一道可用拉格朗日乘数法求最值的题

何时可用拉格朗日乘数法．．．．．．．

求最值？

题目：已知x y -=，求x y +的最小值．

法一：变式：0x y +=，则有123x y +++=；

m n ，则有22333m n m n +=++； 从而有223315()()222

m n -+-=；

再令32m θ-=，32n θ-=，其中θ确保m n 、同时取非负数；

则有32m θ=

，32n θ=；

所以2223152()3cos )22m n θθ+=⨯+++

即9153)12)2244x y ππθθ++=

++=+；

当34πθ=-时，3x y ++取最小值12x y +取最小值9；

检验：当34πθ=-时，33(022m θ==+=<，矛盾；不适合； 故此．．路．不通．．

． 法二：与法一相同：

变式：0x y +=≥，则有123x y +++=；

m n ，则有22333m n m n +=++； 从而有223315()()222

m n -+-=，（*）其中有：0m ≥，0n ≥； 它的图象是圆的一部分；

又设22(1)(2)33t x y x y m n =+=+++-=+-；

于是有223m n t +=+，（**）

下面利用数形结合方法求最小值：

画出图象如下：

方程（*）的图象在第一象限，包括在坐标轴上点；

方程（**）是以原点为圆心，向外扩张的圆；当它扩张到与第一个图象有第一个公共点时，

恰好在坐标轴上的点，而A 为 0)，（B 为(0,）；

min t ；故x y +

max 9t ⇒=+ 数缺形时少直观．．．．．．．，形缺数时难入微．．．．．．．

．此法数形结合，一目了然． 法三：拉格朗日．．．．

乘数法．（拉格朗日是法国的超一流的数学家，有空时百度一下看其事迹。） 首先举例说明一下如何使用新方法．

题目：设长4m 的绳子围成长为x ，宽为y 的矩形，矩形最大面积为多少？

步骤：1．相关条件：x 、y 永远满足：2x y +=，令(,)2g x y x y =+-，即(,)0g x y =恒成立；

2．目标函数：所求的最大式子：(,)S f x y xy ==；

3．构造拉格朗日函数．．．．．．

：(,)(,)(,)F x y f x y ng x y =+； 4．求偏导数：

（'(,)x F x y 代表函数(,)F x y 偏x 求导数，具体求导方法是视x 为变量，y 为常数即可） 一元函数中，有极值点'()0f x =，在这里，同样满足：'(,)0x F x y =，'(,)0y F x y =； 再联立()g x 解出最大的,x y （因为此题有最大值，无最小值，解出的答案即可取，否则 需要讨论）

解：由题意可得：(,)2g x y x y =+-，(,)f x y xy =；

(,)(,)(,)(2)F x y f x y ng x y xy n x y =+=++-；'(,)0x F x y y n =+=，'(,)0y F x y x n =+=； 与(,)20g x y x y =+-=联立，解得1x y ==，由于只存在最大值，

所以最大面积：1xy =．

回到本题中．

解：由题可得：(,)g x y x y =+-，(,)f x y x y =+；

(,)(F x y x y n x y =+++-；

123'(,)1(1)02x n F x y n x -=+-+=，123'(,)1(2)02

y n F x y n y -=+-+=； 即有231()2(1)n x n +=+，232()2(1)n y n +=+；此时，302(1)

n n >+

与(,)0g x y x y =+-联立，

可得：233(1)(2)32()632(1)2(1)

n n x y n n +++-=⇒-⋅=++；

解得：32(1)n n ==+，舍负，取32(1)n n =+

所以2(1)(2)339x y x y +=+++-=-=+ 结合“法二”，发现求出来的是“最大值”！！！Why ？？？

道理很简单：多元求导数，最值是在“驻点”处取得，何为“驻点”者，有导数且为零也！ 可见：用拉格朗日乘数法．．．．．．．

，所求得的是“驻点”处的最值．由法二的图象可知：最小值是在 端点处取得的，而端点处是不可导的，故无法实施拉格朗日乘数法．．．．．．．

，此意义一定要弄明白， 不能乱用方法诶．

综合上述，本题解法二，是可能的方法，答案也就明确了．