第三章力系的平衡原理
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源自文库
X 0, Y 0, Z 0,
解得：
F1 sin 45 F2 sin 45 0
FA sin F1 cos 45 cos F2 cos 45 cos 0
FA cos F1 cos 45 sin F2 cos 45 sin P 0
' FDy 2 F
FE sin 45 2 F
对ADB杆受力图
MA 0
FBx 2a FDx a 0
FBx F
例
已知： a ,b ,P,各杆重不计， C,E处光滑；
求证： AB杆始终受压，且大小为P.
解： 取整体，画受力图.
Fx 0
ME 0
FAx 0
取滑轮B（或点B），画受力图. 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
F1 F2 P
解得：
FBA 7.321kN
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
Fiy 0
解得：
FBC 27.32kN
M
解得
A
0 4P3max-2P2=0
max=350kN
F3
75kN P3 350 kN
P3=180kN时
M
解得
A
0
4P3 2P 14 P2 4FB 0 1
FB=870kN
1 Fiy 0 FA FB P P2 P3 0
解得
FA=210kN
例 结构如图示，A处为固定球铰链，B端用绳子系在C、D两 点，结构关于Ayz平面对称。已知，BF⊥y轴，CE=EB=ED， θ =30o，P=10kN。求绳子拉力和A处的约束反力。
求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力. 解： AB、BC杆为二力杆.选销钉B为研究对象.
F
F
x
0 FBA cos θ FBC cosθ 0
FBA FBC
y
0 FBA sin θ FBC sin θ F 0
F FBA FBC = 2sin h 2 tan , 7.59 l 15 FBA FBC 11.35kN
求： （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图. F 满载时， A 0, 为不安全状况
M
B
0
P3min 8 2 P2 10 P 0 1
解得 P3min=75kN
空载时， FB 0, 为不安全状况
平面汇交力系、平行力系的方程形式呢？
4. 平衡方程要点
(1)力系平衡时，对任意轴x，有 Fx =0 (2)各类力系独立平衡方程数
M
x
0
6 3
3
3
3
2
2
1
可用于判断问题是否可解
例3．1 已知：系统如图，不计杆、轮自重，
忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
解：AB、BC杆为二力杆，
解： 研究AB杆与重物 列平衡方程
力
受力分析，画受力图
投影
FA
F1
F1 sin 45
F2
-F2 sin 45
P
0 0
P
X Y Z
0
FA sin -F1 cos 45 cos -F2 cos 45 cos FA cos F1 cos 45 sin F2 cos 45 sin
P (b x) FAy b 0
P FAy (b x) b 取销钉A，画受力图
Fy 0
Fx 0
FAx FADCx 0
FAB FAy FADCy 0
FADCx 0
取BC，画受力图.
MB 0
F b Px 0
' C
x F P b
FA 8.66kN, F1 F2 3.54kN
例
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的
孔,每个钻头的力偶矩为
m1 m2 m3 m4 15 Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解:
合力偶距
M m1 m2 m3 m4 4( 15) 60 N m
MC 0
FBy 2a 0
FBy 0
取DEF杆，画受力图
MD 0
FE sin 45 a F 2a 0
' FE cos 45 FDx 0
Fx 0
ME 0
FDy 'a F 2a 0
' FDx FE cos 45 2 F
F2 400 FBz 800 0
M z 0 F1 400 FBx 800 0
例：示矩形板，边长分别为 a、2a，各受大小相等、方 向相反的力偶作用，试画出 整体和两板的受力图。
RA
A
A
M
C
RA
M
M
M
C
RC
C
RC
M
B
M
RB
B
RB
例 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm，忽略自重；
选压块C
F
x
0
FCB cos θ FCx 0
F Fl FCx cotθ 11.25kN 2 2h
F
y
0 F CBsin FCy 0
FCy 1.5kN
省力装置
FCE B E FAy MA C D FDE F DE D FDA FDB
E
F
B FAy MA FAx C F CE F DB
例3-２已知： P 100kN, M 20kN m,
q 20 kNm 1 , l 1m; F 400kN,
求： 固定端A处约束力. 解： 取T型刚架，画受力图. 其中
1 F1 q 3l 30kN 2 0 Fx 0 FAx F1 F sin 60 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0 Mx 0 My 0 Mz 0
即空间力系平衡方程基本形式 6个独立方程 可解6个未知量。 2. 其它形式 4矩式 、 5矩式、6矩式及其补充条件。
由基本式去掉力系几何性质自动满足的方程
1. 平面一般力系
置各力线于xoy平面，则
F FDA
FAx
A
例题. 图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置. 已知OA=40cm, O1B=60cm, m1=1N· m,各杆自重不
计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.
B
O 30o A
m1 m2
O1
解: AB为二力杆 SA = SB = S 取OA杆为研究对象.
B
S S m2
O
S 30o
则
M 0, M 0, F 0 F 0, F 0, M 0
x y z x y z
---基本式
F
x
0, M A 0, M B 0 ---二矩式
( AB x )
M
A
0, M B 0, M C 0 ---三矩式
(A,B,C不共线)
ix
0
FN FB sin 0
FR l 2 R2
FN F tan
取轮,画受力图.
F
解得
ix
0
FR l 2 R2
Fox FA sin 0
Fox
F
解得
iy
0
Foy FA cos 0
Foy F
M
解得
o
0
FA cos R M 0
2、取整体为研究对象
X 0 Y 0
XA= 0
YA N B P 0 3P YA P N B 2
∴
XA= 0 3P YA 2 m A 2 Pa
XC 0
YC P 2
（↑） （ ）
（↑）
P NB 2
（↓）
例
已知：P , a ,各杆重不计；
求：B 铰处约束力. 解： 取整体，画受力图
Fy 0 FAy P F cos 60 0
解得 FAx 316.4kN 解得 FAy 300 kN
M
A
0
MA M F 1 l F cos60 l F sin 60 3l 0
解得 MA 1188 kN m
P 例3-３ 已知： 700kN, P2 200kN, AB 4 m ,尺寸如图； 1
§3–1 §3–2
一般力系的平衡原理 物体系统的平衡问题
§3–1
一般力系的平衡问题
静力学 力系简化结果 一般
核心内容 平衡条件(几何、解析) 各类平衡问题
特殊
力系的平衡 FR Fi 0,且M O M O (Fi ) 0
一、 力系平衡条件 、平衡方程
1. 基本形式 由 Fi 0 、 MO (Fi ) 0 向直角坐标轴投影，得
平面力偶系平衡
N B 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N A N B 300 N
N B
60 300 N 0.2
例 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂 直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解： 取整体，受力图如图所示.
2. 空间汇交力系 ，汇交于O点
M O 0,即 M x 0, M y 0, M z 0
则
Fx 0 Fy 0 Fz 0
3. 空间平行力系
让各力线平行于z轴，有
M
则
z
0, Fx 0, Fy 0,
M x 0 M y 0 Fz 0
FBx FAx
FBy FAy
思考-2 已知：如图所示结构，P，l，R. 求：固定端A处约束力. 解题思路：
先分析杆CD
再分析杆AB 总结： 二力杆的分析； 一般不拆滑轮。
FBC
FAx FAy M A
提问：要求陈述习题分析过程 [例] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
M FR
例 已知：图示梁，求：A、B、C处约束力。
mA XA YA 分析： 整体： 四个反力
NB
→不可直接解出 拆开： AC杆五个反力 →不可解
mA XA YA
XC YC
XC YC
BC杆三个反力
NB
→可解
故先分析BC杆，再分析整体或AC杆，可解。
未知量个数Nr≤独立方程数Ne
超静定: 只用静力平衡条件不能求解的问题
未知量个数Nr>独立方程数Ne
判断下面结构是否静定？
二、物体系统的平衡问题
1.一般步骤:
1)确定研究对象。 2)确定问题性质。 3) 画受力图（注意力系的等效条件）。 4)建立坐标系。 5)建立平衡方程，求解未知量。 2. 典型例题
XC YC
解：1、取BC杆为研究对象 X 0 XC 0
NB
mC
0 N B 2a Pa 0
NB Pa P 2a 2 YC N B 0
mA XA YA
Y 0
NB
P YC N B 2
mA 0 N B 4a Pa Pa m A 0 m A N B 4a 2 Pa
' C
取ADC杆，画受力图.
MD 0
F
F
' ADCy
' ADCy
b b FC 0 2 2
x FC P b
FAB P (压)
思考-1 已知：如图所示结构，P和a. 求：支座A，B 处约束力. 解题思路： 先分析整体 再分析BC 总结： 一般先分析整体； 一般不拆滑轮； 矩心尽量取在较多未知力的交点上； 投影轴尽量与较多未知力相垂直。
A
m1
O1
S
0.4sin30o S - m1 = 0 (1)
mi = 0 取O1B杆为研究对象. mi = 0 m2 – 0.6 S = 0 S=5
(2)
m2 = 3
联立(1)(2)两式得:
作业： 3-2 3-3
§3-２ 物体系统的平衡问题
一、 静定与静不定问题的概念
静定: 只用静力平衡条件能求解的问题。 (各构件全部外力)
例
已知： OA=R， AB= l, F , 不计物体自重与摩擦,
系统在图示位置平衡; 求:
力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，冲头给导 轨的侧压力. 取冲头B,画受力图.
解:
F
解得
iy
0
F FB cos 0
F Fl FB cos l 2 R2
F
解得
X 0, Y 0, Z 0,
解得：
F1 sin 45 F2 sin 45 0
FA sin F1 cos 45 cos F2 cos 45 cos 0
FA cos F1 cos 45 sin F2 cos 45 sin P 0
' FDy 2 F
FE sin 45 2 F
对ADB杆受力图
MA 0
FBx 2a FDx a 0
FBx F
例
已知： a ,b ,P,各杆重不计， C,E处光滑；
求证： AB杆始终受压，且大小为P.
解： 取整体，画受力图.
Fx 0
ME 0
FAx 0
取滑轮B（或点B），画受力图. 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
F1 F2 P
解得：
FBA 7.321kN
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
Fiy 0
解得：
FBC 27.32kN
M
解得
A
0 4P3max-2P2=0
max=350kN
F3
75kN P3 350 kN
P3=180kN时
M
解得
A
0
4P3 2P 14 P2 4FB 0 1
FB=870kN
1 Fiy 0 FA FB P P2 P3 0
解得
FA=210kN
例 结构如图示，A处为固定球铰链，B端用绳子系在C、D两 点，结构关于Ayz平面对称。已知，BF⊥y轴，CE=EB=ED， θ =30o，P=10kN。求绳子拉力和A处的约束反力。
求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力. 解： AB、BC杆为二力杆.选销钉B为研究对象.
F
F
x
0 FBA cos θ FBC cosθ 0
FBA FBC
y
0 FBA sin θ FBC sin θ F 0
F FBA FBC = 2sin h 2 tan , 7.59 l 15 FBA FBC 11.35kN
求： （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图. F 满载时， A 0, 为不安全状况
M
B
0
P3min 8 2 P2 10 P 0 1
解得 P3min=75kN
空载时， FB 0, 为不安全状况
平面汇交力系、平行力系的方程形式呢？
4. 平衡方程要点
(1)力系平衡时，对任意轴x，有 Fx =0 (2)各类力系独立平衡方程数
M
x
0
6 3
3
3
3
2
2
1
可用于判断问题是否可解
例3．1 已知：系统如图，不计杆、轮自重，
忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
解：AB、BC杆为二力杆，
解： 研究AB杆与重物 列平衡方程
力
受力分析，画受力图
投影
FA
F1
F1 sin 45
F2
-F2 sin 45
P
0 0
P
X Y Z
0
FA sin -F1 cos 45 cos -F2 cos 45 cos FA cos F1 cos 45 sin F2 cos 45 sin
P (b x) FAy b 0
P FAy (b x) b 取销钉A，画受力图
Fy 0
Fx 0
FAx FADCx 0
FAB FAy FADCy 0
FADCx 0
取BC，画受力图.
MB 0
F b Px 0
' C
x F P b
FA 8.66kN, F1 F2 3.54kN
例
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的
孔,每个钻头的力偶矩为
m1 m2 m3 m4 15 Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解:
合力偶距
M m1 m2 m3 m4 4( 15) 60 N m
MC 0
FBy 2a 0
FBy 0
取DEF杆，画受力图
MD 0
FE sin 45 a F 2a 0
' FE cos 45 FDx 0
Fx 0
ME 0
FDy 'a F 2a 0
' FDx FE cos 45 2 F
F2 400 FBz 800 0
M z 0 F1 400 FBx 800 0
例：示矩形板，边长分别为 a、2a，各受大小相等、方 向相反的力偶作用，试画出 整体和两板的受力图。
RA
A
A
M
C
RA
M
M
M
C
RC
C
RC
M
B
M
RB
B
RB
例 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm，忽略自重；
选压块C
F
x
0
FCB cos θ FCx 0
F Fl FCx cotθ 11.25kN 2 2h
F
y
0 F CBsin FCy 0
FCy 1.5kN
省力装置
FCE B E FAy MA C D FDE F DE D FDA FDB
E
F
B FAy MA FAx C F CE F DB
例3-２已知： P 100kN, M 20kN m,
q 20 kNm 1 , l 1m; F 400kN,
求： 固定端A处约束力. 解： 取T型刚架，画受力图. 其中
1 F1 q 3l 30kN 2 0 Fx 0 FAx F1 F sin 60 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0 Mx 0 My 0 Mz 0
即空间力系平衡方程基本形式 6个独立方程 可解6个未知量。 2. 其它形式 4矩式 、 5矩式、6矩式及其补充条件。
由基本式去掉力系几何性质自动满足的方程
1. 平面一般力系
置各力线于xoy平面，则
F FDA
FAx
A
例题. 图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置. 已知OA=40cm, O1B=60cm, m1=1N· m,各杆自重不
计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.
B
O 30o A
m1 m2
O1
解: AB为二力杆 SA = SB = S 取OA杆为研究对象.
B
S S m2
O
S 30o
则
M 0, M 0, F 0 F 0, F 0, M 0
x y z x y z
---基本式
F
x
0, M A 0, M B 0 ---二矩式
( AB x )
M
A
0, M B 0, M C 0 ---三矩式
(A,B,C不共线)
ix
0
FN FB sin 0
FR l 2 R2
FN F tan
取轮,画受力图.
F
解得
ix
0
FR l 2 R2
Fox FA sin 0
Fox
F
解得
iy
0
Foy FA cos 0
Foy F
M
解得
o
0
FA cos R M 0
2、取整体为研究对象
X 0 Y 0
XA= 0
YA N B P 0 3P YA P N B 2
∴
XA= 0 3P YA 2 m A 2 Pa
XC 0
YC P 2
（↑） （ ）
（↑）
P NB 2
（↓）
例
已知：P , a ,各杆重不计；
求：B 铰处约束力. 解： 取整体，画受力图
Fy 0 FAy P F cos 60 0
解得 FAx 316.4kN 解得 FAy 300 kN
M
A
0
MA M F 1 l F cos60 l F sin 60 3l 0
解得 MA 1188 kN m
P 例3-３ 已知： 700kN, P2 200kN, AB 4 m ,尺寸如图； 1
§3–1 §3–2
一般力系的平衡原理 物体系统的平衡问题
§3–1
一般力系的平衡问题
静力学 力系简化结果 一般
核心内容 平衡条件(几何、解析) 各类平衡问题
特殊
力系的平衡 FR Fi 0,且M O M O (Fi ) 0
一、 力系平衡条件 、平衡方程
1. 基本形式 由 Fi 0 、 MO (Fi ) 0 向直角坐标轴投影，得
平面力偶系平衡
N B 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N A N B 300 N
N B
60 300 N 0.2
例 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂 直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解： 取整体，受力图如图所示.
2. 空间汇交力系 ，汇交于O点
M O 0,即 M x 0, M y 0, M z 0
则
Fx 0 Fy 0 Fz 0
3. 空间平行力系
让各力线平行于z轴，有
M
则
z
0, Fx 0, Fy 0,
M x 0 M y 0 Fz 0
FBx FAx
FBy FAy
思考-2 已知：如图所示结构，P，l，R. 求：固定端A处约束力. 解题思路：
先分析杆CD
再分析杆AB 总结： 二力杆的分析； 一般不拆滑轮。
FBC
FAx FAy M A
提问：要求陈述习题分析过程 [例] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
M FR
例 已知：图示梁，求：A、B、C处约束力。
mA XA YA 分析： 整体： 四个反力
NB
→不可直接解出 拆开： AC杆五个反力 →不可解
mA XA YA
XC YC
XC YC
BC杆三个反力
NB
→可解
故先分析BC杆，再分析整体或AC杆，可解。
未知量个数Nr≤独立方程数Ne
超静定: 只用静力平衡条件不能求解的问题
未知量个数Nr>独立方程数Ne
判断下面结构是否静定？
二、物体系统的平衡问题
1.一般步骤:
1)确定研究对象。 2)确定问题性质。 3) 画受力图（注意力系的等效条件）。 4)建立坐标系。 5)建立平衡方程，求解未知量。 2. 典型例题
XC YC
解：1、取BC杆为研究对象 X 0 XC 0
NB
mC
0 N B 2a Pa 0
NB Pa P 2a 2 YC N B 0
mA XA YA
Y 0
NB
P YC N B 2
mA 0 N B 4a Pa Pa m A 0 m A N B 4a 2 Pa
' C
取ADC杆，画受力图.
MD 0
F
F
' ADCy
' ADCy
b b FC 0 2 2
x FC P b
FAB P (压)
思考-1 已知：如图所示结构，P和a. 求：支座A，B 处约束力. 解题思路： 先分析整体 再分析BC 总结： 一般先分析整体； 一般不拆滑轮； 矩心尽量取在较多未知力的交点上； 投影轴尽量与较多未知力相垂直。
A
m1
O1
S
0.4sin30o S - m1 = 0 (1)
mi = 0 取O1B杆为研究对象. mi = 0 m2 – 0.6 S = 0 S=5
(2)
m2 = 3
联立(1)(2)两式得:
作业： 3-2 3-3
§3-２ 物体系统的平衡问题
一、 静定与静不定问题的概念
静定: 只用静力平衡条件能求解的问题。 (各构件全部外力)
例
已知： OA=R， AB= l, F , 不计物体自重与摩擦,
系统在图示位置平衡; 求:
力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，冲头给导 轨的侧压力. 取冲头B,画受力图.
解:
F
解得
iy
0
F FB cos 0
F Fl FB cos l 2 R2
F
解得