω ( t + ) + ϕ ](m ) u u
结论: 1)原点不同时，波函数形式变化，但波线上确 结论:(1)原点不同时，波函数形式变化，但波线上确 原点不同时 定点振动方程不变。 定点振动方程不变。
C
O′
B
O
P .
x(m)
( ) ′点的距离为x， 以 ' （2） O为坐标原点 ,P(x)离O′点的距离为 ，那么 ） x P点离参考点 的距离为：′′ = x + 5 点离参考点C 点离参考点 的距离为：
x′′ x+5 ) + ϕ ](m) ∴Ψ ( x, t ) = A cos[ω(t − ) + ϕ ] = A cos[ω(t − u u
例 2： 更换计时起点后如何建立波函数。 更换计时起点后如何建立波函数。 已知: 已知:Ψ = 0 ⋅ 04 cos π ( 4 x − 10t ) 将计时起点延后0.05s 情况下的波函数。 将计时起点延后0.05s 情况下的波函数。 求： 0.05, 解：设新的时间坐标为t′，t′与t 的关系 t=t ′+0.05 0.05 代入原波函数: 代入原波函数:
λ
+ ϕ0 = −
π
2
ϕ 0 = −4π
u
λ
−
π
2 4πu
由波形曲线和振动曲线建立波函数。 例4(P420例3): 由波形曲线和振动曲线建立波函数。 已知： 已知：平面简谐波 t =0 时波形和波线上 x =1m 处
P点振动曲线。 点振动曲线。 求：波函数 (1) 以O 为参考点
(2) 以P 为参考点 0.2
Ψ(m) P
1
t = 0
x(m) 2 0.2
ΨP(m)
0.1 t(s) 0.2
O
O
0.2
Ψ(m) P
1
t=0
x(m) 2
0.2
ΨP(m)
0.1 t(s) 0.2
O
O
由图可知： 解： 由图可知：A = 0 ⋅ 2m λ = 2m T = 0 ⋅ 2s 2π λ = 10π (s ) u = = 10 ( m ⋅ s ) 则ω= T T
第十三章 第一节
波动
平面简谐行波
例题1 移动坐标原点后如何建立波函数（ 例题1：移动坐标原点后如何建立波函数（即参考点 不作为坐标原点） 不作为坐标原点） 已知： 已知： C = A cos( ω t + ϕ )， Ψ 波速 u 沿 + x OC = O′C = 5m, BC = 8m 求: 分别以 O ， O ′ 为原点建立波函数、 为原点建立波函数、
x′ x−5 Ψ = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[ω (t − ) + ϕ ](m) u u
将x B = −3代入上式，得： 上式，
8 − 3−5 ΨB = Acos[ (t − ω ) + ϕ ] = Acos[ (t + ) + ϕ ](m) ω u u
8 5
5
→u
A O
y(m) ( )
u λ
x(m) ( )
λ/2
已知： 已知： t = 2s波形 。 求： y( x、t )及 λ / 2处质点的振动方程。 处质点的振动方程。 u 解法一： 解法一： 由题知： 由题知：A, u, λ ， 传播, 波向− x传播, ω = 2πν = 2π 作时间变换： 作时间变换： t ′ = t − 2， 令 该波形变为 t ′ = 0时刻波形 以坐标原点为参考点。 以坐标原点为参考点。